Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции ТФКП - файл Лекция 8.doc


Загрузка...
Лекции ТФКП
скачать (611.8 kb.)

Доступные файлы (18):

Lect00.doc22kb.24.05.2009 22:30скачать
Лекция 10.doc105kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 11.doc158kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 12.doc110kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 13.doc164kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 14.doc109kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 15.doc115kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 16.doc73kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 17.doc74kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 1.doc873kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 2.doc103kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 3.doc127kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 4.doc97kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 5.doc101kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 6.doc113kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 7.doc59kb.24.05.2009 22:30скачать
Лекция 8.doc125kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 9.doc117kb.24.05.2009 23:02скачать

Лекция 8.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...




Лекция 8


Ряд Тейлора




Рассмотрим односвязную область D и функцию f(z), голоморфную в области D и непрерывную в области D вплоть до границы L. Внутри области D выберем (произвольно) точки a и z, а на границе - точку t.



Сравним это выражение с геометрической прогрессией:





Получаем

- формула Тейлора, где



Пусть L – граница окружности радиусом R с центром в точке а, z – некоторая точка внутри круга.


где ^ М – максимум модуля функции f(z) в круге.

Так как <1, то при числитель и поэтому при . Таким образом, доказана
Теорема1

Пусть функция f(z) является голоморфной в некотором круге с радиусом R и центром в точке а и непрерывна на его границе. Тогда для этой функции справедливо разложение в ряд Тейлора:


Определение: функция, разложимая в ряд Тейлора в окрестности точки a, называется аналитической в этой точке. Если функция разложима в ряд Тейлора во всех точках области D, она называется аналитической в области D.

По доказанному выше, всякая голоморфная функция одновременно является аналитической. Поэтому ниже эти термины используются как синонимы.
Теорема единственности разложения в ряд Тейлора

Степенной ряд является рядом Тейлора своей суммы.

Доказательство

Исходное соотношение



Пусть R – радиус сходимости, такой, что для всех граничных точек правая часть сходится. В этом случае ряд будет сходиться и внутри круга, и его сумма, по ранее доказанному, будет голоморфной функцией.

Пусть z=a. Тогда:






^ Некоторые основные элементарные функции (продолжение)
Определение: экспонента, синус, косинус, гиперболические синус и косинус определяются следующими разложениями:



Эти ряды получаются из соответствующих рядов для функций действительной переменной заменой действительного аргумента x на комплексный аргумент z. Все введенные функции являются аналитическими на всей комплексной плоскости.

Положим , где - действительное число, и получим



  • формула Эйлера.

С использованием формулы Эйлера комплексное число можно представить в экспоненциальной форме



Можно получить и другие формулы, например, следующую, которая устанавливает связь между гиперболическим и тригонометрическим синусами




^ Свойства экспоненциальной функции
Лемма

Если аналитическая функция удовлетворяет уравнению при условии , то для нее справедливо соотношение .

Доказательство

Непосредственной проверкой устанавливаем, что это равенство выполняется при . Так как функция - аналитическая, то левую и правую части равенства можно разложить в степенные ряды по переменным в окрестности точки . Условием выполнения доказываемого соотношения при произвольных значениях будет равенство всех соответствующих коэффициентов рядов. Но так как эти коэффициенты выражаются через частные производные от левой и правой частей при , приходим к равенству

при

Докажем справедливость этого равенства. Найдем частные производные по и для левой и правой частей



Аналогично



Далее



Таким образом, частные производные от левой части совпадают с самой функцией. То же самое справедливо и для правой части, что доказывает лемму.
Теорема

Для экспоненциальной функции справедлива формула .

Доказательство

Экспоненциальная функция удовлетворяет условиям леммы:



откуда следует утверждение теоремы.
Следствие

Пусть , тогда


1 Теорема сформулирована и доказана Коши



Скачать файл (611.8 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации