Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции ТФКП - файл Лекция 13.doc


Загрузка...
Лекции ТФКП
скачать (611.8 kb.)

Доступные файлы (18):

Lect00.doc22kb.24.05.2009 22:30скачать
Лекция 10.doc105kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 11.doc158kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 12.doc110kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 13.doc164kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 14.doc109kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 15.doc115kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 16.doc73kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 17.doc74kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 1.doc873kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 2.doc103kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 3.doc127kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 4.doc97kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 5.doc101kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 6.doc113kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 7.doc59kb.24.05.2009 22:30скачать
Лекция 8.doc125kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 9.doc117kb.24.05.2009 23:02скачать

Лекция 13.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...




Лекция 13


Сингулярный интеграл
Рассмотрим несобственный интеграл от действительной переменной :



Так как - произвольное положительное число, то предел не существует, следовательно, интеграл расходится.

Рассмотрим вычисление того же интеграла при условии

Значение несобственного интеграла при называют главным значением сингулярного (или особого) интеграла. Когда говорят о вычислении сингулярного интеграла, имеют в виду вычисление его главного значения.

Обобщим эти понятия на случай комплексной переменной.

Аналитическая функция может быть определена интегралом Коши.


Рассмотрим частный случай, когда . Тогда, в зависимости от того, где лежит точка z, возможны следующие случаи

, если точка z лежит вне контура L;

, если точка z лежит внутри контура L.

Что же будет, если точка z лежит на самом контуре (будем обозначать ее в этом случае как )? Очевидно, что интеграл будет несобственным и, как и в рассмотренном выше случае, расходящимся. Однако и здесь можно ввести ограничения, которые обеспечивают существование конечного главного значения.

Сингулярным интегралом называется интеграл по контуру , при условии, что концы дуги , оставаясь от неё на одинаковом расстоянии.

Пусть





Точка (см. рис.) обходится слева, но это не принципиально: точно такой же результат получается, если обходить ее справа





Дадим общее определение сингулярного интеграла.
Пусть ^ АВ – кусочно-гладкая кривая. В частном случае контур АВ может быть замкнут. Определим на нём функцию f(t), которая необязательно аналитическая. Проведём из точки М окружность радиуса R. Сингулярный интеграл определяется формулой



Если точка t – регулярная точка функции f(t), то определение сингулярного интеграла совпадает с определением обычного интеграла.
^ Интеграл типа Коши
Интеграл типа Коши является обобщением интеграла Коши.

На дуге АВ задана функция f(t), не обязательно аналитическая, удовлетворяющая дуге АВ условию Гельдера:



где - некоторое положительное число. Построим аналитическую функцию

- интеграл типа Коши.

F(z) является аналитической во всей плоскости за исключением контура L. В бесконечно удалённой точке

Найдём предельное значение функции F(z) при , где t – точка контура, не совпадающая с точками А и В.

Пусть слева от контура.



Первое слагаемое – сингулярный интеграл.





Получим



Аналогично находим


Объединяя полученные равенства, получим



- формулы Сохоцкого-Племеля.

Рассмотрим частный случай: контур замкнут, а функция является граничным значением функции , то есть . В этом случае интеграл типа Коши переходит в интеграл Коши. Кроме того, теперь если точка лежит вне контура , то, в соответствии с теоремой Коши



Следовательно, . Из формул Сохоцкого-Племеля следует



Полученное соотношение, справедливое для граничных значений аналитической функции, называется тождеством Племеля.

Рассмотрим задачу вычисления сингулярного интеграла



Рассмотрим первый интеграл:



Таким образом, первый интеграл не является несобственным.



- точка обходится слева. Окончательно получим




Скачать файл (611.8 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации