Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции ТФКП - файл Лекция 4.doc


Загрузка...
Лекции ТФКП
скачать (611.8 kb.)

Доступные файлы (18):

Lect00.doc22kb.24.05.2009 22:30скачать
Лекция 10.doc105kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 11.doc158kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 12.doc110kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 13.doc164kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 14.doc109kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 15.doc115kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 16.doc73kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 17.doc74kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 1.doc873kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 2.doc103kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 3.doc127kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 4.doc97kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 5.doc101kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 6.doc113kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 7.doc59kb.24.05.2009 22:30скачать
Лекция 8.doc125kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 9.doc117kb.24.05.2009 23:02скачать

Лекция 4.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...




Лекция 4
Интегрирование функций комплексного переменного
Пусть в некоторой области на плоскости xOy задана кусочно-гладкая непересекающаяся кривая АВ (контур Г). Предположим, что на этом контуре известна функция комплексного переменного F(t), где t – комплексная переменная, меняющаяся вдоль Г.




Рассмотрим, как в общем случае задается эта функция. Запишем уравнение контура Г в виде:



С использованием формул





найдем



Рассмотрим некоторую произвольную функцию. Тогда для точек контура Г можно записать:



В общем случае функция не удовлетворяет условиям Коши-Римана, и вид функции F(t) зависит от того, где проходит контур Г. Если же функция голоморфна (удовлетворяет условиям Коши-Римана) в области и, следовательно, представима в виде , то .

Определим интеграл от функции комплексного переменного формулой



Интеграл от функции комплексной переменной сводится к двум криволинейным интегралам от двух действительных функций u и v.
Связность области

Рассмотрим на плоскости xOy некоторую область , ограниченную замкнутым непересекающимся контуром . Если этот контур можно, деформируя его, стянуть в точку, то такая область называется односвязной, в противном случае – многосвязной.
Теорема Коши

Пусть в односвязной области задана голоморфная функция . Тогда интеграл от этой функции не зависит от пути интегрирования (если тот не выходит за пределы области ).

Доказательство:

Рассмотрим интеграл:



Для того чтобы выражение в первых скобках было полным дифференциалом, необходимо и достаточно, чтобы и .

Таким образом, выполнение условий Коши-Римана является необходимым и достаточным условием того, что функция является полным дифференциалом.


Следствия теоремы:

  1. , где f(t) – голоморфная функция. , t – координаты точек контура Г. Из теоремы Коши следует, что функция также голоморфная, причем, .

2
.
f(z)функция, голоморфная в некоторой области D.

Пусть Г замкнут. Тогда интеграл вдоль Г



Доказательство:

Выберем на Г две точки А и В.



Рассмотрим случай, когда контур Г совпадает с граничным контуром области D, причем на этом контуре (контуре ^ L) функция не обязательно голоморфна, но обязательно непрерывна. Она также непрерывно продолжима на контур L из любой внутренней точки области D. Легко показать, что и в этом случае теорема Коши остается справедливой. Для доказательства проведем контур Г так, чтобы он лежал целиком в области D не касаясь граничного контура. Для этого контура выведенная формула безусловно справедлива. Выберем внутри контура Г некоторую точку и будем проводить из нее лучи в произвольных направлениях. Каждый луч пересечет вначале контур Г (обозначим точку пересечения, например, ), затем контур L (в точке ). Для каждого луча расстояние будет различным. Пусть . Так как контур Г можно провести сколь угодно близко к контуру L, то можно совершить предельный переход . Так как подынтегральная функция изменяется непрерывно, значение интеграла также будет изменяться непрерывно, что доказывает справедливость теоремы Коши в данном случае.


Скачать файл (611.8 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации