Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции ТФКП - файл Лекция 5.doc


Загрузка...
Лекции ТФКП
скачать (611.8 kb.)

Доступные файлы (18):

Lect00.doc22kb.24.05.2009 22:30скачать
Лекция 10.doc105kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 11.doc158kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 12.doc110kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 13.doc164kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 14.doc109kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 15.doc115kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 16.doc73kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 17.doc74kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 1.doc873kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 2.doc103kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 3.doc127kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 4.doc97kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 5.doc101kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 6.doc113kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 7.doc59kb.24.05.2009 22:30скачать
Лекция 8.doc125kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 9.doc117kb.24.05.2009 23:02скачать

Лекция 5.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...




Лекция 5
Теорема Коши для многосвязных областей

Пусть область D – двусвязная, иными словами, ее нельзя стянуть в точку за счет деформации граничного контура . Пример такой области приведен на рисунке: внутри области содержится область , ограниченная контуром Г.




Требуется, как и выше, найти контурный интеграл



Выберем произвольную точку А на L и соединим её с точкой В на Г. По отрезку АВ выполним математический разрез (разрез, не имеющий ширины), как показано на рисунке справа. Точка А совпадает с точкой , а В – с . Разрезанная таким образом область превращается в односвязную с граничным контуром .

Будем двигаться так (вдоль контура): . В этом случае разобранная выше теорема Коши дает:

.

.

В общем случае, когда область D есть -связная область, то есть содержит внутри себя n областей, получается:

Теорема Морера

Пусть - функция, непрерывная в области D. Если для любого замкнутого непересекающегося контура, целиком лежащего в области D, справедливо равенство , то функция голоморфна в области D.

Доказательство:



откуда следуют условия Коши-Римана.


^ Интеграл Коши
Рассмотрим некоторую функцию f(z), голоморфную в односвязной области D. На контуре L функция не обязательно голоморфна, но обязательно непрерывна. Она также непрерывно продолжима на контур L из любой внутренней точки области D. Пусть - некоторая внутренняя точка области .








При этом справедлива формула - формула Коши.

Доказательство:

Рассмотрим функцию - голоморфную в области D за исключением точки с координатой , где она не определена.

Окружим точку М(z) контуром Г. Тогда по теореме Коши для многосвязных областей получим



Так как функция голоморфна повсюду, кроме точки z, то контур Г – произвольный. Нужно лишь, чтобы он охватывал точку M и лежал внутри контура . В качестве Г возьмём окружность, радиус которой стремится к нулю.


Введём локальную систему координат с центром в точке M. Пусть

. Выполним предельный переход





Скачать файл (611.8 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации