Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции для сдачи экзамена по курсу Теоретическая механика - файл 1.doc


Лекции для сдачи экзамена по курсу Теоретическая механика
скачать (320.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc321kb.04.12.2011 19:33скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

  1   2   3
Реклама MarketGid:
Загрузка...

  1. Основные понятия статики.

Теоретическая механика – это наука о наиболее общих законах механического движения и равновесия материальных объектов.

В термехе пользуются предельными абстракциями: материальная точка и абсолютно твердое тело (АТТ)

Термех состоит из 3х частей: 1) Статика; 2) Кинематика; 3) Динамика.

Статика – раздел термеха, в котором изучается общее учение о силах и условия статического равновесия материальных тел, находящихся под действием приложенных сил.

Основные понятия СТАТИКИ:

  1. Если некоторое тело не перемещается по отношению к другому телу, то говорят, что 1е тело находится в состоянии относительного покоя (равновесия). Тело, по отношению к которому рассматривается равновесие других тел – тело отсчета.

  2. Любое тело под действием приложенных к нему сил изменяет свои геометрические форму и размеры – деформируется. Тело называется абсолютно твердым (АТТ), если расстояние между его любыми точками остается постоянным. Плечо – кратчайшее расстояние от т до линии действия силы.

  3. Мерой механического взаимодействия тел является сила. Сила – векторная величина, характеризуется точкой приложения, направлением, модулем. Единица измерения силы – Ньютон. #

  4. Совокупность сил, действующих на какое-либо тело – система сил.

  5. Уравновешенной или эквивалентной (0) системой сил наз-ся система сил, к-я будучи приложенной к твердому телу не нарушает его состояния. Т.е., если некоторое тело не изменяло свое положение, относительно тела отсчета до приложения уравновешенной системы сил, то оно и не изменит его после приложения к нему этой системы сил.

  6. Если к некоторому телу приложена система сил из n сил и к нему прикладываем еще одну систему сил , такую что вместе с 1й она будет составлять уравновешенную систему сил. В этом случае систему сил Q называют уравновешивающей системой сил.

  7. Если каждая из 2х систем сил F и Q уравновешивается одной системой сил , то первые две системы эквивалентны между собой. . Вывод: замена системы сил, действующей на тело, системой ей эквивалентной не изменяет состояния в котором находится данное тело.

  8. Если система сил эквивалентна одной силе, то эта сила – равнодействующая для данной системы сил ().




  1. Аксиомы статики.

  1. Свободное, АТТ находится в равновесии под действием 2х сил тогда и только тогда(т. и т.т.),когда силы действуют по 1й прямой в противоположные направления и имеют равные модули. #

  2. Действие данной системы сил на данное АТТ не изменится, если к ней присоединить или отбросить систему сил, эквивалентную 0. # , 0

Следствие из данной аксиомы: Действие силы на абсолютно твердое тело не изменится, если т приложения силы перенести вдоль действия силы по ее линии в любую другую точку.

^ Закон параллельных сил

Две силы приложенные к телу в одной точке имеют равнодействующую, приложенную в этой же точке и изображаемые диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах. Вектор ,равный диагонали параллелограмма, построенного на векторах F1 и F2, называется геометрической суммой сил(векторов). = F1+F2 #

^ З-н параллелограмма можно сформулировать следующим образом: две силы, приложенные к телу в одной точке имеют равнодействующую, равную геометрической(векторной) сумме этих сил и приложенной в этой же точке.

^ З-н равенства действия и противодействия При всяком действии одного материального тела на другое, имеет место численно такое же, но противоположное по направлению противодействие,т.е. F1=-F2

^ Принцип отвердевания: равновесие деформируемого тела, находящегося под действием данной системы сил не нарушится, если тело считать отвердевшим – АТТ.

При равновесии сил, действующих на любое деформируемое тело или изменяемую конструкцию, удовлетворяют тем же условиям, что и для АТТ; однако для изменяемого тела эти условия, будучи необходимыми, могут не быть достаточными.


  1. ^ Основные типы связей.

Сила,с которой данная связь действует на тело препятствуя тем или иным его перемещениям – сила реакции связи.

Осн типы р-й связей:

^ Гладкая пл-ть(опора) # Гладкой будем называть пов-ть трением о которую данного тела в первом приближении можно пренебречь. Такая пов-ть дает телу перемещаться только по направлению общего перпендикуляра (нормали) к пов-ти соприкасающихся тел в точке их касания. Поэтому реакция N гладкой пов-ти или опоры направлена по общей нормали к пов-тям соприкасающихся тел в т. их касания и приложенной в этой т.

^ Шероховатая пов-ть – пов-ть трением о которую пренебрегать нельзя. Р-я складывается из нормальной р-и(N) и силы трения F. = #

^ Гибкая связь – к этому типу связи относятся связи, осуществляемые с помощью цепи, троса, каната, р-я связи всегда направлена вдоль линии связи. #

Цилиндрический шарнир – соединения 2х и более тел, посредством цилиндрического стержня. Равнодействующая неподвижного шарнира представляется в виде неизвестных составляющих RX и RY, линии действия к-х совпадают с осями координат. #

^ Сферический шарнир – такой вид связи можно представить в виде стержня, имеющего на конце сферическую пов-ть, к-я крепится в опоре, представляющей собой сферическую полость. #

Один из наиболее применимых видов связи - шарнирно-подвижная опора. Этот вид связи конструктивно выполняется в виде цилиндрического шарнира, к-й может свободно перемещаться вдоль поверхности. Р-я шарнирно-подвижной опоры всегда направлена перпендикулярно поверхности.

^ Шарнирно-неподвижная опора - р-я такой опоры представляется в виде неизвестных составляющих RX и RY. Линии действия к-х совпадают или || осям координат. #

^ Невесомый стержень – тип связи представляется в виде стержня, закрепленного на концах шарнирами. Р-я такого стержня является определенной и направлена вдоль линии, соединяющей центры шарниров. #

^ Жесткая заделка­ – необычный вид связи, т.к. кроме препятствия в перемещении пл-ти ХОУ, жесткая заделка препятствует повороту стержня относительно точки заделки. Поэтому р-я связи сводится не только к р-и из двух составляющих RX и RY, но и к реактивному моменту MP. #


  1. ^ Сложение двух сил. Сложение трех сил, не лежащих в одной плоскости. Сло­жение системы сил. Понятие о геом сумме сил не следует смешивать с понятием о равнодействующей, поскольку не всегда есть равнодействующая.

^ Сложение 2х сил. Геом сумма 2х сил F1 и F2 находится по правилу пар-ма или построением силового треугольника. # Сложение 3х сил, не лежащих в одной пл-ти – геом сумма сил F1,F2, F3 не лежащих в одной пл-ти изображается диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах. #

^ Сложение системы сил. Геом сумма (главный вектор) системы сил определяется или последовательным сложением сил по правилу параллелограмма или помтроением силового многоугольника. #
^ 5 Равнодействующая сходящихся сил.

Рассм систему сходящихся сил, т.е. линий действия к- пересекаются в одной т. Система сходящихся сил эквивалентна системе сил, приложенных в одной точке. Последовательно применяя з-н параллелограмма сил, придем к выводу, что система сходящихся сил имеет равнодействующую, равную геом сумме сил (гл вектору) и приложенную в т пересечения их линий действия. #
6. Разложение сил.

Разложить данную силу на несколько составляющих значит найти такую систему сил, для к-й данная сила является равнодействующей.
^ 7. Равновесие системы сходящихся сил.

  1. Геом условие равновесия: Т.к. главный вектор системы сил определяется как замыкающая сторона силового многоугольника, построенного из этих сил,то может обратиться в 0 только тогда,когда многоугольник замкнется, т.е. когда конец вектора последней силы совпадет с началом вектора первой силы. Исходя из этого для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил был замкнутый.

  2. ^ Аналитическое условие равновесия: Вектор можно рассчитать аналитически =. Равнодействующая – сумма равнодействующих в каждой из пл-тей. =0, когда RX=0, RY=0,RZ=0. ∑FX=0, ∑FY=0, ∑FZ=0. Для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из координатных осей были равны 0.

8 Момент силы. Пара сил

  1. Момент силы относительно точки.

Точку, относительно которой берется момент – наз-ют центром момента, а момент силы, относительно этой точки – моментом относительно центра. Момент всегда характеризует вращательный эффект силы m0(F)=F•h

Моментом силы F, относительно центра т.О, наз-ся вектор m0(F), приложенный в центре т.О, модуль которого равен произведению силы F на ее плечо и направлен перпендикулярно плоскости, проходящей ч/з центр О. #

^ Св-ва момента силы:

  1. Момент силы, относительно цента не изменяется при переносе т. приложения силы вдоль линии ее действия.

  2. Момент силы относительно центра равен 0,или когда сила =0,или когда линия действия силы проходит ч/з т.О.(плечо =0)




  1. Момент силы относительно оси.

^ Моментом силы, относительно оси, наз-ся взятое со знаком +или- произведение модуля проекции F1 силы F на пл-ть, перпендикулярную к оси, на плечо d1, относительно т.О – пересечения оси и пл-ти. M=F1 •d1. Если сила и ось лежат в одной пл-ти, то момент силы относительно этой оси=0. #
11. Пара сил. Момент пары сил.

Пара сил – система 2х сил, равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны. F= -F’. #

Момент пары сил – вектор T(M), модуль к-го равен произведению модуля одной из сил на ее плечо и к-й направлен перпендикулярно пл-ти действия пары сил в ту сторону, откуда пара сил видна стремящейся повернуть тело против хода часовой стрелки. Момент пары сил равен сумме моментов относительно любого центра т.О сил, образующих пару сил. m=m0(F)+m0(F’) #

Проведем из т.О радиус векторы rА=ОА и rВ=ОВ.

m0(F’)= –rB •F’ , m0(F)= rА •F.

m=m0(F)+m0(F’)= rА •F– rB •F’=F(rА – rB )=AB•F (*)

Из (*) следует, что момент пары сил равен моменту 1 из сил, относительно т приложения другой силы. 2 пары сил имеющие одинаковые моменты – эквивалентные, т.е. оказывают на тело одинаковое механическое действие.


  1. Теорема об эквивалентных парах.

Две пары сил, лежащие на одной пл-ти и имеющие равные алгебраические величины моментов – эквивалентны.

Док-во: # Рассм пару сил F и F’. Проведем в пл-ти действия этой пары,через произвольные т.D и т.E две параллельные прямые до пересечения их с линиями действия сил f и F’, и приложим силы P и –P’. Разложим каждую из сил F и F’ по направлениям (АВ) и (ЕВ) и по направлениям (АВ) и (AD) на две составляющие Q и P. P= –P’, Q= –Q’.

Q и –Q’ – лежит на 1й линии действия – воздействие =0.Остается P и P’. В результате пара сил F и F’ будет заменена парой сил p и P’ с другим плечом и другими силами, к-е можно приложить в т.d и т.E, на их линии действия, т.е. F и F’ можно заменить на P и P’.


  1. Теорема о сложении пар сил

# Пары сил, лежащие в одной пл-ти, можно складывать. В рез-те сложения получается лежащая в этой же пл-ти пара сил с моментом, равным алгебраической сумме моментов слагаемых пар. Рассм две пары с моментами m1 и m2, лежащие в пл-тях I и II. Возьмем на линии пересечения пл-тей отрезок AB=В и изобразим пару с моментом m1 силами F1’ F1, а пару с моментом m2 силами F2’ и F2. Сложив силы, приложенные в т.А и т.В убеждаемся,что пары F1 и F1’ и F2 и F2’ – эквивалентны одной паре R и R’.

Так как R=F1+F2, то M(R)=AB•R=F1•AB+F2•AB. →M=m1+m2. Ч.т.д.



  1. Приведение системы к центру

1.5.. Теорема о параллельном переносе силы.

Силу, приложенную к АТТ можно не изменяя оказываемого ей действия переносить из данной точки в любую другую точку тела, прибавляя при этом пару сил с моментом, равным моменту переносимой силы, относительно точки, куда переносится сила.

Пусть дана сила F, приложенная к АТТ в т.А и произвольная т.О, которую назовем центром приведения. # Проведем из т.О в т.А радиус-вектор r, тогда M0(F)=F•r. Приложим в т.О две уравновешивающие силы. F1’ и F” равные и параллельные силе f. M=F•d, M=M0(F). Т.к. векторы М и М0 равны по модулю и совпадают по направлению, то они геометрически равны. M=M0(F)=F•r. Метод Пуансо. Силу F не изменяя ее действия на твердое тело можно перенести из т. ее приложения в любой центр приведения, приложив при этом к телу пару сил с моментом М геометрически равным моменту этой силы, относительно центра приведения.


  1. Приведение системы сил к заданному центру.

# Пусть на твердое тело действует произвольная система сил – f1,F2,…Fn, выберем т.О за центр приведения и пользуясь методом Пуансо перенесем все силы в т.О. F1=F1’, F2=F2’, Fn=Fn’. тогда на тело будут действовать: F1=F1’, F2=F2’, Fn=Fn’ приложенные в т.О и система пар сил m1=m2(F1), m2=m0(F2), mn=m0(Fn).

Сходящаяся система сил, приложенная в т О заменяется равнодействующей, равной сумме всех сил. R =∑F, R – главный вектор системы сил.

Чтобы сложить все полученные пары сил, надо сложить векторы моментов этих сил. M0=∑m0(F). М0= геометрической сумме моментов всех сил, относительно т О, наз-ся главным моментом системы сил, относительно этой т.(центра) #


  1. Теорема о приведении системы сил.

Любая система сил, действующая на АТТ, при приведении к произвольному центру О, заменяется одной силой R, равной гл вектору сис-мы сил и приложенной в центре приведения т О и одной парой сил с моментом М0, равным гл моменту сис-мы сил, относительно центра О.

Следствие: 2 сис-мы сил, имеющие одинаковые главные векторы и главные моменты, относительно одного и того же центра – эквивалентные.


  1. Условия равновесия системы сил.

Для равновесия любой системы тел необходимо и достаточно, чтобы гл. вектор этой системы и ее главный момент относительно любого центра были равны 0.

Эти условия являются необходимыми, т.к. если какое-нибудь из них не выполняется, то система действующих на тело сил, приводится к равнодействующей (R≠0) или к паре сил (М0≠0) и следовательно не является уравновешанной.

Одновременно условия являются и достаточными, потому что при R=0 система может приводиться только к паре сил с моментом М0, а т.к. М0=0, то имеет место равновесие.


  1. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей.

Если данная сис-ма сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей, относительно любого центра т.О равен сумме моментов сил, относительно того же центра.

Док-во: Пусть сис-ма сил F1, F2…Fn приводится к равнодействующей R, линия действия к-й проходит ч/з некоторую т.С. # Приложим в этой т. силу R’= -R, тогда сис-ма сил F1, F2…Fn, R’ будет находиться в равновесии и для нее должно выполняться условие М0=0, т.е. согласно формуле M0=∑m0(FK) для данных сил (включая силу R’), должно быть ∑m0(FK)+m0(R’)=0, но т.к. R’= -R и обе силы направлены вдоль одной прямой, то m0(R’)= -m0(R). Подставляя это значение m0(R’) в предыдущее равенство получим m0(R)= ∑m0(FK) Ч.т.д. (теорема для нахождения моментов сил).


  1. Плоская система сил.

  2. Алгебраический момент силы.

# Алгебраический момент силы F,относительно центра т.О, равен с соответствующим знаком взятому модулю силы на ее плечо. m0(F)=Fh
22 . Алгебраический момент пары сил.

^ Алгебраический момент пары сил = взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил на плечо силы.


  1. Приведение плоской системы к простейшему виду.

Для плоской сис-мы тел: RX= ∑m0(FKX); RY=∑m0(FKY); M0= ∑m0(F) Плоская сис-ма сил, не находящаяся в равновесии приводится к простейшему виду: 1) Если для данной системы сил R=0, M0≠0, то она приводится к 1й паре сил с моментом m0. 2) Если для данной системы сил R≠0, то она приводится к 1й силе, т.е. к равнодействующей: а) R≠0, M0≠0 – в этом случае система приводится к равнодействующей, проходящей через центр т.О; б) M0≠0, R≠0 – вся система заменяется равнодействующей R’=R, проходящей ч/з т.С. Положение т.С определяется: расстояние ОС=d должно удовлетворять равенству R’d=|M0|. Знак момента относительно центра О силы R’ приложенной в т.С должен совпадать с моментом M0. m0(R’)=M0


  1. Равновесие плоской системы сил

Необходимое и достаточное условие равновесия любой системы даются равенствами: R=0, M0=0 (главный вектор и главный момент равны 0)

1) основная форма условий равновесия Т.к. R=0, то его проекции тоже =0, Rx=0, RY=0. M0=0 – алгебраическая величина. Т.О – любая величина в пл-ти действия сил. {∑FKX=0; {∑FKY=0; {∑m0(FK)=0 (1) Для равновесия произвольной плоской системы необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма их моментов, относительно любого центра, лежащего в пл-ти действия сил были=0. 2) вторая форма условия равновесия: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех сил относительно каких-нибудь центров A и В и сумма их проэкций на ось х не перпендикулярную прямой АВ были =0. {∑FKX=0; {∑MA(FK)=0; {∑MB(FK)=0; (*) Докажем достаточность этих уравнений. Если для данной системы сил выполняется только два вторых условия : ∑MA(FK)=0; ∑MB(FK)=0 – такая сист сил может не находиться в равновесии, а иметь равнодействующую R, проходящую через т. А,В. Но по 1му условию ∑FKX=0. RХ=∑FKX=0, т.к. ось ОХ проведена не ┴ к АВ, то последнее условие (*) может быть выполнено только когда R=0, те.е имеет место равновесие. 3) третья форма условия равновесия (ур-е трех моментов) Для равновесия плоск сист сил необх и достаточно, чтобы суммы моментов относительно любых трех моментов А, В, С были=0. {∑MA(FK)=0; {∑MB(FK)=0; {∑MС(FK)=0 Необходимость этих условий как и в предыдущем случае – очевидна, т.к. нарушатся начальные условия. Следует из того, что если при одновременном выполнении данная система не находилась бы в равновесии, то она должна бы приводиться к равнодействующей, проходящей через т.А,В,С, что не возможно, т.к. точки не лежат на 1й прямой. #


  1. Равновесие плоской системы параллельных сил.

В случае, когда все действующие на тело силы || друг другу можно направить на ось ох ┴ силе, а ось оу || силе. Тогда проекция каждой из сил на ось х будет =0 и первое равенство (1) превратится в тождество ∑FKX=0→ 0=0. В результате для системы параллельных сил останется только 2 условия из (1) {0=0; {∑FKY=0; {∑M0(FK)=0. Вторая форма условий равновесия будет иметь вид: {∑MA(FK)=0; {∑MB(FK)=0; При этом т.А и В не должны лежать на прямой || силам. AB не ||oy.


  1. Центр тяжести.

  2. Центр параллельных сил

Рассмотрим 2 параллельные силы F1 || F2, приложенные к телу в т. А и В. R=F1+F2. # R - Линия действия которой параллельна слагаемым силам и проходит ч/з некоторую т.С, лежащую на прямой АВ. Определим положение т.С с помощью теоремы Вариньона. mC®=mC(F1)+mC(F2). 0=F1h1+F2h2. F1/F2=h2/h1. В равенство входят модули сил, если силы повернуть около точек в одну и ту же сторону на один и тот же угол, то получатся 2 новые силы. Для них равенство сохранится. Линия действия их равнодействующей тоже пройдет ч/з т.С. Такая точка С называется центром параллельных сил F1 и F2. Для системы параллельных и одинаково направленных сил, приложенных к твердому телу равнодействующая всех сил проходит всегда через одну и ту же т.С, положение которой по отношению к т. приложения сил неизменно. Т.С ч/з которую проходит линия действия равнодействующей сист при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону на 1й и тот же угол называется центром параллельных сил.


  1. Координаты центра параллельных сил.

Возьмем произвольную сист коорд из осей x,y,z и точки A1,…An. R=∑Fn. Пользуясь тем, что положение т.С не зависит от направления сил повернем силы возле их точек риложения так, чтобы они стали параллельны оси oz и применим к силам теорему Вариньона. R=∑Fn. Так как R – равнодействующая F1…Fn , момент относительно оси оу = моменту относительно все сил. my®= ∑mY(Fn) { my(R)=R*xC; {my(F1)=F1*x1. R*xC=∑Fnxn. R*yC=∑Fnyn. R*zC=∑Fnzn. xC=∑Fnxn/R, yC=∑Fnyn/R, zC=∑Fnzn/R , где: R=∑Fn, где R=сумме всех сил. Эти ф-лы будут справедливы и для || сил, направленных в разные стороны, если считать, что Fn – алгебраические величины и если R≠0.


  1. Центр тяжести твердого тела

Центром тяж-ти тверд тела наз-ся неизменно связанная с этим телом точка, через к-ю проходит линия действия равнодействующей сил тяжести, действующих на твердое тело при любом положениитела в пр-ве. Координаты центра тяжести равны: x=∑pixi/ p y=∑piyi/ p z=∑pizi/ p p=∑pi , где p=сумме pi, pi – сила тяжести отдельной частицы твердого тела. Согласно определения центра тяжести – центр тяж=ти точка геометрическая, она может лежать вне пределов данного тела.


  1. Координаты центра тяжести однородных тел.

Для однородного тела вес PK его любой части пропорционален объему VK этой части. PK=j*VK. А вес Р всего тела пропорционален объему этого тела.P=jV, где j – единица объема. В результате пользуюсь этим можно написать xC=∑Vixi / V yC=∑Viyi / V zC=∑Vizi / V. Положение центра тяжести однородного тела зависит только от геометрической формы, а от величины j – не зависит. Если тело представляет собой однородную плоскую и тонкую пластину, то у нее: xC= ∑Sixi / S yC=∑Siyi / S. Координаты центра тяжести линии xC=∑Lixi // L yC=∑Liyi / L zC=∑Lizi / L, L=∑Li.


  1. Способы определения координат центров тяжести.

1.Способ симметрии. Если однородное тело имеет плоскость, ось, или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в пл-ти симметрии, на оси симметрии или в центре симметрии.

2.Разбиение. Если тело можно разбить на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координату центра тяжести всего тела можно вычислить по формулам.

3.Дополнение. Этот способ является частным случаем способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы. Если центры тяжести тела без выреза и с вырезом известны.

4.Интегрирование.Если тело нельзя разбить на несколько конечных частей, положение центра тяжести к-х известны, то тело разбивают на произвольно малые объемы VK, тогда координаты: xC= 1/V , yC=1/V zC=1/V

5.^ Экспериментальный метод. Центры тяжести неоднородных тел сложной конфигурации (машина,самолет…) можно определить экспериментально. Этот метод состоит в том, что тело подвешивают на нити или тросе за различные его части.


  1. Кинематика точки и твердого тела

Введение в кинематику. Кинематика – раздел теоретической механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил. Время является скалярной величиной, непрерывно изменяющейся. В задачах кинематики t – время принимают за независимую переменную (аргумент). Все другие переменные величины – функции от времени t. t0=0c.

^ Основная задача кинематики точки и тверд тела состоит в том, чтобы зная закон движения точки (тела) установить методы определения всех кинематических величин, характеризующих данные движения. Траектория точки – непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка, относительно данной системы отсчета. Если траектория является прямой линией, то движение – прямолинейное, иначе – криволинейное.

Задача кинематики твердого тела распадается на 2 части: 1) задание движения и кинематических характеристик движения тела в целом; 2) определение кинематических характеристик движения отдельных точек тела.


  1. Способы задания движения точки.

1.Векторный. # Положение т.М в любой момент времени можно определить задав ее радиус-вектор, проведенный из начала координат. r=r(t), rX=x=ix rY=y=jy rZ=z=kz Введем единичные векторы r=ix+jy+kz.

2.Координатный. Положение точки можно непосредственно определять ее декартовыми координатами (x,y,z), которые с течением времени при движении точки будут изменяться x=f(t), y=f(t), z=f(t). Эти уравнения представляют собой уравнения движения точки. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения. Если задаие движения точки происходит все время в одной и той же пл-ти, то ур-е движения примут вид:x=f(t), y=f(t) (xoy). При прямолинейном движении точки, если вдоль ее траектории направить координатную ось,ее движение будет определяться одним ур-м. x=f(t). Н-р, {x=2t, {y=12t2. Движение т. задано уравнениями, t0=0, M0(0;0), t1=1c. M1(2,12) t=x/2 y=3x2 – траэктория движения т – парабола.

3.Естественный.Естественным способом задания движения т удобно пользоваться в тех случаях когда траектория движения заранее известна. # S=f(t) – закон движения т при его естественном способе задания движения. Пусть кривая АВ – траектория движения т. М относительно системы отсчета Oxyz. Положение т.М будет однозначно определяться криволинейной координатой S, которая равна расстоянию от Начальной точки O’ до т.М, измеренному вдоль дуги и взятому с соответствующим знаком. Т.о. чтобы задать движение естественным способом нужно знать: - траекторию движения; - начало отсчета с указанием “+” и “–“ направления отсчета; - закон движения вдоль т. S=f(t).


  1. Вектор скорости точки.

Одной из основных кинематических характеристик движения т. является векторная величина, называемая – скорость точки. # Пусть движущаяся точка находится в момент времени t в положении М, определяемая радиус вектором r, а в момент времени t1 в положении М1, определяемое радиус вектором r1. Тогда за промежуток времени ∆t=t1-t, перемещение определяется вектором MM1 – вектор перемещения точки. Отношение вектора перемещения точки соответствующему промежутку времени даст векторную величину, называемую средней по модулю и направлению скоростью точки за промежуток времени ∆t (V,r) VCP=MM1 / ∆t=∆r / ∆t ∆r=r1 Очевидно, что чем меньше промежуток времени ∆t, для которого вычислена VCP , тем точнее величина vCP будет характеризовать движение этой точки.

Скорость точки в данный момент времени – это векторная величина V,к которой стремится вектор величиной VCP при стремлении промежутка времени к 0.

V=lim(∆t-0)VCP

Вектор скорости в данный момент времени равен первой производной от радиус вектора по времени. V=dr/dt=r’

Вектор скорости в данный момент времени направлен по касательной к траектории точки в сторону ее движения.


  1. Вектор ускорения точки.

Ускорение т. наз-ся векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки.

Пусть в некоторый момент времени t данная т. находится в положении М и обладает скоростью V,а в момент времени t1 и обладает скоростью V1.

Тогда за промежуток времени ∆t=t1-t скорость точки получит приращение ∆V. V1 всегда направлен в сторону вогнутости траектории. # Отношение приращения вектора скорости ∆V, соответствующего промежутку ∆t определяет вектор среднего ускорения т за этот промежуток. ∆V/∆t=aCP

Вектор среднего ускорения ↑↑ с вектором приращения скорости aCP VCP

Вектор ускорения в данный момент времени = 1й производной от вектора скорости или 2й производной от радиус вектора.

a= d2r / dt2 =dV / dt a=r”(t)=V’(t)

Вектор ускорения в общ случае направлен в сторону вогнутости траектории.
36 . Определение скорости и ускорения точки при координатном способе.

Теорема: Проекция производной от вектора на ось неподвижную в данной системе отсчета равна производной от проекции дифференцируемого вектора на эту же ось.

1.Определение скорости точки. V=dr/dt rX=x rY=y rZ=z VX=drX/dt VX=x’ x=f(t) VY=drY/dt VY=y’ y=f(t) VZ=drZ/dt VZ=z’ z=f(t) Проекции скорости на координатные оси равны 1й производной от соответствующих координат по времени. Зная проекции сокрости найдем и ее направление V= это значит определить углы между вектором и его проекциями cosα=VX/V cosβ=VY/V cosγ=VZ/V

2.Определение ускорения точки aX=d2rX / dt2 =dVX /dt aX=x”=VX’ aY=d2rY / dt2 =dVY /dt aY=y”=VY’ aZ=d2rZ / dt2 =dVZ /dt aZ=z”=VZ

Проекции ускорения т на координатные оси равны первым производным от проекции скорости или 2м производным от соответствующих координат по времени. a= cosα=aX/a cosβ=aY/a cosγ=aZ/a

^ Касательное и нормальное ускорение точки Ускорение точки= геометрической сумме двух векторов, один из которых направлен по главной нормали и называется нормальным ускорением, а другой направлен по касательной и наз-ся касательным (тангенсальным) ускорением точки.

a=an+aτ aτ=d2S/dt2=dV/dt an=V2/R, R – радиус кривизны траектории в конкретный момент времени #

Проекция ускорения на касательную (тангенсальную) равна первой производной от числового значения скорости или 2й производной от расстояния (криволинейной координаты). Проэкция ускорения т на нормаль = квадрату скорости деленному на радиус кривизны траектории. a=


  1. Частные случаи движения точки.

1. Прямолинейное R=∞. Касательная ускорения характеризует изменение числового значения скорости. an=0, a=aτ=dV/dt

2. Равномерное криволинейное V=const aτ=0, a=an=V2/R

3. Равномерное прямолинейное a=0.

S=Vt+at2/2

4. Равноускоренное криволинейное движение. Равнопеременное – такое криволинейное движение, при котором касательная ускорения остается все время постоянной. a=! t=0, S=S0, V=V0, a≠0 V=V0+at, S=S0+V0t+at2/2

5. Гармонические колебания. Точка совершает при этом движении колебания от +А до –А. Величина А= наибольшему отклонению точки от центра колебаний, амплитуда колебаний. Промежуток времени T=t1=2π/k, в течение которого точка совершает 1 полное колебание – период колебаний. При этом виде движения скорость и ускорение точки изменяются с течением времени по гармоническому закону.(Для повторяющихся операций) a=-Ak2*cos kt x=Acos kt x=Asin kt V= -Ak*sin kt


  1. Поступательное движение

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая проведенная в этом теле перемещается оставаясь параллельной своему первоначальному положению. Поступательное движение нельзя путать с прямолинейным. При поступательном траектории могут быть любые кривые линии.

^ Св-ва поступательного движения определяются
  1   2   3



Скачать файл (320.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru