Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции ТФКП - файл Лекция 11.doc


Загрузка...
Лекции ТФКП
скачать (611.8 kb.)

Доступные файлы (18):

Lect00.doc22kb.24.05.2009 22:30скачать
Лекция 10.doc105kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 11.doc158kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 12.doc110kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 13.doc164kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 14.doc109kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 15.doc115kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 16.doc73kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 17.doc74kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 1.doc873kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 2.doc103kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 3.doc127kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 4.doc97kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 5.doc101kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 6.doc113kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 7.doc59kb.24.05.2009 22:30скачать
Лекция 8.doc125kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 9.doc117kb.24.05.2009 23:02скачать

Лекция 11.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...




Лекция 11


Теорема о вычетах
В области D функция голоморфна повсюду за исключением m изолированных особых точек (если эти точки – полюсы, то такая функция называется мероморфной). Найдём интеграл: .

Каждую особую точку окружим контуром. Получится многосвязная область, в которой f(z) аналитична. Тогда по теореме Коши для многосвязных областей имеем:



Интегралы по внутренним контурам берутся против часовой стрелки. Получим




Бесконечно удалённая точка
Под бесконечно удалённой точкой понимается множество точек, таких, что

.

Комплексная плоскость с включённой бесконечно удалённой точкой называется полной комплексной плоскостью.



Все слагаемые с отрицательными n при стремятся к нулю.

Все слагаемые с положительными n при стремятся к бесконечности.

Если в разложении функции в ряд Лорана имеются положительные степени z, то эта функция не является аналитической в бесконечно удалённой точке.

Теорема Лиувилля

Если функция является аналитической в полной комплексной плоскости, то она постоянна.

Доказательство

Если отличны от нуля коэффициенты с отрицательными n, то функция не является аналитической в точке z=a. Если отличны от нуля коэффициенты с положительными n, то функция не является аналитической в бесконечно удалённой точке.

Чтобы она была аналитической в полной комплексной плоскости, нужно чтобы .


Логарифм
Логарифмическая функция определяется как функция, обратная экспоненте.



Аргумент экспоненты определён неоднозначно, поэтому логарифмическая функция, в отличие от ранее рассмотренных, является неоднозначной. Обозначим через значение логарифма при некотором фиксированном .

Докажем следующее свойство логарифмической функции:



Доказательство


Представим z в показательной форме:






в точке А



Будем перемещаться из точки А в точку по окружности.

В этом случае

Если будем дальше двигаться по окружности, то действительная часть будет неизменна, а мнимая будет расти. Сделав полный круг получим:



Логарифм получил приращение . Логарифм относится к классу многозначных аналитических функций. У этих функций выделяются ветви – однозначно определённые функции. Точка, в которой осуществляется переход с одной ветви на другую, называется точкой ветвления.

Рассмотрим интеграл: .

Точка z=0 – особая точка. Она будет также точкой ветвления. Произведём замену переменных:






Значит, функция не имеет особых точек.


Так как при обходе контура L обходится точка ветвления, то прибавляется приращение

^ Степенная функция
- комплексное число








раз

- предполагается справедливым. Отсюда следует

- определение степенной функции.

Учтем многозначность логарифма





Рассмотрим частный случай, когда - действительное число.

Если - иррациональное число, то W имеет бесконечное число ветвей.

Если - рациональное число, то W имеет конечное число ветвей. В этом случае , тогда



Пусть , тогда





Функция W имеет m независимых ветвей.


Скачать файл (611.8 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации