Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции - Математический анализ. 1 курс - файл матан.все теория.doc


Лекции - Математический анализ. 1 курс
скачать (431.7 kb.)

Доступные файлы (1):

матан.все теория.doc1182kb.31.10.2009 10:42скачать

содержание
Загрузка...

матан.все теория.doc

1   2   3
Реклама MarketGid:
Загрузка...

[править] Доказательство


Для доказательства введём функцию



Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны f(a). Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка c, в которой производная функции F равна нулю, а равна как раз необходимому числу.
18. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Пусть  и  две любые дифференцированные на [а,b] функции. Тогда

.

Интегрируя обе части тождества в пределах от а до b, получим:

.

Так как , то , поэтому равенство можно переписать в виде

|=в силу того, что  - это дифференциал функция u(x) и аналогично .

Тогда окончательно

.                                   (2-146)

Пример.




^ 19. Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур.

а) Пусть функция и непрерывна. Тогда площадь криволинейной трапеции .

б) Найдем площадь фигуры, ограниченной прямыми графиками функций и для . Тогда .

в) Пусть кривая задана параметрически: . В данном случае мы не знаем явного задания кривой, поэтому, чтобы свести к известным нам функциям и , сделаем следующую замену:

, т.к. , то получим, что

(1)
^ 20. Приложения определенного интеграла. Вычисление объемов тел вращения.

Объем тела вращения.

Пусть непрерывная функция. Вращением кривой вокруг оси получим некоторое тело.




Сечения этого тела плоскостями будут представлять собой круги , поэтому площадь сечения вычисляется как площадь круга, т.е. . При выполнении предположений 1, 2 из пункта а) для объема тела вращения получим формулу .
^ 21. Приложения определенного интеграла. Вычисление длины дуги плоской кривой.

Пусть в прямоугольных координатах на плоскости дана кривая y=f(x).

Найдем длину дуги АВ, заключенную, между вертикальными прямыми x=a и x=b. Длиной дуги АВ(s) называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломанной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю.



Рис. 2. 52.

.

Введем обозначение       , тогда

,

или перехода к пределу и суммируя длины, получаем

.                           (2-147)

Это и есть формула, для расчета длины дуги.
^ 22. Приложения определенного интеграла. Вычисление площади поверхности тела вращения.

рассмотрим линию в плоскости , представленную как график функции на отрезке оси . Предположим, что функция имеет на отрезке непрерывную производную .

Пусть поверхность получена как результат вращения в пространстве линии вокруг оси (см. рис.). Наша цель -- найти площадь поверхности вращения (сделанное построение и полученная при этом формула будут одновременно служить и определением того, что такое площадь поверхности ).



Рис.6.19.

Пусть  -- площадь той части поверхности , что проектируется на отрезок , лежащий на оси . Очевидно тогда, что и что  -- это искомая площадь.

Найдём производную функции , применив для этого определение производной. Придадим значению переменной некоторое приращение и рассмотрим приращение функции . Это приращение равно площади части поверхности между сечениями этой поверхности плоскостями и (если , то нужно вдобавок поменять знак). Далее для простоты выкладок будем предполагать . Приближённо заменим площадь на площадь боковой поверхности усечённого конуса, образующей которого служит хорда графика , соединяющая точки и в плоскости .



Рис.6.20.

Тогда



где и (мы применили к разности , стоящей под знаком корня, теорему Лагранжа).

Запишем теперь в виде



   



   



   

Во второй и третьей строках этой формулы бесконечно малыми более высокого порядка малости (при ), чем . Действительно, при , а величина ограничена в силу непрерывности функции и её производной . Далее, из непрерывности следует, что при , а из непрерывности  -- что величина ограничена. Следовательно, слагаемое в первой строке формулы -- это главная, линейная по , часть приращения , и вместе с ним -- главная часть приращения функции . Напомним теперь, что главная, линейная по часть приращения функции -- это её дифференциал. Значит,



Сменив обозначение на (ведь  -- произвольная точка ) и на , получаем:



Отсюда



С учётом того, что, как мы отмечали выше, , получаем:



Наконец, положив равным , находим искомую площадь поверхности вращения:



(6.10)

(мы снова использовали как обозначение переменной интегрирования).

^ 23.Оценка определенных интегралов.

Оценка интеграла.

Свойство 6. Если в каждой точке интеграла на промежутке .

Следствие: из свойства 6 легко получить следующий важный факт:

для любого

проинтегрируем в промежутке



Свойство 7 Если -наименьшее, а -наибольшее значения функции на , то

Доказательство:

Рассмотрим 2 функции: и

По свойствам интеграла следует



Геометрический смысл свойства 7:

Площадь заштрихованной фигуры больше и меньше . Указанные в свойства 7 границы для интеграла будут тем более точны, чем короче интервал интегрирования и чем меньше кривая отличается от прямой, параллельной оси .
^ 24. Несобственные интегралы 1-го рада.

Несобственные интегралы 1 рода.



Введем определения для несобственных интегралов 1 рода.

Определение 1.



Если предел конечен, то несобственный интеграл 1 рода называется сходящимся;

Если предел бесконечен или не существует вовсе, то несобственный интеграл 1 рода называется расходящимся.

Свойства несобственных интегралов.

А) Признак сравнения несобственных интегралов 1 рода. Если 0 меньше (или равен) f(x) меньше (или равна) g(x) на промежутке [0;+ бесконечности], то:

Из сходимости следует сходимость.

Из расходимости следует расходимость.

Теорема очевидна из геометрического смысла.

Б) Признак абсолютной сходимости несобственного интеграла 1 рода.

Если несобственный интеграл 1 рода сходится, то тоже сходится.

Следует из первого свойства.
^ 25. Эталонный интеграл 1-го рода.

26. Несобственные интегралы 2-го рада.

Несобственные интегралы 2 рода.

Определение 1.

Интеграл вида: , где y=f(x) непрерывна (a;b], a - точка разрыва 2 рода. Называется несобственным интегралом 2 рода.

Если предел конечен, то несобственный интеграл 2 рода называется сходящимся.

Определение 2.

Если предел равен бесконечности или не существует вовсе, то несобственный интеграл 2 рода называется расходящимся.

Пусть функция y=f(x) имеет разрыв 2 рода в точке C, принадлежащей (a;b). В остальных точках промежутка непрерывна.

Определение 3.



Если оба несобственных интеграла 2 рода справа сходятся, то несобственный интеграл слева называется сходящимся.

Если хотя бы один из интегралов справа расходится, то несобственный интеграл слева называется расходящимся.

Свойства несобственных интегралов 2 рода те же, что и для несобственных интегралов 1 рода.
^ 27. Эталонный интеграл 2-го рода.

Пример 2. Рассмотрим интеграл

Если , то подынтегральная функция стремится к при , так что получается несобственный интеграл второго рода.

Рассмотрим такие случаи:

1) . Тогда интеграл вычисляется так:

поскольку при имеем и

2) . Тогда то есть интеграл расходится, поскольку при .

3) . Тогда и интеграл снова расходится, поскольку при , если показатель .
^ 28. Сравнение несобственных интегралов.

Признак сходимости Абеля:

1. пусть функции f(x) и g(x) определены в промежутке , причём f(x) интегрируема в этом промежутке, т.е. интеграл сходится (условно или абсолютно);

2. g(x) монотонна и ограничена: .

Тогда интеграл сходится.

Признак сходимости Дирихле:

1. пусть функция f(x) интегрируема в любом конечном промежутке [a, b], и интеграл по этому промежутку ограничен (как функция верхнего предела b): ;

2. g(x) монотонно стремится к нулю при : .

Тогда интеграл сходится.
^ 29. Понятие функции нескольких переменных. Область определения. Графики. Примеры.

Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (х;у). Соответствие f, которое каждой паре чисел (x;y)ÎD сопоставляет одно и только одно число uÎR, называется функцией двух переменных, определенной на множестве D со значениями в R, и записывается в виде u=f(x;y) или f:D→R. При этом х и у называются независимыми переменными (аргументами), а u - зависимой переменной (функцией).

Множество D=D(f) называется областью определения функции. Множество значений, принимаемых u в области определения, называется областью изменения этой функции, обозначается E(f) или Е.

Примером функции двух переменных может служить площадь ^ S прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у: S = ху. Областью определения этой функции является множество .

Функцию u=f(x;y), где (x;y)ÎD можно рассматривать как функцию точки М(х;у) координатной плоскости Оху. В частности, областью определения может быть вся плоскость или ее часть, ограниченная некоторыми линиями. Линию, ограничивающую область, называют границей области. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой. Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой, обозначается . Примером замкнутой области является круг с окружностью.

Значение функции u=f(x;y) в точке обозначают или и называют частным значением функции. Функция двух независимых переменных допускает геометрическое истолкование. Каждой точке области ^ D в системе координат соответствует точка M(x0;y0;z0), где z0 = f(x0;y0) - аппликата точки М. Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную функцию u=f(x;y). Например, функция имеет областью определения круг х2 + у2 ≤ 1 и изображается верхней полусферой с центром в точке и радиусом R = 1

Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана разными способами: таблицей, аналитически, графиком. Будем пользоваться, как правило, аналитическим способом: когда функция задается с помощью формулы.
^ 30. Линии и поверхности уровня.

31. Предел функции нескольких переменных.

Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции одной переменной. Введем понятие окрестности точки. Множество всех точек М(х;у) плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству , называется δ-окрестностью точки М0(х00). Другими словами, δ - окрестность точки М0 - это все внутренние точки круга с центром М0 и радиусом δ (см. рис.2).

Пусть функция u=f(x;y) определена в некоторой окрестности точки М000), кроме, быть может, самой этой точки. Число А называется пределом функции u=f(x;y) при х → x0 и уy0 (или, что то же самое, при М(х;у)М000)), если для любого ε>0 существует такое δ>0, что для всех х ≠ х0 и у ≠ у0 и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство < ε. Записывают: или

Из данного определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому М стремится к М0 (число таких направлений бесконечно; для функции же одной переменной х х0 только по двум направлениям: слева и справа!)

Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем. Каково бы ни было число ε > 0, найдется δ-окрестность точки M0(x0;y0), что во всех ее точках М(х;у), отличных от М0, аппликаты соответствующих точек поверхности u=f(x;y) отличаются от числа А по модулю меньше, чем на ε.
^ 32. Частные производные. Полный дифференциал.

Частные производные. Пусть  - функция двух переменных, определенная в некоторой окрестности точки . Если существует конечный предел   , то говорят, что функция   имеет в точке частную производную по переменной  . Аналогично определяется частная производная по   . Обозначают:



.

Пусть - функция n переменных, определенная в области  n-мерного пространства. Частной производной функции по переменной называется предел



.

Из определения частной производной следует правило: при вычислении производной по одной из переменных все остальные переменные считаем постоянными, учитывая, что производная постоянной равна нулю и постоянную можно выносить за знак производной.
^ 33. Производная по направлению.

производная по направлению. Если в n-мерном пространстве задан единичный вектор , то изменение дифференцируемой функции в направлении этого вектора характеризуется производной по направлению: . В частности, для функции трех переменных  - направляющие косинусы вектора  .

34. Градиент.

Градиент. Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора  и вектора с координатами  , который называется градиентом функции   и обозначается    . Поскольку  , где  - угол между   и  , то вектор указывает направление скорейшего возрастания функции   , а его модуль равен производной по этому направлению.

^ 35. Производные и дифференциалы высших порядков.

Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцируя частную производную как функцию нескольких переменных по одной из переменных, получим производные второго порядка. Например, для функции двух переменных: . Если смешанные производные     и     непрерывны, то они равны, то есть не зависят от порядка дифференцирования. Аналогично определяются, например,    . Если при вычислении полного дифференциала от дифференциала первого порядка учесть, что приращения аргументов есть числа и оставить их неизменными, то получим дифференциал второго порядка. Например, для функции двух переменных:   . Здесь учтено равенство смешанных производных второго порядка и принято   . При этих допущениях формулу дифференциала любого порядка можно получить из символического выражения:   .

^ 36. Экстремум функции нескольких переменных.

Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной (см. п. 25.4).

Пусть функция z = f(x;у) определена в некоторой области D, точка N(x0;y0) Î D.

Точка 00) называется точкой максимума функции z = f(x;y), если существует такая δ-окрестность точки 00), что для каждой точки (х;у), отличной от (х0;у0), из этой окрестности выполняется неравенство f(х;у)<f (x0;y0).

Аналогично определяется точка минимума

функции: для всех точек (х;у), отличных от (x0;y0), из δ-ξкрестности точки (x0;y0) выполняется неравенство: f(x;y) > f(x0;y0).

На рисунке 6: N1- точка максимума, а N2 - точка минимума функции z = f(x;y).

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.

Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке (x0;y0) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (x0;y0). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

Рассмотрим условия существования экстремума функции.

^ Теорема 4.1 (необходимые условия экстремума). Если в точке N(x0;y0) дифференцируемая функция z = f(x;y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: f'x(x0; y0) = 0, f'y(x0;y0) = 0.

Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у = y0. Тогда получим функцию f(х;у0) = φ(x) одной переменной, которая имеет экстремум при х = х0. Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной (см. п. 25.4), φ'(х0) = 0, т.е. f'x(x0;y0) = 0.

Аналогично можно показать, что f'y(x0;y0) = 0.

Геометрически равенства . f'x(x0;y0) = 0 и f'y(x0; y0) = 0 означают, что в точке экстремума функции z = f(x;у) касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию f(x;у), параллельна плоскости Оху, т.к. уравнение касательной плоскости есть z = z0 (см. формулу (3.2)).

Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функция имеет максимум в точке О(0;0) (см. рис. 7), но не имеет в этой точке частных производных.

Точка, в которой частные производные первого порядка функции z = f(x;у) равны нулю, т.е. f'x = 0, f'y = 0, называется стационарной точкой функции z. Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.

В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, например, функцию z = ху. Для нее точка О(0;0) является критической (в ней z'х = у и z'у = x обращаются в ноль). Однако экстремума в ней функция z = ху не имеет, т.к. в достаточно малой окрестности точки О(0;0) найдутся точки для которых z > 0 (точки I и III четвертей) и z < 0 (точки II и IV четвертей).

Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.

^ Теорема 4.2 (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке (x0;y0) и некоторой ее окрестности функция f(x;y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (x0;y0) значения А = f''xx(x0;y0), В = f''xy(x0;y0), С = f''yy(x0;y0). Обозначим



Тогда:

1. если ∆ > 0, то функция f(x;y) в точке (x0;y0) имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;

2. если ∆ < 0, то функция f(x;y) в точке (x0;y0) экстремума не имеет.

В случае ∆ = 0 экстремум в точке (x0;y0) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Примем без доказательства.
^ 37. Наибольшее и наименьшее значении ФНП

Наибольшее и наименьшее значения функции, понятия математического анализа. Значение, принимаемое функцией в некоторой точке множества, на котором эта функция задана, называется наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке множества функция не имеет большего (меньшего) значения. Н. и н. з. ф. по сравнению с её значениями во всех достаточно близких точках называются экстремумами (соответственно максимумами и минимумами) функции. Н. и н. з. ф., заданной на отрезке, могут достигаться либо в точках, где производная равна нулю, либо в точках, где она не существует, либо на концах отрезка. Непрерывная функция, заданная на отрезке, обязательно достигает на нём наибольшего и наименьшего значений; если же непрерывную функцию рассматривать на интервале (т. е. отрезке с исключенными концами), то среди её значений на этом интервале может не оказаться наибольшего или наименьшего. Например, функция у = x, заданная на отрезке [0; 1], достигает наибольшего и наименьшего значений соответственно при x = 1 и x = 0 (т. е. на концах отрезка); если же рассматривать эту функцию на интервале (0; 1), то среди её значений на этом интервале нет ни наибольшего, ни наименьшего, так как для каждого x0 всегда найдётся точка этого интервала, лежащая правее (левее) x0, и такая, что значение функции в этой точке будет больше (соответственно меньше), чем в точке x0. Аналогичные утверждения справедливы для функций многих переменных.

^ 38. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

Условные экстремумы. Пусть функция  определена в некоторой области  и в этой области задана кривая уравнением . Условным экстремумом функции двух переменных называют ее экстремум при условии, что точки берутся на заданной кривой. Если из уравнения кривой можно, например, выразить , то задача о нахождении условного экстремума сводится к исследованию на экстремум функции одной переменной .  

Метод множителей Лагранжа. Если уравнение не разрешимо ни относительно  , ни относительно , то рассматривают функцию Лагранжа. Необходимым условием существования условного экстремума функции при условии является равенство нулю всех частных производных функции Лагранжа:  .
^ 39. Интегрирование функций нескольких переменных. Двойные интегралы.

Двойной интеграл в декартовых координатах. Пусть  ограниченная замкнутая область плоскости с кусочно-гладкой границей и пусть функция определена и ограничена на  . Посредством сетки кусочно-гладких кривых разобьем на конечное число элементарных областей с площадями (разбиение ). Пусть - наибольший из диаметров областей , получающийся при разбиении . В каждой из элементарных областей выберем произвольную точку . Число   называется интегральной суммой и ставится в соответствие каждому разбиению и каждому выбору точек . Если существует   и он не зависит от выбора разбиения  и точек , то функция называется интегрируемой по Риману в области , а сам предел называется двойным интегралом от функции  по области и обозначается    или   . Двойной интеграл существует, если  непрерывна на . Допустимы точки разрыва первого рода, лежащие на конечном числе гладких кривых в .

^ 40. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному.

Свойства двойного интеграла. Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла:

Линейность:  
. Аддитивность:
, если S1 и S2 две области без общих внутренних точек.

Если для каждой точки  выполнено неравенство  , то .

Если  интегрируема на , то функция   также интегрируема, причем .

Если  и  наименьшее и наибольшее значения функции в области, а ее  площадь, то .

Теорема о среднем значении: если  непрерывна в связной области , то существует, по крайней мере, одна точка такая, что   .

Вычисление двойного интеграла.

Если  , где -   непрерывные на функции, то двойной интеграл может быть вычислен двумя последовательными интегрированиями: . Аналогично, если , то     .

^ 41. Вычисление двойного интеграла (прямоугольная и произвольная области).

Вычисление двойного интеграла.

Если  , где -   непрерывные на функции, то двойной интеграл может быть вычислен двумя последовательными интегрированиями: . Аналогично, если , то     .
^ 42. Замена переменной в двойном интеграле. Переход к полярным координатам.

Замена переменных в двойном интеграле. Пусть функции взаимно однозначно отображают открытое множество, содержащее область плоскости на открытое множество, содержащее область , и пусть является образом . Если и их частные производные непрерывны, а определитель   , то . Выражение  называется элементом площади в криволинейных координатах, функциональный определитель - якобианом. Двойной интеграл в полярных координатах. Введем на плоскости полярные координаты. Пусть - область, полученная взаимно однозначным отображением области плоскости , определяемым функциями . Тогда , а двойной интеграл в полярных координатах вычисляется по формуле: .Элемент площади в полярных координатах есть .

^ 43. Приложения двойного интеграла. Объем тела. Площадь плоской фигуры.
1   2   3



Скачать файл (431.7 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru