Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции ТФКП - файл Лекция 10.doc


Загрузка...
Лекции ТФКП
скачать (611.8 kb.)

Доступные файлы (18):

Lect00.doc22kb.24.05.2009 22:30скачать
Лекция 10.doc105kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 11.doc158kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 12.doc110kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 13.doc164kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 14.doc109kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 15.doc115kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 16.doc73kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 17.doc74kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 1.doc873kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 2.doc103kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 3.doc127kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 4.doc97kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 5.doc101kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 6.doc113kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 7.doc59kb.24.05.2009 22:30скачать
Лекция 8.doc125kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 9.doc117kb.24.05.2009 23:02скачать

Лекция 10.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...




Лекция 10
Особые точки аналитических функций
Если функция в точке а не является аналитической, то эта точка называется особой. Пусть в окрестности точки а функция f(z) является однозначной и голоморфной. В этом случае особая точка называется изолированной особой точкой.

Изучим поведение функции при стремлении аргумента к особой точке



если b – конечное число, то аустранимая особая точка. Если при этом функция f(z) не определена в точке а, то ее можно доопределить: f(a)=b.

Если , то особая точка называется полюсом.

Если предел не существует, то особая точка называется существенно особой точкой.

Пусть . Запишем часть ряда Лорана:



При все члены ряда с стремятся к нулю, а с - к бесконечности. Поэтому для того чтобы особая точка была устранимой необходимо, чтобы .

Пусть число слагаемых с отрицательными индексами конечно.



При - полюс. .

Число m называется порядком полюса.

Если разложение функции в ряд Лорана содержит бесконечное число слагаемых с отрицательными n, то точка z=a – существенно особая точка.


Вычеты
Пусть f(z) – функция, аналитическая в области D, за исключением точки z=a.

Найдём интеграл: .

Е – кольцо, в котором функция f(z) аналитична. Область Е – двусвязная. По теореме Коши для многосвязных областей


где - произвольный контур, окружающий точку а и лежащий внутри контура С. Пусть - окружность радиуса R.

Пусть , тогда: .

Выполним преобразования:






Возможны два случая

1)



2)



Таким образом,



Получили формулу:

- вычет функции в особой точке z=a.

Вычетом аналитической функции в изолированной особой точке называется деленный на интеграл по произвольному замкнутому контуру, окружающему эту точку и лежащему в области аналитичности функции f(z).

Пусть особая точка – полюс порядка n. Разложение функции f(z) имеет вид:



Умножим левую и правую части на .



Продифференцируем это выражение n-1 раз:



откуда следует, что




Скачать файл (611.8 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации