Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции ТФКП - файл Лекция 6.doc


Загрузка...
Лекции ТФКП
скачать (611.8 kb.)

Доступные файлы (18):

Lect00.doc22kb.24.05.2009 22:30скачать
Лекция 10.doc105kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 11.doc158kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 12.doc110kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 13.doc164kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 14.doc109kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 15.doc115kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 16.doc73kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 17.doc74kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 1.doc873kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 2.doc103kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 3.doc127kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 4.doc97kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 5.doc101kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 6.doc113kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 7.doc59kb.24.05.2009 22:30скачать
Лекция 8.doc125kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 9.doc117kb.24.05.2009 23:02скачать

Лекция 6.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...




Лекция 6


Производные голоморфной функции
Теорема1

Пусть функция f(z) голоморфна в односвязной области D. На контуре L функция не обязательно голоморфна, но обязательно непрерывна. Она также непрерывно продолжима на контур L из любой внутренней точки области D. В этом случае функция f(z) бесконечное число раз дифференцируема в любой внутренней точке области , причем, каждая производная является, в свою очередь, голоморфной функцией в области D.
Продифференцируем (формально) функцию f(z), определенную формулой Коши.



Докажем формулу для производной, совершив для этого предельный переход:



С помощью метода математической индукции получим:

- эта формула предполагается справедливой. Проверим, остается ли она верной при .






Функциональные последовательности и ряды


Пусть в области D задана последовательность голоморфных функций:

.

Определение: последовательность сходится равномерно, если для и некоторого произвольного числа , такое, что



Функция называется пределом последовательности:


Теорема2

Если функции, из которых составлена равномерно сходящаяся последовательность, непрерывные, то и предел этих функций также является непрерывной функцией.
Теорема

Пусть дана равномерно сходящаяся последовательность функций , (), тогда:



или иначе



Доказательство:

В силу того, что последовательность сходится равномерно, можно выбрать малое такое, что при n>N будет выполняться условие: . То есть, с ростом n подынтегральное выражение .
Определение:

- функциональный ряд.

Если , такое что , где - частичная сумма, то такой функциональный ряд сходится равномерно.
Рассмотрим понятие мажорирующего ряда:

пусть - сходящийся числовой ряд . Тогда, если такое, что: , то - мажорирующий ряд, а - мажорируемый ряд.


Теорема

Всякий мажорируемый ряд равномерно сходится.

Доказательство:



откуда следует, что .


Теорема

Равномерно сходящийся функциональный ряд можно почленно интегрировать.

Доказательство:





Тогда



Таким образом, доказано, что



1 Теорема сформулирована и доказана Коши

2 Доказательство аналогично доказательству этой теоремы для функций действительной переменной



Скачать файл (611.8 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации