Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Матрицы - файл 1.doc


Матрицы
скачать (197 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc197kb.14.12.2011 08:42скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Содержание
Введение 3

Основная часть 6

  1. Умножение матрицы на вектор 6

  2. Действия с матрицами 7

  3. Обратная матрица 12

  4. Ранг матрицы 17

Заключение 21

Список использованной литературы 22


Введение
Прямоугольная таблица чисел

а11 а12 ... а1n

а21 а22 ... а2n ,

аm1 аm2 ... аmn

содержащая m строк и n столбцов, называется матрицей с размерами m х n. Числа а11, ..., аmn называются элементами матрицы. Каждый эле­мент матрицы снабжен двумя индексами: первый индекс указывает номер строки, второй - номер столбца, в которых расположен этот элемент.

В дальнейшем матрицы будем обозначать прописными буквами полужирного шрифта: А, В, С и т. д. Например, обозначив матри­цу буквой А, можно написать

а11 а12 ... а1n

А = а21 а22 ... а2n ,

аm1 аm2 ... аmn

Часто вместо подробной записи употребляют сокращенную: А = (аij).

Строки матрицы А будем рассматривать как n-мерные векторы и обозначать их через А1, А2, ..., Аm. Тогда матрицу А можно рассматри­вать как систему строк А = [А1, А2, ..., Аm], которую будем заключать в квадратные скобки.

Столбцы матрицы А можно рассматривать как m-мерные векторы. Обозначим их через A1, A2, ..., Аn. Теперь матрицу А можно рассматри­вать как систему столбцов А = (A1, A2, ..., An), которую будем заключать в круглые скобки.

Две матрицы А = (аij) и В = (bij) считаются равными, если число их строк равно числу столбцов и если равны элементы, стоящие на соот­ветствующих местах этих матриц: аij = bij при любых i и j. Очевидно, что матрицы равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие столбцы или равны их соответствующие строки.

Наряду с матрицей

а11 а12 ... а1n

А = а21 а22 ... а2n

аm1 аm2 ... аmn

часто приходится рассматривать матрицу, столбцами которой являются строки матрицы А. Эта матрица называется транспонированной к А и обозначается через АT:

а11 а21 ... а m1

АT = а12 а22 ... аm2 ,

а1n а2n ... аmn

Отметим, что строками матрицы АT являются столбцы матрицы А. Следовательно, (АT) 2j = Аj, (АT)i = Ai при любых i и j.

Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрица называется квадратной, а число ее строк, равное числу столбцов, — порядком квадратной матрицы.

Множество всех элементов квадратной матрицы, которые лежат на отрезке, соединяющем ее левый верхний угол с правым нижним, т. е. совокупность элементов а11, а22, .... аnn, называется главной диагональю, а множество всех элементов, которые лежат на отрезке, соединяющем ее правый верхний угол с левым нижним, — побочной диагональю.

Квадратная матрица называется треугольной, если ее элементы, ко­торые находятся над главной диагональю или под главной диагональю, равны нулю, т. е. матрицы вида
а11 а12 ... а1n b11 b12 ... b1n

А = а21 а22 ... а2n , B = b21 b22 ... b2n

аm1 аm2 ... аmn bm1 bm2 ... bmn
являются треугольными. Матрица А называется треугольной снизу, а матрица В— треугольной сверху.

Квадратная матрица называется диагональной, если равны нулю все ее элементы, расположенные вне главной диагонали, т. е. диагональная матрица имеет вид

а11 0 ... 0

А = 0 а22 ... 0 ,

0 0 ... аmn

Заметим, что диагональная матрица является треугольной снизу и треугольной сверху.

Основная часть
1. Умножение матрицы на вектор.
Умножение матрицы на вектор будет определено ниже только для случая, когда число столбцов матрицы равно числу координат вектора.

Пусть даны матрица А с размерами m х n и n-мерный вектор К = (k1, k2 ..., kn). Произведением матрицы А на вектор К называется вектор, обозначаемый через АК, который равен линейной комбинации столбцов A1, А2 ..., Аn матрицы А с коэффициентами k1, k2 ..., kn, явля­ющимися координатами К, т. е.

АК = k1 A1 + k2 A2 + … + kn An
Примеры.

1. АЕi = 0Аi+ … + 1Аi + … + 0Аn = Аi.

2. 2 1 5 2 1 5 7

(3,-4,1) = 3 - 4 + 1 = .

3 1 4 3 1 4 9
Умножение матрицы на вектор обладает следующими свойст­вами:

1) А(К + L) = АК + А L;

2) А(IК) = l (АК), где l - число.

Справедливость этих свойств устанавливается непосредственно. Если

К = (k1, ..., kn), L = (l1, ..., l n), то К + L = (k1 + l1, ..., k n + l n) и

A(K + L) = (k1 + l1)Al + ... + (kn + ln)An = (k1A1 + ... + knAn) + (l1A1 + ... + lnAn) =AK + AL.

Аналогично доказывается и свойство 2.


^ 2. Действия с матрицами.
Умножение матрицы на число и сложение матриц.

По определению, чтобы умножить матрицу на число k, нужно каж­дый элемент матрицы умножить на k.
Пример. Умножить

3 1 -2 4 9 3 -6 12

7 0 3 2 * 3 = 21 0 9 63 .

-1 2 1 6 -3 6 3 18
Если обозначить j-й столбец матрицы Аk через (Аk)j, то из определе­ния умножения матрицы на число вытекает, что (Ак) j = A j k, где А j - j-й столбец матрицы А. Складывать можно только матрицы с одинаковым числом строк и столбцов. Суммой матриц А = (аij) и В = (bij) называется матрица С = (сij), элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В, т. е. сij = аij + bij при любых i и j.
Пример. Сумма двух матриц

3 2 1 2 5 7 5 7 8

+ = .

8 -1 5 7 0 -40 15 -1 -35
Обозначая j-й столбец матрицы А + B через (А + В)j, из определения сложения матриц получаем, что (А + В) j = Аj + Вj.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается через О. Для любой матрицы А имеем А + О =А, А * 0 = 0.

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число облада­ют следующими свойствами:

1) А + В = В + А;

2) (А + В) + С = А + (В + С);

3) А(k + l) = Аk + Al;

4) A(kl) = (Ak)l;

5) (А + В)k = Аk + Вk,

где А, В, С - матрицы; k, l — числа.

Для доказательства приведенных соотношений достаточно убедить­ся в том, что соответствующие столбцы матриц в левой и правой частях этого соотношения равны. В качестве примера докажем справедливость пятого свойства:

((А + В) k) j = (А + В) j k = А j k + В j k,

(А k + В k) j = (А k) j + (В k) j = А j k + В j k.

Из этих соотношений следует, что соответствующие столбцы мат­риц (А + В) k и А k + В k равны.

Сложение матриц и умножение матрицы на число связаны с умно­жением матрицы на вектор следующим образом:

1) (А + В)К= АК + ВК;

2) (Аl)К= А(lК) = l(АК).

Действительно, если К = (k1, k2 ..., kn), то (А + В)К= (А + B)1k1 + … + (А + В) n k n = (А1 + B1) k1 + … + (А n + В n) k n = (А1 k1 + … + А n k n) + (В1 k1 + … + В n k n) = АК + ВК.

Аналогично проверяется справедливость второго соотношения.

Умножение матриц

Произведение матрицы А на матрицу В определено только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

В результате умножения получим матрицу АВ, у которой столько же строк, сколько их в матрице А, и столько же столбцов, сколько их в матрице В.

А В АВ

Число строк m n m

Число столбцов n l l

Запишем матрицы А и В в виде

а11 а12 ... а1n

А = аi1 аi2 ... аin ,

аm1 аm2 ... аmn
b11 ... b1j ... b1l

B = b21 ... b2j ... b2l ,

bn1 ... bnj ... bnl
Обозначим элементы матрицы АВ через сij. Тогда

с11 ... с1j ... с1l

АB = сi1 ... сij ... сil .

cm1 ... сmj ... сml

По определению элемент сij матрицы АВ равен скалярному произве­дению i-й строки Аi и j-го столбца Вj матрицы В, т. е,

сij = Аi Вj, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ l.

Эта операция может быть выполнена лишь в том случае, когда раз­мерности векторов Аi и Вj совпадают, т. е. число столбцов матрицы А (размерность вектора Аi) равно числу строк матрицы В (размерность вектора Вj).

^ Пример. Найти произведение матриц

2 3 4 -5

А = 1 2 -3 4 ,

-1 -2 3 1

3 2 1

4 1 -1

B = 1 3 2 ,

2 0 1

Так как сомножители имеют размеры 3 * 4 и 4 * 3, то их произведе­ние имеет размеры 3x3. Следовательно, АВ

с11 с12 с13 А1В1 А1В2 А1В3

АB = с21 с22 с23 = А2В1 А2В2 А2В3 =

с31 с32 с33 А3В1 А3В2 А3В3

2*3+3*4+4*1-5*2 2*2+3*1+4*3-5*0 2*1-3*1+4*2-5*1

= 1*3+2*4-3*1+4*2 1*2+2*1-3*3+4*0 1*1-2*1-3*2+4*1 =

-1*3-2*4+3*1+1*2 -1*2-2*1+3*3+1*0 -1*1+2*1+3*2+1*1

12 19 2

= 16 -5 -3 .

-6 5 8
Теорема 1. Столбцы матрицы АВ вычисляются по формуле: (АВ) j = АВ j.

Доказательство. Рассмотрим цепочку равенств:

(АВ) j = (с1j, с2j, … , сmj) = (А1 Вj, А2 Вj, … , Аm Вj) =

а11 b1j + а12 b2j + ... + а1n bnj а11 b1j а12 b2j

= а21 b1j + а22 b2j + ... + а2n bnj = а21 b1j + а22 b2j + ...

am1 b1j + аm2 b2j + ... + аmn bnj am1 b1j аm2 b2j

а1n bnj а11 а12 а1n

... + а2n bnj = а21 b1j + а22 b2j + ... + а2n bnj =

аmn bnj am1 аm2 аmn

= А1 В1j + А2 В2j + ... + Аn Вnj = А Вj.

Следствие. Умножение матриц связано с умножением матрицы на вектор следующим соотношением:

(АВ)К= А(ВК).

Доказательство. Используя определение умножения матрицы на вектор К= (k1, ..., kl) и теорему, имеем

(АВ)К= (AB)1k1 + ... + (АВ) lkl= (ABl)kl + ... + (АВl) kl = A(Blkl + ... + Blkl) =

= A(BK).


Пример. Пусть

1 0

А = ,

0 0

0 1

А = .

0 0

Тогда

0 1 0 0

АВ = ≠ ВА = .

0 0 0 0
Последний пример показывает, что произведение матриц зависит от порядка множителей, т. е. умножение матриц некоммутативно.

Заметим, что для некоторых пар матриц безразлично, в каком по­рядке стоят сомножители произведения. Например,


=

=

.
1 0 0 2 0 2 1 2 6 8

0 0 3 3 3 3 3 4 12 18
Если АВ = ВА, то матрицы А и В будем называть перестановочными.

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

1) (АВ) k = (Аk)В = А(Вk), где k - число;

2) (А + В)С= АС+ ВС,

3) А(В + С) = АВ + АС;

4) (АВ)С= A(BС).

Для доказательства приведенных соотношений надо найти столбцы матриц в левой и правой частях этого соотношения и убедиться в том, что соответствующие столбцы этих матриц равны. Докажем, например, справедливость последнего соотношения:

((АВ)С) j = (АВ)Сj = А(ВСj),

(А(ВС)) j = А(ВС)j = А(ВСj).
Отсюда следует, что j-е столбцы матриц (АВ)С и А(ВС) равны, по­этому равны и сами матрицы.
^ 3. Обратная матрица.
Сложить или перемножить две матрицы можно только в том случае, если выполняются известные соотношения между числами их строк и столбцов. Это ограничение исчезает, если рассматривать только квад­ратные матрицы некоторого заданного порядка n. Любые две такие матрицы можно сложить и перемножить, и в результате получится так­же квадратная матрица порядка n.

Среди действительных чисел существует число 1, обладающее свой-ством k * 1 = 1 k. При умножении матриц аналогичным свойством обла­дает так называемая единичная матрица

1 0 … 0

Е = 0 1 … 0 ,

0 0 … 1

у которой строки и столбцы образуют диагональную систему.

Отметим следующие свойства единичной матрицы:

1) ЕК = К для любого n -мерного вектора К;

2) АЕ = ЕА для любой квадратной матрицы А.

Действительно, если К = (k1, k2, ..., kn), то

ЕК = Е1k1 + Е2 k 2 + ... + Еn k n = К.

Докажем свойство 2.

Для любого j = 1, 2, ..., n

(АЕ) j = АЕ j = А j и, значит, АЕ = А;

(ЕА) j = ЕА j = А j, а поэтому ЕА = А.

Рассмотрим теперь произвольную квадратную матрицу А порядка n. Если существует такая матрица В, что

АВ = ВА= Е,

то будем говорить, что А обратима, а В будем называть обратной матри­цей для А. Из нижеследующей теоремы вытекает, что не каждая матри­ца обратима.

Теорема 2. Если матрица А обратима, то ее столбцы A1, A2, ..., Аn образуют линейно независимую систему векторов.

Доказательство. Рассмотрим произвольное соотношение

А 1 k 1 + А 2 k 2 + … +Аn k n = 0 (2)

и покажем, что k 1 = k 2 = ... = k n = 0. Этим будет установлена линейная независимость системы векторов A1, A2, ..., Аn

Обозначим через Е1, Е2, ..., Е n столбцы единичной матрицы Е. Ясно, что

АЕ1 = A1, АЕ2 = А2, ..., АЕn = Аn.

После подстановки этих соотношений в равенство (2) получим

(АЕ1) k 1 + (АЕ2) k 2 + ... + (АЕn) k n = Ө

или

А(Е1k 1 + Е2k 2 + ... + Еnk n) = Ө.

Умножая последнее равенство слева на матрицу В, обратную для А, получим

ВА(Е1k 1 + Е2k 2 + ... + Еnk n) = В Ө.

или (вследствие ВА = Е, BӨ = Ө, ЕЕi = Ei)

Е1k 1 + Е2k 2 + ... + Еnk n = Ө. (3)

Так как Е1, Е2, ..., Еn - линейно независимая система векторов, то из соотношения (3) следует k 1 = k 2 = ... = k n = 0.

Назовем матрицу невырожденной, если ее столбцы образуют линей­но независимую систему векторов. Тогда теорема 2 утверждает, что обратимая матрица невырожденна. Наша ближайшая цель — доказать, что любая невырожденная матрица обратима. Прежде всего докажем следующую лемму.

Лемма (о невырожденной матрице). Если А — невырожденная ма­трица, то:

1) из АВ = 0 следует, что В = 0; 2) из АВ = Е вытекает, что ВА = Е.

Доказательство. 1. Предположим, что В ≠ 0. Тогда один из столбцов матрицы В содержит ненулевые элементы. Пусть, для опреде­ленности, такие элементы содержатся в первом столбце матрицы В, т. е. b11, b21, ..., bn1 - ненулевой набор чисел.

Из равенства АВ = 0 следует, что первый столбец матрицы АВ явля­ется нулевым, т. е. (АВ)1 = Ө. Так как (АВ)1 = АВ1, то АВ1 = Ө. Отсюда b11А1 + b21А2 + ... + bn1Аn = Ө. Так как среди чисел b11, b21, ..., bn1 имеются ненулевые, то из последнего равенства следует линейная зависимость системы векторов A1, A2, ..., Аn, что противоречит невырожденности матрицы А. Итак, предположение В ≠ 0 приводит к противоречию. Следовательно, В = 0.

2. По условию АВ = Е, Умножив это равенство справа на матрицу А, получим ABA = ЕА или ABA = АЕ. Отсюда А(ВА - Е) = 0. Так как А -невырожденная матрица, то из первого утверждения леммы вытекает ВА - Е = 0 и ВА = Е.

Теорема 3. Каждая невырожденная матрица А обратима, причем i-м столбцом обратной матрицы, i = 1, 2, ..., n, является единственное решение системы уравнений

А1х1 + А2х2 + … + Аnхn = Еi. (4)

Доказательство. Покажем сначала, что система уравнений (4) имеет единственное решение. Так как матрица А невырожденна, то ее столбцы А1, А2, ..., Аn линейно независимы. Отсюда следует, что А1, А2, ..., Аn - базис Rn. Следовательно, n-мерный вектор Еi (при любом i - 1, 2, ..., n) единственным образом разлагается по векто­рам А1, А2, ..., Аn:

А1k 1 + А 2k 2 + ... + А nk n = Е1,

А1l1 + А 2l 2 + ... + А nl n = Е2, (5)

А1t1 + А 2t 2 + ... + А nt n = Еn.

Ясно, что (k1, k2, ..., kn ), (l1, l2, ..., ln ), (t1, t2, ..., tn ), - единственные решения системы (4) соответственно при i = 1, 2, ..., n.

Теперь построим матрицу В, в качестве первого столбца которой возьмем решение (k1, k2, ..., kn ) системы (4) при i = 1, в качестве второго столбца — решение (l1, l2, ..., ln ) системы (4) при i = 2 и т. д.:

k 1 l1 ... t1

В = k 2 l2 ... t2n ,

k n ln ... tn

Используя умножение матрицы на вектор, разложения (5) можно переписать в виде

AB1 = E1, AB2 = E2, ..., ABn = En

или, в силу теоремы 1,

(АВ) 1 = Е1, (АВ)2 = E2, ..., (АВ)п= En.

Из последней цепочки равенств вытекает, что АВ = Е. Отсюда со­гласно лемме о невырожденной матрице получаем ВА = Е. Таким обра­зом, В — обратная матрица для А.

Из теорем 2 и 3 следует теорема 4.

Теорема 4. Матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденна.

Остается выяснить, сколько обратных матриц может иметь данная невырожденная матрица.

Теорема 5. Обратимая матрица А имеет только одну обратную матрицу.

Доказательство. Пусть В и С - обратные матрицы для А. Тогда АВ = E и CA = E.

Умножив равенство АВ = Е слева на С, получим CAB = С. Отсюда, с учетом того, что СА = Е, следует В = С.

Переходим к отысканию обратной матрицы. Из теоремы 3 следует, что столбцами обратной матрицы являются решения соответственно систем уравнений

А1х 1 + А 2х 2 + ... + А nх n = Е1,

А1х1 + А 2х2 + ... + А nхn = Е2, (5)

А1х1 + А 2х 2 + ... + А nх n = Еn.

Так как эти системы различаются только набором свободных членов, то их можно решать параллельно в одной таблице.

Единственную обратную матрицу для обратимой матрицы А будем обозначать через А-1.

Пример. Найти обратную матрицу А-1 если

1 0 -1

А = 2 3 2 ,

-1 1 2

Приступаем к решению трех систем уравнений с тремя неизвестными:

х1

х2

х3

Е1

Е2

Е3

1

2

-1

0

3

1

-1

2

2

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

0

3

1

-1

4

1

1

-2

1

0

1

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

-1

1

1

1

-5

1

0

1

0

0

-3

1

1

0

0

0

0

1

0

1

0

-4

-5

6

1

1

-1

-3

-3

4

1

0

0

0

1

0

0

0

1

-4

6

-5

1

-1

1

-3

4

-3


Последний шаг в решении заключался в перестановке строк места­ми, т. е. были переставлены местами уравнения системы. Ясно, что это преобразование не изменяет множество решений системы уравнений. Сделано это было для того, чтобы в последней системе первое уравне­ние содержало в качестве разрешенного неизвестное х1, второе - неиз­вестное х2, а третье - неизвестное х3. В этом случае столбцы свободных членов разрешенной системы являются решениями системы уравне­ний и, значит, столбцами обратной матрицы. Итак,

-4 1 -3

А-1 = 6 -1 4 ,

-5 1 -3
^ 4. Ранг матрицы.
Рангом матрицы называется ранг системы ее столбцов. Будем обо­значать ранг матрицы А символом r (А).

Ранг является одной из важнейших характеристик матрицы. Изуче­ние ранга матрицы начнем с доказательства следующих двух лемм.

Лемма 1. Пусть А = (А1, А2, ..., Аn) и В = (В1, В2, ..., Вn) - две такие матрицы, что системы уравнений

А1х 1 + А 2х 2 + ... + А nх n = Ө (6)

В1х1 + В 2х2 + ... + В nхn = Ө. (7)

равносильны. Тогда ранги матриц А и В совпадают.

Доказательство. Пусть

А´1х 1 + А´2х 2 + ... + А´nх n = Ө (8)

- общее решение системы уравнений (6). Из определения общею решения вытекает, что (8) — общее решение системы уравнений (7). Теперь из теоремы получаем, что базис каждой из систем векторов А1, А2, ..., Аn и В1, В2, ..., Вn содержит столько векторов, сколько их в диаго­нальной части системы векторов А´1, ..., А´n. Отсюда следует, что ранги матриц А и В равны.

Лемма 2. Следующие преобразования со строками матрицы А не изменяют ее ранга:

1) вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю;

2) прибавление к i-и строке матрицы А ее j-й строки, умноженной па число k;

3) вычеркивание строки матрицы, которая разлагается по осталь­ным строкам матрицы.

Доказательство. Сначала покажем, что первые два преобразования со строками не изменяют ранга матрицы. Обозначим через А´ = (А´1, А´2, ..., A´n) матрицу, полученную из матрицы А = (А1, А2, ..., An) при помощи этих преобразований. Тогда системы уравнений

А1х 1 + А 2х 2 + ... + А nх n = Ө (9)

А´1х 1 + А´2х 2 + ... + А´nх n = Ө (10)

равносильны, так как система уравнений (10) получена из системы (9) при помощи преобразований, которые не изменяют множество решений системы уравнений. Теперь из леммы 1 вытекает, что г (А) = г(А´).

Докажем, что вычеркивание строки, которая разлагается по осталь­ным строкам матрицы, не изменяет ее ранга. Пусть, для определенно­сти, последняя строка Аm матрицы А = (А1, ..., Аm-1, Аm) разлагается по строкам А1, ..., Аm-1:

Аm = k1A1 + ... + km-1Am-1.

Отсюда Аm - k1A1 - ... - km-1Am-1 = Ө.
Матрицу А можно при помощи первых двух преобразований со стро­ками превратить в матрицу [А1, ..., А m-1]:

А = [А1, ..., А m-1, А m] → [А1, ..., А m-1, А m - k1A1] → … →

→ [А1, ..., А m-1, А m - k1A1 - … - km-1Am-1] → [А1, ..., А m-1, Ө] →

→ [А1, ..., А m-1].

Так как первые два преобразования со строками не изменяют ранга матрицы, то

г (А) = г[А1, ..., А m-1, А m] = г[А1, ..., А m-1].

Выясним теперь, связаны ли ранг системы строк матрицы и ранг матрицы, т. е. ранг ее системы столбцов. Исчерпывающий ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме.

Теорема 6 (о ранге матрицы). Ранг р матрицы А равен рангу s системы ее строк.

Доказательство. Пусть

а11 а12 ... а1n

А = ……………….. ,

аm1 аm2 ... аmn

Докажем сначала, что р ≤ s. Из условия теоремы вытекает, что базис системы строк А1, ..., Аm содержит s векторов. Пусть, для определенно­сти, строки А1, ..., Аs матрицы А образуют базис системы ее строк. Тогда все остальные строки матрицы А разлагаются по строкам А1, ..., Аs Вычеркнем в матрице А строки Аs+1, ..., Аm и получим матрицу

а11 а12 ... а1n

А* = ……………….. ,

Аs1 аs2 ... аsn

Из леммы 2 следует, что ранги матриц А и А* равны, поэтому ранг матрицы А* равен р. Столбцы А*1, ..., А*n матрицы А* являются s-мерными векторами. Так как г(А*) = р, то и r(А*1, ..., А*n) = р.

Каждый s-мерный вектор, и в частности векторы А*1, ..., А*n, разлага­ется по диагональной системе s-мерных векторов Е1, ..., Еs, ранг кото­рой равен s. Следовательно, r(А*1, ..., А*n) ≤ r(Е1, ..., Еs). Отсюда р ≤ s.

Докажем теперь, что р ≥ s. В первой части доказательства теоремы было установлено, что ранг системы столбцов матрицы не превосходит ранга системы ее строк. Применяя этот результат к матрице АТ, полу­чим г((АТ), ..., (АТ) m) ≤ г((АТ) 1, …, (АТ) n).

Так как (АТ) i = Аi, (АТ) j = А j, то r (А1, ..., Аm) ≤ r (A1, ..., Аn) и, значит, s ≤ р.

Из условий р ≤ s и s ≤ р следует р = s.

Следствие. При транспонировании матрицы ее ранг не изменяет­ся, т. е.

r (А) = r (АТ).

Используя теорему 6 и определение ранга матрицы, имеем

r (А) = r (А1, ..., Аm) = г((АТ) 1, ..., (АТ)m) = r (АТ).
Заключение
Профессиональный уровень специалиста во многом зависит от того, ос-воил ли он современный математический аппарат и умеет ли использо­вать его при анализе сложных экономических процессов и принятии ре­шений. Поэтому в подготовке специалистов широкого профиля изучение математики занимает значительное место.

Математическая подготовка специалиста в экономике имеет свои особенности, свя­занные со спецификой экономических задач, а также с широким разнооб­разием подходов к их решению.

В данной работе были раскрыты вопросы, характеризующие понятие матрицы, а также рассмотрены операции, совершаемые с матрицами.

Список использованной литературы


  1. Гелъфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. — М.: Наука, 1971,

  2. Ермаков В.И., Рудык Б.М. Алгебра векторов и матриц. - М.: СП «Вся Москва», 1993.

  3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1984.

  4. Мальцев А.И. Основы линейкой алгебры. - М.: Наука, 1970.

  5. Скорняков Л.A. Элементы линейной алгебры: Учеб. пособие. — М.: Наука, 1980.









Скачать файл (197 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru