Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции ТФКП - файл Лекция 14.doc


Загрузка...
Лекции ТФКП
скачать (611.8 kb.)

Доступные файлы (18):

Lect00.doc22kb.24.05.2009 22:30скачать
Лекция 10.doc105kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 11.doc158kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 12.doc110kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 13.doc164kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 14.doc109kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 15.doc115kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 16.doc73kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 17.doc74kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 1.doc873kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 2.doc103kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 3.doc127kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 4.doc97kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 5.doc101kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 6.doc113kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 7.doc59kb.24.05.2009 22:30скачать
Лекция 8.doc125kb.24.05.2009 23:02скачать
Лекция 9.doc117kb.24.05.2009 23:02скачать

Лекция 14.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...




Лекция 14
Задача Римана1
Пусть требуется построить аналитическую функцию F(z), обращающуюся в бесконечно удалённой точке в нуль и удовлетворяющую на отрезке действительной оси длиной 2a (см. рис.) условию



где - заданная функция, подчиняющаяся условию Гельдера.

Отметим, что поставленная задача эквивалентна решению интегрального уравнения:



Если бы была задана разность значений функции на берегах разреза, задача решалась бы просто



Пусть , тогда



Чтобы решить поставленную задачу, введём в рассмотрение функцию



Когда , тогда
Рассматриваемый отрезок следует представлять себе как разрез в плоскости, который недопустимо пересекать. При обходе разреза все аналитические функции должны меняться непрерывно. В точке t имеем



Пусть



Таким образом, при обходе любого конца разреза функция меняет знак на противоположный. Далее



Таким образом, с помощью введения функции вместо суммы граничных значений аналитической функции получена разность граничных значений (но, конечно, другой аналитической функции!). Теперь найдем с использованием формул Сохоцкого-Племеля



^ Задача Дирихле для круга
Требуется найти гармоническую функцию, определенную в круге и принимающую на его контуре заданные непрерывно изменяющиеся значения.
Для решения задачи используем тот факт, что действительная и мнимая части голоморфной функции являются гармоническими функциями. Введём в рассмотрение определенную на контуре функцию комплексной переменной f(t)=u+iv . Её действительная часть задана как . Мнимую часть можно выбрать произвольно. Положим ее равной нулю.


Определим аналитическую функцию формулой



Ее действительная часть – искомая функция. Найдем функцию . По формулам Сохоцкого-Племеля



Граничное условие записывается в виде:



или



Разложим последнюю дробь на сумму элементарных дробей:



Получим




Последнее слагаемое в левой части не зависит от t и представляет собой константу. Учтем, что правая часть – действительная величина. Попытаемся найти решение уравнения в предположении, что - действительная величина. Приходим к выражению



Очевидно, что a=2. Найдем константу :







Отделив действительную часть, получим известную формулу Пуассона.

1 Рассмотрен частный случай задачи Римана, имеющий важное значение для приложений.



Скачать файл (611.8 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации