Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Использование MathCad для решения системы алгебраических уравнений - файл Работа2.doc


Использование MathCad для решения системы алгебраических уравнений
скачать (291 kb.)

Доступные файлы (2):

Работа2.doc228kb.29.01.2008 16:11скачать
Работа2.xmcd

содержание
Загрузка...

Работа2.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Министерство Топлива и Энергетики Украины
СЕВАСТОПОЛЬСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГИИ И ПРОМЫШЛЕННОСТИ


Практическое занятие №2
по дисциплине
«Использование ЭВМ в инженерных расчетах электротехнических систем»




Тема : ЭВМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MathCad В СРЕДЕ WINDOWS 98. ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Вариант №8

Выполнил: студент группы ЭСЭ 22-В

Левицкий П.В.

Проверил:_______________________

Севастополь 2008
ПЛАН
1. Данные варианта задания.


  1. Операции численного решения

системы линейных алгебраических уравнений.
2.1. Решение системы линейных алгебраических уравнений

методом последовательного исключения неизвестных

(метод Гаусса);

2.2. Решение системы линейных алгебраических уравнений

методом последовательного исключения неизвестных

(метод Холесского);

2.3 .Решение системы линейных алгебраических уравнений

методом определителей;

2.4. Решение системы линейных алгебраических уравнений

методом обратной матрицы;

2.5. Решение однородной системы линейных алгебраических

уравнений.

3. Выводы по работе №2.

1. Данные варианта задания.
Коэффициенты квадратной матрицы А и вектора b




Таблица1. Коэффициенты квадратной матрицы А и вектора b.




вар
^

Ко э ф ф и ц и е н т ы к в а д р а т н о й м а т р и ц ы А и в е к т о р а b с и с т е м ы

л и н е й н ы х а л г е б р а и ч е с к и х у р а в н е н и й


а11

а12

а13

а14

а21

а22

а23

а24

а31

а32

а33

а34

а41

а42

а43

а44

b1

b2

b3

b4

8

2,4

1,4

1,6

1,8

2,6

12

0,6

4,0

-0,8

0,85

0,1

0,2

0,4

1,2

1,0

1,5

0,1

0,2

-0,4

0,6

2. Операции численного решения

системы линейных алгебраических уравнений.
2.1. Решение системы линейных алгебраических уравнений

методом последовательного исключения неизвестных

(метод Гаусса);

a11·x1+ a12·x2+ a13·x3+ a14·x4=b1

a21·x1+ a22·x2+ a23·x3+ a24·x4=b2 (1)

a31·x1+ a32·x2+ a33·x3+ a34·x4=b3

a41·x1+ a42·x2+ a43·x3+ a44·x4=b4


Составим расширенную матрицу системы (1):














































Преобразуем матрицу А, для чего умножим первую строку расширенной матрицы на а2111 и вычтем из второй строки расширенной матрицы, затем первую строку умножим на а3111 и вычтем из третьей строки расширенной матрицы, далее первую строку на а41/а11 и вычтем из четвёртой строки, что с помощью Mathcad будет выглядеть так:








Получили новые коэффициенты матрицы А:





Далее аналогично умножаем и вычитаем из второй строки:










Получили новые коэффициенты матрицы А, где число нулевых членов увеличилось.






Далее аналогично умножаем и вычитаем из третьей строки.






















































Проверим правильность нахождения корней:













Ответ: х1≈0,1 х2≈-0,67 х3≈-2,1 х4≈2,31
2.2. Решение системы линейных алгебраических уравнений

методом последовательного исключения неизвестных(метод Холесского);

Метод Холесского заключается в представлении матрицы в виде произведения двух треугольных матриц L и U , имеющих следующий вид: диагональные элементы L матрицы равны единице, а элементы выше главной диагонали равны нулю; у матрицы U равны нулю элементы, лежащие ниже главной диагонали. Тогда можно записать:
,
что эквивалентно двум треугольным системам,
которые можно решить способом изложенным выше. Элементы lij, и uij матриц L и U можно найти, образуя произведение матриц LU и приравнивая его элементы последовательно элементам а11, а11……. аnn матрицы А.








Последовательно приравниваем элементы полученной матрицы к элементам а11, а11……. аnn матрицы А и находим элементы lij, и uij .

По первой строке:


















По второй строке:







































По третьей строке:



















По четвёртой строке:



















Далее вычисляем значения ξ:






















Определяем значения Х:
















Как видно из расчётов значения Х совпадают с полученными ранее методом Гаусса. Ответ: х1≈0,1 х2≈-0,67 х3≈-2,1 х4≈2,31

2.3 .Решение системы линейных алгебраических уравнений

методом определителей.

Система уравнений с неизвестными, определитель которой не равен нулю, всегда имеет единственное решение. Это решение определяется так: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном столбцом свободных членов.









































Ответ: х1≈0,1 х2≈-0,67 х3≈-2,1 х4≈2,31

^ 2.4. Решение системы линейных алгебраических уравнений

методом обратной матрицы;


Если требуется решить систему для фиксированных значений aij, но для различных значений вектора В, то выгодно построить обратную матрицу А-1 и затем воспользоваться соотношением













Ответ: х1≈0,1 х2≈-0,67 х3≈-2,1 х4≈2,31


^ 2.5. Решение однородной системы линейных алгебраических

уравнений.

Однородной системой линейных алгебраических уравнений называют такую систему, свободные члены которой равны нулю, т.е.:
a11·x1+ a12·x2+ a13·x3+ a14·x4=0

a21·x1+ a22·x2+ a23·x3+ a24·x4=0

a31·x1+ a32·x2+ a33·x3+ a34·x4=0

a41·x1+ a42·x2+ a43·x3+ a44·x4=0
Однородная линейная система допускает нулевое решение х1=0, х2=0, х3=0, х4=0 и , следовательно, всегда совместна. Интересно выяснить случаи, когда однородная система имеет ненулевые решения. Это будет, если определитель равен нулю.

Найдем значение коэффициента а, при котором определитель равен нулю:
















Решение системы будем искать, исключив из нее первое уравнение. Убедимся, что для новой системы уравнений определитель матрицы А не равен нулю:

a21·x1+ a22·x2+ a23·x3 =- a24·x4

a31·x1+ a32·x2+ a33·x3=- a34·x4

a41·x1+ a42·x2+ a43·x3=-a44·x4






Решение системы линейных алгебраических уравнений выполним методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса). Увеличим для более точных расчётов число знаков после запятой:

















В результате будем иметь систему, решение которой определит неизвестные для произвольного значения х4 :







































^ 3. Выводы по работе №2.


В результате выполнения практического занятия №2 были изучены некоторые возможности математического пакета MathCad в среде Windows 98 для использования матричной алгебры и решения системы линейных алгебраических уравнений, а также изучены методы решения систем линейных алгебраических уравнений. В процессе работы я научился:


  1. Задавать шаблоны матриц и векторов.

  2. Работать с массивами, векторами и матрицами.

  3. Решать системы линейных алгебраических уравнений различными методами.

Интересно признать, что решение систем уравнений в курсе высшей математики занимало большое количество времени. Например, решение системы методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) довольно громоздкий для ручного расчёта и намного быстрее производится с помощью MathCad , причём с точностью до 18 знаков после запятой. Наиболее наглядным является метод определителей, а самым простым и быстрым - метод обратной матрицы. Результаты расчётов, полученные разными методами, совпадают.

^ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.


  1. Теория линейной алгебры:

  • методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса);

  • методом последовательного исключения неизвестных (метод Холесского);

  • методом определителей;

  • методом обратной матрицы;

  • решение однородной системы линейных алгебраических уравнений

  1. Основные векторные и матричные операторы и функции, используемые в одной из версий математического пакета MathCad v.5.0 – 8.0, 2001 в среде Windows 98 при решении линейных алгебраических уравнений.



Скачать файл (291 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru