Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Курсовая работа - Факультативные занятия в школе по стереометрии - файл 1.doc


Загрузка...
Курсовая работа - Факультативные занятия в школе по стереометрии
скачать (650 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc650kb.13.12.2011 07:12скачать

1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Содержание

Введение…………………………………………………………………………...3

Глава 1. Факультативные занятия как одно из средств развития личности учащегося.

1.1. Значение факультативных занятий..............………………………………...4

1.2. Формы проведения факультативных занятий……………………………...5

Глава 2. Факультатив по теме «Построение сечений многогранников»……...8

2.1. Методические рекомендации к проведению факультативного курса по теме «Построение сечений многогранников»..…………………………………9

2.2. Разработка факультативного занятия «Построение сечений простейших многогранников»………..……………………..………………………………...10

Заключение……………………………………………………………………….25

Литература……………………………………………………………………….26

Введение

В последнее время значительное внимание уделяется вопросу становления каждого учащегося как творческой личности. Формирование творческой личности является одной из главных целей школьного математического образования. На современном этапе образовательное пространство характеризуется усилением внимания к развитию личностных качеств ученика, так как, раскрывая свои способности и, воплощая их в жизнь, ученик усваивает опыт, накопленный человечеством, и приносит пользу всему обществу. Учебный процесс строится так, чтобы знания, усваиваемые учеником, имели бы для него личностный смысл. Все это обусловливает необходимость развития творческого потенциала учащихся, формирования умений и навыков исследовательской работы, самостоятельности их мышления.

Одним из средств достижения перечисленных целей является проведение в школе факультативных занятий, которые были бы организованы не только для углубления знаний учащихся, но и для знакомства с важнейшими достижениями науки, формирования умения самостоятельно пополнять знания, ориентироваться в научной информации, для развития их разносторонних интересов и способностей, сознательного отношения к учебе.

^ Глава 1. Факультативные занятия как одно из средств развития личности учащегося.

1.1. Значение факультативных занятий

В учебном плане средней школы, а особенно в классах и школах с углубленным изучением математики, значительное место занимает курс математики, поэтому факультативные занятия по математике выделяются среди общей системы факультативов по числу учащихся, принимающих участие в их работе. Также как и по другим предметам, в основе выбора учениками факультативного курса по математике лежит интерес к ней и ее приложениям, понимание необходимости овладения математическими знаниями, которые нужны для изучения смежных дисциплин и для продолжения образования. Организация факультативных занятий способствует профильной дифференциации в обучении математике, цель которой состоит в развитии личности ученика с учетом его индивидуальных особенностей.
Факультативные занятия помогают поднять уровень обучения учащихся на более высокий теоретический и методический уровень и способствуют решению ряда других актуальных задач, стоящих перед школой.

Необходимость особого внимания к таким курсам в старших классах диктуется, прежде всего, тем, что учащиеся этого возраста стоят на пороге
вступления в самостоятельную жизнь. Главным для них становится выбор жизненного пути, подготовка к будущей самостоятельной деятельности.
Поэтому, прежде всего, факультативные занятия в старших классах призваны развивать стержневые познавательные интересы и творческие способности учащихся в области определенной науки, готовить их к практической деятельности, влиять на раскрытие способностей и склонностей школьников, развивать навыки самостоятельной работы учащихся с научно-популярной, справочной и научной литературой. Также на данном этапе необходимо усиление воспитательного воздействия обучения, особенно по линии выработки научного мировоззрения, развития логического мышления и творческих способностей.

Развитие познавательного интереса у учащихся, посещающих факультативные занятия по математике, помогает естественным образом углублять материал обязательного курса. В связи с чем, появляется возможность придать большую законченность курсу школьной математики, показать его связи с большой наукой, показать перспективы курса и направления развития его содержания, показать, что углубленное изучение математических теорий ведет к богатым и разнообразным приложениям.

Следует отметить, что среди факультативных курсов по математике геометрические факультативы в старших классах средней школы по своему содержанию отличаются богатством возможных направлений, важных для достижения образовательных, воспитательных и развивающих целей.

1.2. Формы проведения факультативных занятий

При выборе методов, приемов и форм обучения на факультативных занятиях необходимо учитывать содержание факультативного курса, уровень развития и подготовленности учащихся, их интерес к тем или иным разделам программы. Одно из важнейших требований к методам состоит в активизации мышления учащихся, развитии самостоятельности в различных формах ее проявления.

На факультативных занятиях могут использоваться разнообразные формы проведения занятий: лекции, практические работы, обсуждение заданий по дополнительной литературе, доклады учеников, составление рефератов, экскурсий.

Рассмотрим некоторые из них:

1. Уроки – лекции. Как показывает опыт преподавания, применение лекционно-семинарской системы при изучении ряда тем курса позволяет учителю излагать учебный материал крупными порциями и на этой основе высвободить время для повторения вопросов теории и решения задач. Кроме того, такая организация занятий обеспечивает усиление практической и прикладной направленности преподавания, приобщение учащихся к активной работе с учебной литературой, повышение уровня их подготовки. Это могут быть одна – две лекции, на которых излагается весь теоретический материал изучаемого раздела. Одна из существенных особенностей школьной лекции заключается в том, что учитель непрерывно следит за процессом усвоения материала непосредственно на уроке.

2. Уроки практических занятий. Основным видом занятий является самостоятельная работа учащихся по закреплению и углублению теоретического материала, изложенного на лекции. На уроках практических занятий проводится целенаправленная работа по выработке у учащихся умений и навыков решения основных типов задач.

Очень большое значение для успешности усвоения материала имеет подбор задач. Вводные задачи на факультативных занятиях преследует цель включения учащихся в самостоятельную творческую работу, подчас учитель может намеренно привести задачу, способную поставить учеников в ситуацию интеллектуального затруднения.

3. Уроки – семинары. Возможно проведение семинаров различных типов. Наибольшее распространение у учителей математики получили семинары, посвященные повторению, углублению и обобщению пройденного материала.

4. Полезной формой работы является подготовка учениками рефератов и их защита. Выполнение таких заданий важно, прежде всего, в отношении развития навыков самообразования, удовлетворения индивидуальных интересов учеников. Одновременно индивидуальное задание должно иметь ценность для всех участников факультативной группы.

Использовании наглядных и технических средств обучения на факультативных занятиях позволяет активизировать познавательную деятельность, не говоря о том, что некоторые виды технических средств (например, применение кинофрагментов, компьютерной презентации, цифровых образовательных ресурсов) обладают исключительно большими возможностями наглядного показа материала обучения.

Приведем рекомендации по организации факультативов, в том числе математических.

  1. Взаимосвязь в содержании, формах и методах организации учебной работы и факультативных занятий.

  2. Обеспечивать взаимосвязь (по содержанию) уроков и факультативных занятий.

  3. Единство в содержании факультативных занятий различных разделов математики.

  4. Активизация самостоятельной работы учащихся.

  5. Построение учебного процесса как совместной исследовательской деятельности учащихся.

  6. Использование наглядных пособий.

  7. Использование системы ключевых задач по темам.

  8. Использование историко-математического материала на факультативных занятиях.

  9. Принципы занимательности занятий.

^ Глава 2. Факультатив по теме «Построение сечений многогранников»

Одной из самых сложных задач обучения является развитие пространственного мышления учащихся. Многие учащиеся испытывают многочисленные, нелегко преодолеваемые трудности при создании пространственных образов и оперировании ими.

Пространственная геометрия, стереометрия, является одним из предметов, при изучении, которого последовательно формируется пространственное мышление учащихся.

В курсе стереометрии хорошим инструментом для развития пространственного мышления учащихся и обогащения их пространственных представлений являются задачи на построение сечений многогранников и комбинации многогранников. Эти задачи способствуют закреплению знаний, умений и навыков, обобщению и систематизации учебного материала, развивают логику, интуицию, изобретательность. В решении каждой из них сочетаются элементы доказательств, построений, вычислений, и таким образом реализуются все важнейшие цели изучения курса геометрии X - XI классов.

Задачи на комбинации многогранников широко представлены на вступительных экзаменах в различные вузы, а также на едином государственном экзамене. К сожалению, число часов, отводимых на изучение этой темы по программе, явно недостаточно. Поэтому для формирования умений решать задачи на комбинации многогранников и построение сечений многогранников необходимо использовать факультативные занятия и индивидуальную работу с учащимися.

2.1. Методические рекомендации к проведению факультативного курса по теме «Построение сечений многогранников»

Целью данного факультативного курса является углубленное изучение отдельных важных вопросов курса геометрии X – XI классов, приобретение навыков в решении трудных задач, развитие геометрической интуиции, пространственного воображения, а также подготовка к продолжению образования в вузах, требующих высокого уровня математической подготовки.

Для изучения данной темы учащиеся должны знать материал курса планиметрии, а также основные свойства прямых и плоскостей в пространстве, параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей, многогранники.

Программа факультатива «Построение сечений многогранников»:

  1. Построение сечений простейших многогранников– 2ч.

  2. Построение сечений с использованием свойств параллельности прямой и плоскости – 2ч.

  3. Построение сечений с использованием свойств параллельных плоскостей – 2ч.

  4. Построение сечений методом следов – 4ч.

  5. Построение сечений методом вспомогательных сечений – 2ч.

  6. Вычисление площади сечения многогранника – 2ч.


2.2. Разработка факультативного занятия.
Тема: Построение сечений простейших многогранников

Цели

Дидактическая: выработать навыки решения позиционных задач и навыков построения сечений многогранников.

Воспитательная: воспитывать организованность, внимательность, аккуратность в письменной устной речи.

Развивающая: развивать умения наблюдать, обобщать.
Методы:

  1. репродуктивный;

  2. объяснительно-иллюстративный (беседа);

  3. метод самостоятельной работы.


План занятия:

  1. организационный момент (1 мин)

  2. целеполагание (2 мин)

  3. актуализация знаний (30 мин)

  4. объяснение нового материала (10 мин)

  5. решение задач (35 мин)

  6. итог урока (2 мин)


Оборудование: Компьютерная презентация.


Учитель: Сегодня вводное занятие по теме «Построение сечений многогранников», на котором мы вспомним основные свойства прямых и плоскостей в пространстве, рассмотрим решение некоторых позиционных задач и начнем решать задачи на построение сечений многогранников.

^ Комментарий учителям:

В различных учебниках свойства прямых и плоскостей могут быть представлены по-разному, в виде аксиомы, следствия из нее, теоремы, леммы и т.д. Рассмотрим учебники Погорелова А.В. и Атанасяна Л.С.

^ Погорелов А.В.

С1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей (свойство принадлежности точек плоскости).

С2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (свойство пересечения плоскостей).

С3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну (свойство существования плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые).

Т1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну (свойство существования плоскости, проходящей через прямую и не лежащую на ней точку).

Т2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости (свойство принадлежности прямой плоскости).

Т3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну (свойство существования плоскости по трем точкам).

Атанасян Л.С.

А1. Через любые три точки, не лежащие на прямой, проходит плоскость, и притом только одна (свойство существования плоскости по трем точкам).

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости (свойство принадлежности прямой плоскости).

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие очки этих плоскостей (свойство пересечения плоскостей).

Т1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна (свойство существования плоскости, проходящей через прямую и не лежащую на ней точку).

^ Т2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна (свойство существования плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые).

Свойство принадлежности точек плоскости указано в тексте: в каждой плоскости лежат какие-то точки пространства, но не все точки пространства лежат в одной и той же плоскости.

^ Сформулируем эти свойства, независимо от учебника, по которому могут заниматься ребята.
Актуализация знаний.

Учитель: Ребята, в различных учебниках свойства прямых и плоскостей называются по-разному. В одном учебнике это может быть аксиома, а в другом теорема. Поэтому, чтобы мы друг друга понимали, сформулируем эти свойства, независимо от учебника.

Как вы знаете, свойства, известные вам из планиметрии, верны и в стереометрии. Но две из них являются основными. Кто может назвать эти свойства? (Если никто из ребят не отвечает, учитель сам называет эти свойства)

Первое свойство – это свойство существования прямой. Сформулируйте его.

Слайд 2.



^ Ученик: Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Учитель: В стереометрии тоже есть свойства существования, но только не прямой, а плоскости. Причем, плоскость мы можем определить через некоторые элементы. Какие это элементы? Назовите эти свойства.

^ Ученик: Свойство существования плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.

Слайд 3.



Свойство существования плоскости, проходящей через три точки.

Слайд 4.



Свойство существования плоскости, проходящей через прямую и не лежащую на ней точку.

Слайд 5.



Учитель: Итак, четыре этих свойства отнесем к одной группе, и назовем ее «группой существования».

Теперь снова вернемся к планиметрии. Мы назвали одно свойство, как же звучит второе свойство?

^ Ученик: Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

Слайд 6.



Учитель: А теперь, по аналогии с первой группой, скажите, есть ли в стереометрии свойства принадлежности?

Ученик: Да, есть. Свойство принадлежности точек плоскости.

Слайд 7.



Свойство принадлежности прямой плоскости.

Слайд 8.



Учитель: Итак, три этих свойства образуют еще одну группу – «группу принадлежности». Осталось еще одно свойство, которое не относится ни к одной из этих групп. Это свойство пересечения плоскостей. Сформулируйте его.

^ Ученик: Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Слайд 9.



Учитель: Ребята, мы вспомнили восемь свойств прямых и плоскостей. Именно ими мы будем пользоваться при решении задач. Сейчас откройте тетради и запишите: Свойства прямых и плоскостей. Перечислим этим свойства. Вы должны их знать.

Слайд 10.



При построении сечений многогранников мы будем пользоваться этими свойствами. Но, перед тем как приступить к построениям сечений, давайте вспомним, что называют сечением многогранника?

^ Если ребята отвечают на вопрос, то переходим к слайду 12, если не отвечают, то останавливаемся на слайде 11 и проводим следующую беседу.

У1: Как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость?

у2: Плоскость может не пересекать многогранник, пересекать, соприкоснуться с ним в одной точке, иметь общую прямую.

У: Рассмотрим тетраэдр. В случае, когда плоскость пересекает тетраэдр, по обе стороны плоскости имеются точки тетраэдра. Такую плоскость называют секущей плоскостью. Рассмотрим одну из граней тетраэдра и секущую плоскость. Что является пересечением двух плоскостей?

у: Прямая.

У: Но ведь грань тетраэдра это часть плоскости. Тогда что является их пересечением?

у: Отрезок.

У: Также секущая плоскость пересекает и остальные грани тетраэдра. Что является их пересечением?

у: Тоже отрезки.

У: Фигура, составленная из этих отрезков называется сечением.

Слайд 12.

Определение. Сечением называется многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника.

Сейчас посмотрите на экран (слайд 13). Вы видите куб . Построим сечение куба плоскостью, которая проходит через точки , и .

Решение:

У: Ребята, а такая плоскость существует.

у: Да, существует по свойству существования плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.

У: Смотрим, пересекает ли секущая плоскость нижнюю грань куба. Для этого достаточно найти две общие точки этих плоскостей. Ищем общие точки двух плоскостей.

у: Точки и .

У: Значит, – пересечение плоскости основания с секущей плоскостью. Аналогичным образом рассмотрим другую грань. Смотрим, пересекает ли секущая плоскость грань . Для этого достаточно найти две общие точки этих плоскостей. Ищем общие точки двух плоскостей.

у: Точки и .

У: Значит, – пересечение плоскости с секущей плоскостью. Аналогичным образом рассмотрим следующую грань куба. Смотрим, пересекает ли секущая плоскость грань . Для этого достаточно найти две общие точки этих плоскостей. Ищем общие точки двух плоскостей.

у: Точки и .

У: Значит, – пересечение плоскости с секущей плоскостью. Итак, мы построили сечение, проходящее через три точки куба.

^ Объяснение нового материала.

У: Перед тем, как продолжить решать задачи на построение сечений многогранника, я хочу напомнить вам особенности изображения пространственных фигур и рассмотреть решение некоторых позиционных задач.
Слайд 14.

Чертежи пространственных фигур обычно получаются при помощи параллельного проектирования. При этом:

  1. точка изображается точкой;

  2. прямая изображается прямой;

  3. параллельные прямые изображаются параллельными прямыми;

  4. угол между двумя пересекающимися прямыми при изображении этих прямых может произвольно измениться;

  5. если точка лежит на прямой , то изображение точки лежит на изображении прямой .

  6. величина отрезка при изображении может произвольно измениться.

У: Чтобы производить построения на стереометрическом чертеже, надо условиться о правилах обращения с чертежом. Надо установить, как изображаются на чертеже пространственные образы, что значит «дана точка», как надо понимать требование «найти прямую» и т.д.

У: Какими же особенностями должен обладать проекционный чертеж, чтобы на нем можно было эффективно производить решения пространственных задач, т.е. фактически строить на чертеже искомые элементы?

У: Рассмотрим один из способов изображения точек пространства (слайд 15).

Ребята, смотрите на экран и изобразите все, что показано на экране у себя в тетради.

Итак, представим себе в пространстве некоторую плоскость (для определенности горизонтальную плоскость, которую в дальнейшем будем называть основной плоскостью). Далее, пусть какие-либо точки спроектированы параллельно по какому либо направлению на эту плоскость (рис 1). Будем считать точки «заданными» на изображении, если помимо изображений самих точек даны и изображения их проекций на основную плоскость. При помощи «заданных» на чертеже точек можно «задавать» прямые и плоскости. Так, например, на рис.2 прямые , и являются заданными, так как каждая из них имеет две заданные точки. То есть, прямая считается заданной, если помимо изображения самой прямой дано изображение ее проекции на основную плоскость.

Ребята, обратите внимание, что прямые и лежат в одной плоскости, заданной параллельными прямыми и . Такую плоскость называют проектирующей плоскостью.

Аналогично, плоскость также является заданной, так как определяется тремя заданными точками. Как еще можно задать плоскость? (через прямую и не лежащую на ней точку, двумя пересекающимися прямыми, двумя параллельными прямыми ).

Проекционный чертеж, то есть чертеж, на котором для любой изображенной точки определена ее проекция, причем для одних точек эти основания показаны, а для других могут быть построены, обладает, как говорят, свойством полноты.

На полном чертеже решаются задачи на определение взаимного расположения на нем фигур. Такие задачи называются позиционными.

К таким задачам относятся следующие задачи:

  1. Построить точку пересечения прямой и плоскости.

  2. Построить линию пересечения двух плоскостей.

  3. Построить сечение многогранника плоскостью.

  4. Построить точку пересечения прямой и поверхности.

  5. Построить пересечение поверхностей.

При решении позиционных задач произвол в проведении линий не допускается, все построения выполняются по строгим правилам.

Рассмотрим решение некоторых из этих задач.

Ребята работают в тетрадях, учитель ведет беседу и работает у доски.

Задача 1. Построить точку встречи данной прямой с основной плоскостью .

Решение.

У: Что дано? Что требуется построить?

у: Дана прямая и плоскость . Построить точку пересечения прямой с плоскостью .

У: Всегда ли прямая в пространстве пересекает плоскость?

у: Нет. Если прямая параллельна плоскости, то точки пересечения нет. Если прямая лежит в плоскости, то все точки прямой принадлежат этой плоскости.

У: Рассмотрим случай, когда не параллельна плоскости и не принадлежит ей. По условию задачи задана прямая . Что значит «прямая задана»?

у: Значит прямая задана вместе со своей проекцией.

У: Обозначим проекцию прямой через . Эти прямые лежат в проектирующей плоскости. Итак, требуется построить точку пересечения прямой с плоскостью. Чем может быть задана точка?

у: Пересечением двух прямых.

У: Значит, если прямая пересекает плоскость, то она пересекает некоторую прямую в плоскости. Какие прямые мы должны взять?

у: Прямую и прямую из плоскости .

У: Если прямые пресекаются, значит, какому условию они удовлетворяют?

у: Лежат в одной плоскости.

У: Какую прямую мы можем взять из плоскости , которая лежит с прямой в одной плоскости?

у: Прямую .

У: Значит какие прямые возьмем?

у: Прямую и прямую .

У: Продолжите прямые и найдите точку их пересечения. Обозначьте ее через . Итак, мы построили точку пересечения прямых и . Докажем, что точка . , .

Точка есть точка пересечения прямой с плоскостью .

У: Запишите в тетради вывод:

Чтобы построить точку пересечения прямой и плоскости, надо построить точку пересечения этой прямой с ее проекцией на данную плоскость.

Решим следующую задачу.

Ребята работают в тетрадях, учитель ведет беседу и работает у доски.

Задача 2. Даны точки , не лежащие на одной прямой и их параллельные проекции на плоскость . Требуется построить линию пересечения плоскости и плоскости .

Решение.

У: Что дано? Что требуется построить?

у: Даны три точки , не лежащие на одной прямой и их проекции на плоскость. Требуется найти пересечение плоскости и плоскости .

У: Можем ли мы утверждать, что плоскость существует? Единственна ли она?

у: Да, можем. (По свойству существования плоскости по трем точкам).

У: Итак, требуется построить линию пересечения двух плоскостей. Чем является эта линия?

у: Прямой.

У: Что достаточно построить, чтобы провести прямую?

у: Две точки.

У: Где они должны быть расположены?

у: Они должны принадлежать и плоскости , и плоскости .

У: Чем могут быть заданы точки?

у: Двумя пересекающимися прямыми.

У: Где они расположены?

у: В одной вспомогательной плоскости.

У: Какие это прямые?

у: Прямые и , и .

У: Постройте точки их пересечения и обозначьте, соответственно через и . Мы нашли общие точки двух плоскостей. Значит, прямая , проходящая через эти точки будет являться линией пересечения этих плоскостей.

У: Запишите в тетради вывод:

Чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, надо построить точки пересечения двух прямых одной плоскости с их проекциями на другую плоскость. Провести прямую через полученные точки.
Решение задач.

Задача 3. Постройте сечение куба плоскостью , где и – внутренние точки соответственно ребер и (рис. 3а).

Решение.

У: Что значит построить сечение?

у: Найти пересечение секущей плоскости с гранями куба.

У: Рассмотрим каждую грань, будет ли у нее пересечение с секущей плоскостью . Посмотрим, пересекается ли секущая плоскость с плоскостью . Что вы можете сказать о взаимном расположении этих плоскостей?

у: Каждая из двух плоскостей и содержит точки и . Значит, по свойству пересечения плоскостей, плоскость пересекает плоскость по прямой .

У: Следовательно, отрезок – сторона искомого сечения.

Аналогично, отрезок – сторона искомого сечения (рис. 4б).

У: Давайте определим, пересекает ли секущая плоскость грань . По свойству пересечения плоскостей они должны иметь хотя бы одну общую точку. Есть у них общая точка? Может быть, мы можем ее построить. Для этого необходимо построить точку пересечения прямой, лежащей в секущей плоскости, с плоскостью основания. Чтобы построить точку пересечения прямой и плоскости, надо построить точку пересечения этой прямой с ее проекцией на данную плоскость.

У: Возьмем прямую . Построим точку пересечения этой прямой с плоскостью основания куба. Для этого нужно найти проекцию прямой . Какая это прямая?

у: Прямая .

У: Мы можем построить точку их пересечения?

у: Да, можем. Прямая принадлежит секущей плоскости, лежит в плоскости основания, при этом они лежат в проектирующей плоскости . Значит, имеют общую точку.

У: Постройте точку их пересечения и обозначьте через . Мы нашли общую точку двух плоскостей. Значит, эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Что необходимо построить, чтобы провести эту прямую?

у: Требуется построить вторую общую точку секущей плоскости и плоскости основания.

У: Чем может быть задана точка?

у: Двумя пересекающимися прямыми.

У: Каким условиям должны удовлетворять эти прямые?

у: Одна должна лежать в секущей плоскости, другая – в плоскости . При этом, обе прямые должны принадлежать одной вспомогательной плоскости.

У: Давайте рассуждать, есть ли такие прямые. В секущей плоскости две прямые и . Прямую мы рассмотрели. Рассмотрим прямую . Вторая прямая должна лежать в плоскости основания, но при этом обе прямые должны принадлежать одной плоскости. Смотрим, каким плоскостям принадлежит прямая ?

у: Плоскости .

У: Есть ли прямая, которая принадлежит и плоскости основания, и плоскости ?

у: Да, прямая .

У: Постройте точку пересечения этих прямых и обозначьте ее через .

У: Мы построили две точки, которые принадлежат и секущей плоскости, и плоскости основания куба. Теперь можем провести прямую (рис.3б). Эта прямая, в свою очередь, пересекает ребро в точке и ребро в точке . Что получили? Можем ли мы построить прямую пересечения секущей плоскости с плоскостью ?

у: Да, можем. Так как имеем две общие точки и . Через них проведем отрезок , принадлежащий этой прямой.

У: Прямую пересечения секущей плоскости с какой плоскостью мы можем еще построить? Какую грань куба содержит эта плоскость? Какая это прямая?

у: С плоскостью, содержащей грань . Это прямая . А в пересечении секущей плоскости и грани куба образуется отрезок .

У: Итак, какой многоугольник будет являться сечением данного куба?

Ученик: Искомое сечение – пятиугольник (рис. 3в).

Задача 4. Постройте сечение пирамиды плоскостью , где и – внутренние точки соответственно ребер и (рис. 4а).

Решение.

У: Что значит построить сечение?

у: Построить пересечение секущей плоскости с гранями многогранника.

У: Рассмотрим каждую грань, будет ли у нее пересечение с секущей плоскостью . Посмотрим, пересекается ли секущая плоскость с плоскостью . Что вы можете сказать об этих плоскостях?

у: Каждая из двух плоскостей и содержит точки и . Значит, по свойству пересечения плоскостей, плоскость пересекает плоскость по прямой , а грань по отрезку.

У: Следовательно, отрезок – сторона искомого сечения.

Аналогично, отрезок – сторона искомого сечения (рис. 4б).

У: Пересекает ли секущая плоскость грань ?

у: Да, пересекает. Так как точка принадлежит грани (по свойству пересечения плоскостей).

У: Чтобы найти прямую пересечения плоскостей достаточно найти две точки этой прямой. Одна точка задана. Требуется построить вторую точку. Чем задается точка?

у: Двумя пересекающимися прямыми.

У: Каким условиям должны удовлетворять эти прямые?

у: Одна должна лежать в секущей плоскости, другая – в плоскости . При этом, обе прямые должны принадлежать одной вспомогательной плоскости.

У: Давайте рассуждать, какие это могут быть прямые. В секущей плоскости две прямые и . Рассмотрим прямую и прямые, содержащие ребра пирамиды, принадлежащие грани . Очевидно, что не пересекается с и не пересекается с (скрещивающиеся прямые). Пересекает ли прямую ?

у: Да, пересекает. Они лежат в одной плоскости и не являются параллельными.

У: Постройте точку пересечения этих прямых и обозначьте ее через .

Точка принадлежит плоскости ?

у: Да, т.к. она принадлежит прямой .

У: Мы построили точку и точка была задана. Эти две точки принадлежат и секущей плоскости, и плоскости . Теперь можем провести прямую (рис.4в). Эта прямая, в свою очередь, пересекает ребро в точке .

Получаем, что плоскость пересекает грани и по отрезкам и соответственно. Следовательно, искомое сечение – четырехугольник (рис. 4г).

Далее представлен список задач, которые учитель может дать ученикам для самостоятельного решения, может рассмотреть с учениками в оставшееся время или дополнительно для желающих.

  1. Точки и расположены на смежных боковых гранях призмы. Построить точку встречи прямой с плоскостью нижнего основания призмы.

  2. Точка расположена на боковом ребре призмы, а точка - на не пересекающей его стороне нижнего основания призмы. Построить точку встречи прямой с плоскостью верхнего основания призмы.

  3. Точка расположена на боковом ребре треугольной призмы, а точка - на противолежащей грани. Построить точки встречи прямой с плоскостями оснований призмы.

  4. Точка расположена на боковой грани призмы, а точка - на нижнем основании. Построить точку встречи прямой с плоскостью верхнего основания призмы.

  5. Дано изображение пирамиды . Построить линию пересечения плоскостей двух ее несмежных граней.

  6. Дано изображение пирамиды и отрезка , лежащего в грани . Требуется построить точки пересечения прямой :

  1. с плоскостью основания ;

  2. с плоскость грани .

  1. Имеем изображение усеченной треугольной призмы . Найти линию пересечения плоскости верхнего основания с плоскостью нижнего.


Заключение

Целью данной работы было разработать факультативного занятия по теме «Построение сечений многогранников». В связи с чем, были рассмотрены особенности факультативного занятия. Кроме того, были подобраны задачи, которые можно использовать на факультативе по данной теме. Задачи на построение сечений многогранников, определение вида сечений или вычисление элементов этих сечений часто включаются в различные контрольные и проверочные работы, конкурсы и олимпиады по математике. Решение таких задач способствует развитию представлений, выработке практических навыков изображения пространственных фигур.

Таким образом, в данной работе были рассмотрены основные моменты изучения построений сечений многогранников. Вследствие чего, дальнейшие исследования могут проходить в направлении более детального изучения отдельных разделов данной темы.


Список используемой литературы:

  1. Лоповок Л.М. Сборник стереометрических задач на построение. Пособие для учителей средней школы. Под редакцией А.Д. Посвянского. М. 1950. – 76 с.

  2. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1990. – 384 с.

  3. Атанасян Л.С. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кодомцев и др. - М.: Просвещение, 1998. – 207 с.

  4. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия: Пробный учебник для 9 – 10 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1983. – 336 с.

  5. И. Смирнова, В. Смирнов. Геометрия на профильном уровне обучения. Сечения пространственных фигур. / И. Смирнова, И. Смирнов // Математика. – 2006. - № 23.

  6. И.Смирнова. Методическая консультация. Сечения пространственных фигур. / И. Смирнова // Математика. – 2008. - №1.




1 У – Учитель

2 у – ученик






Скачать файл (650 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru