Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции по математическому моделированию - файл 1.doc


Лекции по математическому моделированию
скачать (940.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc941kb.04.12.2011 20:17скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...


Тема I.

Тема II.

Тема III.

Математическое моделирование


Математическое моделирование 1

Тема I. Введение в курс 3

Тема II. Схема «Эксперимент  Модель  Управление» 4

Тема III. Моделирование в электроэнергетике 6

Тема IV. Декомпозиция при моделировании в электроэнергетике.Структура электроэнергетики Украины. 10

Тема V. Элементы теории матриц 17

1. Основные определения 17

2. Операции над матрицами 18

Тема VI. Определители и их свойства 20

Тема VII. Обратная матрица. 22

Тема VIII. Алгоритм сканирования 23

Тема IX. Обращение матрицы методом разбиения на блоки. 27

3. WM= - СA1 27

4. WN= Eq 27

5. M= - W-1СA1 (8) 27

6. N= W-1 (9) 27

3. Формулы Фробениуса для симметричной матрицы. 29

Тема X. Метод окаймления. 30



Лекция 1

^

Тема I.Введение в курс


Модель  заменитель оригинала, позволяющий изучать либо фиксировать отдельные свойства оригинала.

Цель курса - на базе знаний в области математики и вычислительной техники - подготовиться к восприятию дальнейших специальных дисциплин, которые базируются не на знании математики вообще, а на знании прикладной математики.

Этапы моделирования:

  1. постановка задачи  определение свойств оригиналов, подлежащих исследованию;

  2. констатация факта, что оригинал затруднительно, либо невозможно исследовать в натуре;

  3. выбор модели, достаточно хорошо отражающей наиболее существенные свойства оригинала;

  4. исследование модели в соответствии с поставленной задачей;

  5. перенос результатов исследований на оригинал;

  6. проверка полученного результата.


Классификация моделей.

  1. Логические модели- функционируют по законам логики в сознании человека:

    1. образные (иконические)

    2. знаковые (символические)

    3. образнознаковые



  1. Материальные модели- развиваются вне сознания человека по объективным законам природы:

    1. функциональные

    2. геометрические

    3. функциональногеометрические




  1. По отношению модели к оригиналу:

    1. условные модели

    2. аналогичные

    3. математические – среди них выделим подобные модели, в которых переменные модели пропорциональны переменным оригиналам:

а) аналоговые (непрерывные)

б) цифровые (дискретные)

в) аналогоцифровые (комбинирование или гибридные)
^

Тема II.Схема «Эксперимент  Модель  Управление»


    Схема «ЭМУ»

отображает диалектический процесс от познания объекта до оптимального управления им.



Р
исунок 1 .Схема «Эксперимент  Модель  Управление»


Объект - объект материального мира, подлежащий исследованию.

Наука – это компоненты научного исследования: планирование эксперимента, обработка данных эксперимента, моделирование, управление.

Четыре контура научного исследования:

  1. экспериментальное исследование

  2. создание и развитие модели

  3. автоматическое либо автоматизированное управление объектом

  4. развитие задач управления


Схема «ЭМУ» выделяет различные аспекты научного исследования и связывает их с соответствующими разделами математики.
Алгоритм научного исследования

  1. Постановка задачи (проблемы)

  2. Предварительный анализ информации, условий и методов решения задач

  3. Выдвижение гипотез, новых научных и технических решений

  4. Планирование эксперимента (в математике существует специальный раздел  «Теория планирования эксперимента»)

  5. Проведение эксперимента

  6. Обработка данных эксперимента (в математике существуют специальные разделы: «Математическая статистика», «Регрессионный и корреляционный анализ», «Теория вероятности»)

  7. Проверка исходной гипотезы, коррекция, развитие модели

  8. Моделирование («Вычислительная математика», «Прикладная математика», «Математическое моделирование», «Математические задачи», «Элементы теории графов»)

  9. Окончательная формулировка новых фактов, законов на основе гипотезы

  10. Управление («Теория оптимизации», «Теория автоматического управления»)
      ^


Лекция 2

Тема III.Моделирование в электроэнергетике



Электроэнергетическая система (ЭЭС)  это совокупность всего оборудования и устройств, котрые производят, преобразуют, передают, распределяют и потребляют электроэнергию.


  1. Уникальность моделирования электроэнергетической системы.

    1. Единство и одновременность производства и потребления электроэнергии.

    2. Невозможность складирования.

    3. Большая размерность решаемых задач в сочетании с быстротой протекания электромагнитных процессов.

    4. Затруднительность использования прямых математических методов решения сложных задач моделирования.




  1. При составлении математической модели выделяют объекты, определяющие режим ЭЭС:

    1. Силовые элементы

    2. Элементы управления



    Совокупность силовых элементов и элементов управления в графическом изображении формируют схему замещения электрической сети.



  1. Схема замещения - совокупность графических элементов, описывающих ЭЭС, соединенных в одну или несколько взаимосвязанных электрических схем и включающих силовые элементы и элементы управления. Есть два вида схем замещения:

    1. схема первичной коммутации

    2. расчетная схема



  1. Виды режимов:

    1. Нормальный установившийся режим

    2. Послеаварийный установившийся режим

    3. Переходный процесс



    Установившийся режим характеризуется длительным постоянством во времени (минуты – часы) величин, его описывающих. При описании установившегося режима ЭЭС используютя и решаются системы линейных и нелинейных уравнений большой размерности в комплексном пространстве, которые строятся на основе схем замещения элементов электрической сети.

    Переходный процесс описывается дифференциальными уравнениями, поскольку моделируемые характеристики зависят от времени.

    Система линейных уравнений (СЛУ) в общем случае имеет следующий вид:

    , или (1)

    где, А – квадратная матрица размерности N*N;

    B – вектор свободных членов размерности N;

    X – вектор неизвестных размерности N.

    Из линейной алгебры известно, что для решения СЛУ необходимо порядка (N3 /3) арифметических операций «+», «», «», «». Оценим, сколько времени и памяти гипотетической ПЭВМ с тактовой частотой Н=1000МHz необходимо затратить, чтобы решить (1), если ее размерность N=1000, а элементы матрицы – комплексные.

    Для хранения матрицы А понадобится:

    S=1000*1000*8байт ~= 8 Мбайт

    оперативной памяти.

    С учетом того, что операции «+», «» длятся ~20 тактов, операции «», «» длятся ~1000 тактов, имеем.

    Длительность одного такта (Т), в микросекундах:

    Т = 1/Н =1/( 1000*106Hz )=0.001 мкс

    Одна операция «+» или «»

    О+-= 20*0.001=0.02мкс

    Одна операция «*» или «/»

    О*/= 1000*0.001=1.0 мкс

    Если число всех операций «+», «», «», «» одинаково и учитывая, что каждая комплексная операция проводится над двумя составляющими числа (вещественной и мнимой), получаем общее временя решения СЛУ:

    Т  2* (N3 /3)* (1/4)*( 0.02 + 0.02 + 1.0 + 1.0) = 0.34*103 с ~=6 минут

    Т.е. для решения СЛУ большой размерности на мощной ПЭВМ не хватит ресурсов и необходимы подходы математического моделирования.

    Система нелинейных уравнений (СНУ) возникает при формировании уравнений расчета установившегося режима, которые для сети переменного тока произвольной конфигурации имеют вид:

    , (2) или или

    где элемент матрицы узловых проводимостей;

    соответственно прямой и сопряженный комплексы напряжений;

    комплексная величина мощности.

    Очевидно, что в общем виде СНУ (2) решить нельзя, необходимо воспользоваться методами математического моделирования, в частности методом Ньютона.

Лекция 3



  1. Связь моделирования в электроэнергетике и математики.

Разделы математики, требующие первоочередного освоения:

    1. Методы решения сложных алгебраических уравнений при матричном их представлении:

    2. Методы линейной алгебры

    3. Методы нелинейной алгебры

    4. Анализ дифференциальных уравнений

    5. Элементы теории вероятности

Взаимосвязь моделирования и математики показана на рис.2





Рисунок 2. Математические модели электроэнергетики

^

Тема IV.Декомпозиция при моделировании в электроэнергетике.Структура электроэнергетики Украины.


Декомпозиция  это разделение сложной задачи на ряд простых, без ущерба для получаемого решения.

    Различают 3 вида декомпозиции при управлении режимами:

  1. временная

  2. территориальная

  3. иерархическая



  1. Временная декомпозиция связана со скоростью протекания процессов в электроэнергетической системе (отталкиваются от номинальной частоты f=50Hz, или период 0.02 с).

Выделяют различные типы процессов:

    1. электромагнитный переходный процесс (12 периода в реальном времени), моделирование выполняется с помощью аналоговых моделей.

    2. электромеханический переходный процесс (2100 периодов).

    3. установившийся режим (минуты часы).

Реальное время  время моделирования должно быть не больше времени протекания процесса.

Моделирование в реальном масштабе времени  в течении времени моделирования, которое значительно больше времени реального процесса, ничего с системой не происходит.

При моделировании установившегося режима  снова применяется временная декомпозиция. В зависимости от скорости управления процессом выделяют:

 оперативное управление (единицы минут  1 час)

 краткосрочное управление (единицы часов (46 точек в сутки))

 управление в суточном – недельном интервале

 месячное планирование

 квартальное планирование

 годовое планирование

 на несколько лет или проектирование

Лекция 4

  1. Территориальная декомпозиция –это 8 энергосистем 25 Облэнерго (по областям Украины) +Киевэнерго, Львовэнерго, Севастопольэнерго. Более подробно см. ниже п.2.2 и рис.4

  2. Дополнительно см. место Украины в Европе

  3. Иерархическая декомпозиция  уровни управления электроэнергетикой

В структуре электроэнергетики Украины можно выделить следующие уровни управления отраслью, рис.3-0:

  • Министерство топлива и энергетики (Минтопэнерго)Украины

  • Государственное предприятие (ГП) Национальная энергетическая компания (НЭК) «Укрэнерго (в т.ч.Национальный диспетчерский центр (НДЦ))

  • Государственные предприятие «Энергорынок»

  • Национальная комиссия по вопросам регулирования рынка электроэнергии (НКРЭ)

  • Государственные акционерные энергогенерирующие компании (ГАЭК) – 4 компании

  • Государственные акционерные гидрогенерирующие компании (ГАГК) – 2 компании

  • Национальная атомная энергогенерирующая компания




  • Национальная атомная энергетическая компания («Атомэнерго»)

  • Государственные акционерные энергоснабжающие компании ( областные энергетические компании - Облэнерго ) – 27 компаний

  • Ремонтные, строительные компании («Энергострой»)

  • Инфраструктура



Рис. 0. Структура электроэнергетики Украины
Рис.3-0 Структура иерархии


    1. Министерство энергетики (Минтопэнерго)Украины

Управляет работой электроэнергетического комплекса путем административного управления государственными предприятиями, руководит функционированием и развитием электроэнергетики Украины, осуществляет координацию работы всех компонент, входящих в иерархическую структуру.

    1. Национальный диспетчерский центр (^ НДЦ) и компания «Укрэлектропередача» ( Национальная энергетическая компания «Укрэнерго»)

В состав Национальной энергетической компании «Укрэнерго») входит Национальный диспетчерский центр (НДЦ), который обеспечивает диспетчерское управление всеми территориальными и структурными энергообъектами в составе ЭЭС Украины.

Государственное предприятие Национальная энергетическая компания (ГП НЭК) "Укрэнерго" создано 15 апреля 1998 года на базе Национального диспетчерского центра электроэнергетики Украины и Государственной электрической компании "Укрэлектропередача'.

Основными задачами НЭК "Укрэнерго" являются:

  • обеспечение целостности Объединенной энергетической системы (ОЭС) Украины, удовлетворение интересов государства, энергоснабжающих предприятий всех форм собственности в сфере обеспечения их электроэнергией по высоковольтным (220 кВ и выше) и межгосударственным электрическим сетям (Магистральные сети);

  • осуществление централизованного оперативно-технологического управления ОЭС Украины с обеспечением надежной параллельной работы тепловых, атомных и гидравлических электростанций, объединенных через Магистральные сети;

  • предотвращение нарушений режимов, аварий системного значения и ликвидация возможных аварий с наименьшими потерями для государства;

  • обеспечение параллельной работы с энергосистемами

стран СНГ и Европы, а также специальных схем передачи электроэнергии в эти страны;

  • обеспечение функционирования оптового рынка электроэнергии Украины путем диспетчеризации и передачи электроэнергии по Магистральным сетям.


В 2002 году общая установленная мощность Украинской энергетической системы была 48000 млн. КВт, в том числе (рис.1):

  • тепловые электрические станции (ТЭС+ТЭЦ) – 31.2 млн. КВт или 67,4%,

  • атомные электрические станции (АЭС) – 11.8 млн. КВт или 23.2%,

  • гидравлические электрические станции (ГЭС+ГАЭС) – 4.7 млн. КВт или 9.3%

  • ветроэнергетические станции (ВЭС) – 0,04 млн. КВт ) 0.1%

Выработка электроэнергии приведена на рис.2

График покрытия на рис.3Эта установленная мощность включала в себя:

  • 4 атомных электростанций (АЭС) (таблица На рис.4)

  • 24 тепловых электростанций (ТЭС)

  • 8 гидроэлектростанций (ГЭС)

  • промышленные энергетические установки

Передающая энергетическая сеть включает в себя:

  • 800 КВ линия постоянного тока

  • 750, 500, 400 и 330 КВ линии электропередач

  • 220, 110, 35, 6-10, 0.4 КВ линии электропередач

Соседние энергетические системы:

  • Россия

  • Молдавия

  • Беларусь

  • восточно-европейские страны: Польша, Венгрия, Словакия, и Румыния

Украинская энергетическая ЭЭС система включает восемь региональных энергетических систем :

  • Донбасская (диспетчерский центр - Горловка, 28 п/ст 220-750КВ, устан.мощность 23000 МВА, Луганская и Донецкая обл.)

  • Днепровская (диспетчерский центр – Запорожье, 19 п/ст 330-750КВ, устан.мощность 18000 МВА, Запорожская, Днепропетровская и Кировоградская обл.)

  • Центральная (диспетчерский центр – Киев, 12 п/ст 330-750КВ, устан.мощность 4500 МВА, Киевская, Черкасская, Черниговская и Житомирская обл.)

  • Северная (диспетчерский центр – Харьков, 14 п/ст 330-750КВ, устан.мощность 7150 МВА, Харьковкая, Сумская и Полтавская обл.)

  • Западная (диспетчерский центр – Львов, 20 п/ст 220-750КВ, устан.мощность 6000 МВА, Ровенская, Львовская, Волынская, Ивано-Франковская и Закарпатская обл.)

  • Юго-Западная (диспетчерский центр – Винница, 9 п/ст 330-750КВ, устан.мощность 4000 МВА, Винницкая, Хмельницкая, Тернопольская и Черновецкая обл.)

  • Южная (диспетчерский центр – Одесса, 13 п/ст 220-750КВ, устан.мощность 4400 МВА, Одесская, Николаевская и Херсонская обл.)

  • Крымская (диспетчерский центр – Симферополь, 4 п/ст 330КВ, устан.мощность 2000 МВА, Крымская авт.)

Каждая энергетическая система находится под управлением Регионального Диспетчерского Центра (РДЦ).

Основными задачами НДЦ являются:

Наблюдение и контроль Украинской энергетической системой

Управление генерацией на электростанциях для балансирования генерации и потребления.

Минимизация активных потерь в энергетической системе.

Управление операциями по включениям и отключениям на подстанциях 750 и 330 КВ.

Разделение ответственности между НДЦ и РДЦ:

НДЦ управляет сетью 750 КВ, межсистемными линиями 330/220 КВ, линиями, входящими в сечения, и линиями включенными в операции с электростанциями.

РДЦ управляет сетью 330 КВ без межсистемных линий, сетью 220 КВ и линиями 110 КВ между региональными электрическими компаниями.

Основными задачами компании «Укрэлектропередача» являются:

Эксплуатация, ремонт и обслуживание всех электрических сетй 220-750 КВ.

    1. Государственные предприятие «Энергорынок»

Регулирует систему расчетов между всеми участниками оптового рынка электроэнергии. Упрощенная схема оптового рынка выглядит так: Государственные акционерные энергогенерирующие компании (ГАЭК), Государственные акционерные гидрогенерирующие компании (ГАГК) и Национальная атомная электроэнергетическая компания («Энергоатом») передают электроэнергию для реализации в «Энергорынок», который передает ее в областные энергетические компании – «Облэнерго» . Потребители рассчитываются с Облэнерго и платежи идут обратным путем – через «Энергорынок» в генерирующие компании (см.рис)

    1. Государственные компания «Интерэнерго»

Выполняет экспорт электроэнергии в восточно-европейские страны: Польшу, Венгрию, Словакию и Румынию.

    1. Национальная комиссия по вопросам регулирования рынка электроэнергии (НКРЭ)

Устанавливает тарифы и выдает лицензии на торговлю электроэнергией, подчиняется только президенту.

    1. Государственные акционерные энергогенерирующие компании (^ ГАЭК) – 4 компании

К государственным акционерным энергогенерирующим компаниям (ГАЭК) относятся 4 компании: «Донбассэнерго», «Днепроэнерго», «Центрэнерго» и «Западэнерго», которые объединяют 14 крупных тепловых электростанций (ТЭС) с блоками единичной мощности 150, 200, 300 и 800 МВт и производят 50% электроэнергии.

    1. Государственные акционерные гидрогенерирующие компании (^ ГАГК) – 2 компании

К государственным акционерным гидрогенерирующим компаниям (ГАГК) относятся 2 компании: «Днепрогидроэнерго», «Днестрогидроэнерго», которые включают каскады гидроэлектростанций (ГЭС) на реках Днепр и Днестр и производят 10% электроэнергии.

    1. Национальная атомная энергетическая компания (НАЭК) «Энергоатом»

Все атомные электрические станции (АЭС) Запорожская, Южноукраинская, Ровенская, и Хмельницкая объединены в национальную атомную энергетическую компанию (НАЭК) ««Энергоатом». В эксплуатации НАЭК находится 13 энергоблоков, из которых 11 блоков с реакторами ВВЭР-1000, два типа ВВЭР-440 (Ровенская АЭС) производят 25% электроэнергии.

    1. Государственные акционерные энергоснабжающие компании ( областные энергетические компании - «Облэнерго» ) – 28 компаний

Областные энергетические компании – «Облэнерго» (25 по одной в каждой области Украины, а также Киев, Львов и Севастополь) образуют вместе с потребителями розничный рынок электроэнергии. Они получают электроэнергию от генерирующих компаний через оптовый рынок по сетям 220 кВ и выше, принадлежащим «Укрэлектропередача», транспортируют электроэнергию по своим распределительным сетям 110 кВ и ниже до конечного потребителя и продают ее (см рис.3). Самыми большими компаниями по объему поставляемой электроэнергии являютя «Донецкоблэнерго», «Днепрооблэнерго», «Запорожье-облэнерго», «Киевэнерго».

    1. Ремонтные, строительные компании («Энергострой», «Энергоналадка»)

Выполняют строительные, ремонтные и наладочные работы.

    1. Инфраструктура

Научные, исследовательские, проектные и другие организации.
Таким образом, территориальная декомпозиция с точки зрения диспетчерского управления: НДЦ, РДЦ, генерирующие компании, «Укрэлектропередача», «Облэнерго» весьма тесно переплетается с иерархической.

Лекция 5

^

Тема V.Элементы теории матриц

      1. Основные определения


  1. Матрица  прямоугольная таблица вида

, где m- число строк, n-число столбцов

обозначается Аmn или [Аmn], или [А], или просто A, может быть вещественной и комплексной.

  1. Матрица называется комплексной,

    если хотя бы один элемент комплексный, т.е. .

  2. Комплексносопряженная матрица :

  3. Квадратная матрица m=n



  4. Матрицастолбец, n=1:





  5. Матрицастрока, m=1:

  6. Диагональная матрица – это квадратная матрица, вида

    , т.е. dij=0 для всех ij

    или [d11,d22,...,dnn] или или [d1,d2,...,dn] или diag[D]

  7. Скалярная матрицадиагональная, у которой d1=d2=...=dn=S

  8. Единичная матрица - скалярная, у которой d1=d2=...=dn=1, обозначается [Е] или E

  9. Нулевая матрица aij=0, для всех i,j

  10. Нижняя треугольная матрица

    , т.е. aij=0, для всех i < j

  11. Верхняя треугольная матрица

    , т.е. aij=0, для всех i > j


      1. ^

        Операции над матрицами


  1. Сложение матриц

С=А+В, сijij+bij, i=1,m; j=1,n
операция коммутативна и ассоциативна

А+В=В+А

А+(В+С)=(А+В)+С

  1. Умножение матрицы на скаляр

С=А

cij= aij , i=1,m; j=1,n

Свойства:

(А+В)=А+В

(+)А=А+А

А= (А)

(АВ)=А+(ЕВ)

  1. Транспонирование

Транспонированной по отношению к матрице А называется матрица АT, для которой atij=aji.. Имеют место соотношения:

(А)Т=АТ

(А+В)ТТТ

(АВ)ТТАТ

12,…,Аn)ТТn…АТ2АТ1

Т)Т

(DA)T=ATD, где D- диагональная

(AD)T=DAT

но (DA)T(AD)T

AB=BA только, если обе матрицы диагональные

  1. Симметричная матрица – квадратная, для которой

А=АТ


  1. Сопряженная матрица матрица

есть комплексносопряженная и транспонированная по отношению к исходной



Лемма: Эрмитова матрица  это матрица, для которой

(для симметричной матрицы в вещественном пространстве)


  1. След матрицы

trA =aii , i=1,n - сумма диагональных элементов

Имеют место соотношения:

trA= trAT

tr(A)= trA

tr(A+B)= trA+ trB

tr(AB)= trA trB

  1. Скалярное произведение двух комплексных векторов



Условие существования- одинаковая размерность векторов.


  1. Векторное (внешнее) произведение двух комплексных векторов



Примечание:

векторное произведение в отличие от скалярного существует всегда

Лекция 6

  1. Произведение матриц

Произведением двух матриц А, размерности m*k и В размерности k*n называется матрица С размерности m* n, каждый элемент которой является скалярным произведением i–ой строки матрицы А на j–ый столбец матрицы В



Лемма 1 При умножении прямоугольной матрицы А на диагональную матрицу D справа (АD) необходимо все столбцы матрицы А умножить на соответствующие диагональные элементы матрицы D.

Лемма 2 При умножении прямоугольной матрицы А на диагональную матрицу D слева (DА), необходимо все строки матрицы А умножить на соответствующие диагональные элементы матрицы D.


  1. Сумма и произведение любых двух треугольных матриц одинакового наименования есть треугольная матрица того же наименования





  1. Степень матрицы

ААР1Р, где Р>1

Свойства

АpАq=Ap+q

(Ap)q=Apq

^

Тема VI.Определители и их свойства





  1. Перестановка  совокупность чисел 1,2,…,n, из совокупности 1, 2, 3, …, n, среди которых нет равных.

  1. Нормальная перестановка  это совокупность чисел 1, 2, 3, …, n.

Пример: нормальная перестановка III порядка 1, 2, 3 (n=3)

  1. В множестве N возможно n! перестановок.

Пример

n!=123=6;

(1, 2, 3),(1, 3, 2), (3, 1, 2), (3, 2, 1), (2, 1, 3), (2, 3, 1)


  1. Инверсия

Числа i и j в перестановке 1, 2, …, n образуют инверсию, которая обозначается , когда

i>j, и i<j.

Для того, чтобы посчитать общее количество инверсий в перестановке необходимо для каждого числа в перестановке i (i=1,n-1) найти числа меньше, т.е. i>j, (j=i+1, n), стоящие правее.

  1. Перестановка четная и нечетная

Перестановка четная если ее числа составляют четное количество инверсий. Соответственно для нечетной перестановки ее числа составляют нечетное количество инверсий.

Пример:

(1, 2, 3), =0 -четная

(1, 3, 2), =1 - нечетная (2<3)

(3, 1, 2), =2 –четная (1<3, 2<3)

  1. Определитель квадратной матрицы

Определителем квадратной матрицы А называется алгебраическая сумма, состоящая из n! членов:



каждый из которых определяется произведением n элементов матрицы, стоящих в разных строках и столбцах. Член суммы берется со знаком «+», если индексы номеров столбцов 1, 2, …, n образуют четную перестановку (четное число инверсий) и со знаком «» в противоположном случае.

Примечание:

закон формирования определителя основан на нахождении всех перестановок для множества номеров столбцов. При этом номера строк образуют нормальную перестановку.

Пример:

n=3, n!=6

(1, 2, 3), =0 -четная

(3, 1, 2), =2 –четная (1<3, 2<3)

(1, 3, 2), =1 - нечетная (2<3)

(3, 2, 1), =3 –нечетная (2<3, 1<3,1<2)

(2, 1, 3), =1 –нечетная (1<2)

(2, 3, 1) =2 –четная (1<2, 1<3)


для нахождения определителя произвольной матрицы необходимо написать подпрограмму генератора перестановок.


  1. Свойства определителя.

    1. Определитель равен «0», если все элементы столбца (строки) равны «0», или когда столбец (строка) есть линейная комбинация других его строк (столбцов.

    2. При перестановке двух столбцов (строк) определитель меняет знак.

    3. Если какойлибо столбец (строку) умножить на скаляр , определитель умножается на .

    4. Если всех элементы матрицы умножить на скаляр , то

det(A)= ndet(A).

    1. Значение определителя не изменится, если к какомулибо столбцу (строке) добавить линейную комбинацию любых других строк (столбцов).

    2. Определители прямой и транспонированной матрицы равны между собой

detA=detAT.

    1. Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей

det(AB)=detAdetB.

    1. Определитель нижней (верхней) треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

    2. Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов.

    3. Для вычисления определителя можно использовать свойства треугольной матрицы, разбив матрицу на треугольные сомножители методом триангуляции:

A=LU

где

;

тогда

    det(A)=det(L)det(U)=l11l22...lnn

    1. если для квадратной матрицы А

det(A)=0,

то матрица называется вырожденной и СЛУ решений не имеет;

Если det(A)0, то матрица называется плохо обусловленной, при решении электроэнергетических задач значение определителя матрицы Якоби соответствует величине запаса системы (электроэнергетической) по статической устойчивости:



Лекция 7
^

Тема VII.Обратная матрица.


  1. Обратная матрица

Обратная матрица 1) по отношению к исходной А (квадратной) матрице  матрица, для которой справедливы соотношения:

А1А=Е или АА1 (1)

На свойстве (1) базируется самая простая подпрограмма нахождения обратной матрицы



х12, …, хn  столбцы искомой обратной матрицы

Е1, Е2, …, Еn  соответствующие столбцы единичной матрицы

т.е. необходимо n раз решить СЛУ относительно столбцов матрицы Е.


  1. Свойства обратной матрицы.

    1. (АВ)11А1

    2. 1)Т=(АТ)1

    3. 1)1

    4. det(A1)=1det(A)

    5. Для диагональной матрицы

(2)

    1. если исходная матрица является треугольной, то обратная  есть треугольная того же вида.

    2. Коррекция обратной матрицы при внесении в исходную матрицу некоторых возмущений (изменилось небольшое число элементов исходной матрицы, надо скорректировать обратную, не прибегая к новому обращению).



Лекция 8
^

Тема VIII.Алгоритм сканирования


Если задана матрица А, и для нее известна обратная матрица А1,

и если в исходную матрицу А внесены некоторые возмущения V, то обратную матрицу можно скорректировать, а не вычислять снова:

А  А1



(А+V)  (A+V)1

Возмущение (V)  матрица вида:

если: , (3)

внешнее (векторное) произведение

то (A+V) -1=A1A1VA1, (4)

где =1/(1+) (5)

(6)

в выражениях (4)  (6) выполняется пересчет на базе уже известной матрицы А1.

Допустим в исходную матрицу А внесено возмущение (изменение) для аij элемента:

анijij+vij, н- новое значение

Надо скорректировать А-1 , т.е. найти Ан1.

С учетом (3) возмущение можно представить в виде :



Алгоритм коррекции матрицы при изменении элемента aij

(метод сканирования):

  1. Найти векторное произведение iго столбца на jую строку. Матрицы А-1:



  1. Реализовать выражение (8).

Лекция 9
^

Тема IX.Обращение матрицы методом разбиения на блоки.


Формулы Фробениуса.

  1. Первая формула Фробениуса

Разобъем исходную матрицу S на блоки



Соответственно искомая обратная матрица S-1 будет иметь вид
из соотношения SS1=E, где Е – единичная матрица, имеем

(1)

Представим (1) в виде системы матричных уравнений:

AK+BM=Ep (2)

AL+BN=0 (3)

CK+DM=0 (4)

CL+DN=Eq (5)

Из (2) и (3) уравнения найдем матрицы K и L, домножиd эти уравнения на матрицу А1 слева

А1АК+ВМ=Е

А1АL+BM=0
K+A1BM=A1

L+A1BN=0

K=A1-A1BM (6)

L= - A1BN (7)

Подставим (6) и (7) соответственно в (4) и (5):

СA1-СA1BM + DM = 0 или (D-СA1B)M = - СA1

-C A1BN + DN = Eq (D-СA1B)N = Eq
Обозначив W=(D-СA1B), имеем:
      1. ^

        WM= - СA1

      2. WN= Eq


Откуда находим M, N и подставляем в (6) и (7)
      1. M= - W-1СA1 (8)

      2. N= W-1 (9)


результатом подстановки будут (10) и (11):

K=A1+A1BW1CA1 (10)

L=A1BW1 (11)

Подставляя (8),(9),(10),(11) в выражение для S-1 , окончательно получаем обратную матрицу S1 выраженную через блоки исходной матрицы S:

(12)

первая формула Фробениуса.

Где W=(DCA1B)
Можно в общем виде показать справедливость этого выражения для чего исходную матрица S можно умножить на S-1.


  1. Вторая формула Фробениуса.

Найдем из (4) и (5) M и N:

M= D1CK (13)

N=D1D1CL (14)

Подставим выражения (13), (14) в (2), (3):

(A - BD-1C)K=E

(A - BD-1C L= - BD-1

Обозначив V=(A - BD-1C), (15)

имеем:

K=V-1 (16)


L= - V-1 BD-1 (17)

Подставим (16), (17) в выражения (13), (14), имеем:

M = -D-1V-1 (18)

N = D-1 + D-1CV-1BD-1 (19)
Выражения (15)  (19) определяют вторую формулу Фробениуса или в матричном виде:

(20)

вторая формула Фробениуса

где V=(ABD1C)
Выводы:

  1. Для реализации первой формулы Фробениуса (12) для матрицы S, имеющей размерность p+q, достаточно обратить матрицу А размерности p, матрицу D размерности q, и выполнить ряд умножений матриц (понижаем размерность решаемой задачи).

  2. Первая формула Фробениуса (12) используется в том случае, когда в исходной матрице известен блок А1 либо можно достаточно просто найти А1. Соответственно, вторая формула Фробениуса (20) используется, когда известен блок D1 либо легко образуется матрица D.

  3. На базе (12) и (20) формул Фробениуса базируется несколько важных частных случаев. Каждый частный случай представляет отдельный метод.

Лекция 10
  1. ^

    Формулы Фробениуса для симметричной матрицы.



Задана исходная матрица S:

если S  симметричная матрица, то S= ST

из условия симметричной матрицы, имеем:

А=AT (21)

B=CT; BT=C (22)

D=DT (23)

В первой формуле (12) Фробениуса рассмотрим выражение:

А1ВW1CA1

Вместо C с учетом (22) подставим BT, получим

A1BW1BTA1 (24)

С учетом леммы о транспонировании произведения матриц и с учетом (1), имеем после транспонирования:

1В)ТТ(А1)ТТА1

обозначим А1В=Н (25)

тогда ВТА1Т (26)

С учетом (25) и (26) выражение (12) будет иметь вид:



С учетом леммы о транспонировании произведения матриц и симметричности матрицы W, имеем:

W-1HT= (HW-1)T

И окончательно первая формула Фробениуса для симметричной матрицы имеет вид:

(27)

где W = (D – HTB)
Аналогичным образом может модифицировать вторую формулу Фробениуса (20) . Вводим матрицу G=BD1, тогда D1C=GT.

Окончательно имеем вторую формулу Фробениуса для симметричной матрицы:

(28)

где V = (A-GC)

Лекция 11

  1. Следствие 1. Блочная нижняя треугольная матрица



Очень часто имеем матрицу вида:

(29)

Для обращения блочной нижней треугольной матрицы нет необходимости в обращении всей матрицы, достаточно обратить ее диагональные блоки. Например:



Докажем справедливость выражения (29):




  1. Следствие 2. Блочная верхняя треугольная матрица

(30)


  1. Следствие 3. Блочно-диагональная матрица

(31)


Лекция 12
^

Тема X.Метод окаймления.



Метод базируется на первой формуле Фробениуса и позволяет решить две проблемы:

  1. коррекция обратной матрицы, при добавлении в исходную новой строки и столбца;

  2. обращение матрицы.

Рассмотрим первую формулу Фробениуса (12), в случае разбиение матрицы на следующие блоки, т.е, когда известна обратная матрица матрица А-1

для матрицы А :

, (1)

тогда имеем:

w = aVA1U, - скаляр, тогда (2)

= w-1 = 1/( aVA1U) (3)

обозначим

R = A1U (4)

S = VA1 (5)

(6)
Обобщенный алгоритм коррекции обратной матрицы, при добавлении в исходную новой строки и столбца - реализация формул (4)(6):

-

  1. R=A1U

  2. S=VA1

  3. (7)

  4. R, S

  5. A-1+ RS


Обращение матрицы.

Необходимо обратить матрицу А, размерности n*n. Выделим в ней матрицу размерности 2*2 и разобъем ее на блоки:



применив алгоритм (7), имеем:



    1. A11-1 = 1/ a11

    2. U=[a12]

    3. V=[a21]

    4. R = A11-1 U=(1/ a11) [a12]

    5. S = VA1=(1/ a11) [a21]






    1. R, S

    2. A-1+ RS

После 1-го шага матрица имеет вид:



Выделим в ней матрицу размерности 3*3:




  1. A11-1 = 1/ a11

  2. U=[a12 a13]

  3. V=[a21 a31]

  4. R = A22-1 U= A22-1 [a12 a13]

  5. S = V A22-1 = A22-1 [a21 a31]T



  6. R, S

  7. A-1+ RS

А1i=1, n1
^
И так далее…


Алгоритм окаймления:

  1. а11=1/а11

  2. i=1, n-1 номер шага

  3. j=i+1

j - номер столбца матрицы А, соответствующего вектору U, или же номер строки матрицы А, соответствующей вектору V, на текущем шаге окаймления. Этот же индекс j определяет координаты скаляра в матрице А(j,j).

  1. k=1,j

k  определяет количество элементов вектора U, вектора V на iом шаге окаймления.

V(k)=a(j,k)

U(k)=a(k,j)

  1. A*UR нахождение векторов R и S
V*AS

  1. нахождение скаляра и запись его в матрицу А

a(j,j)=1/(a(j,j) )

  1. RR; SS

R(k)=a(j,j)*R(k)

a(j,k)=R(k)

a(k,j)=a(j,j)*S(k)

  1. A+RSA


Киев 2003 г.




Скачать файл (940.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru