Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции - Теория вероятностей и математическая статистика - файл TV1.DOC


Лекции - Теория вероятностей и математическая статистика
скачать (413.3 kb.)

Доступные файлы (4):

TV1.DOC1049kb.26.08.1996 23:12скачать
TV2.DOC580kb.27.08.1996 00:18скачать
TV3.DOC277kb.28.08.1996 00:43скачать
TV4.DOC247kb.28.08.1996 03:37скачать

Загрузка...

TV1.DOC

  1   2   3   4   5   6   7
Реклама MarketGid:
Загрузка...
Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èíñòèòóò

Êàôåäðà ÊÑÎÈÓ

Êîíñïåêò ëåêöèé
ïî êóðñó:
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòè è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà”

Ïðåïîäàâàòåëü: Ñòóäåíò II êóðñà

ÔÈÂÒ, ãð. ÈÑ-41

ïðîô. Ïàâëîâ À. À. Àíäðååâ À. Ñ.
Êèåâ - 1996 ã.

Ââåäåíèå.


Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòè âîçíèêëà êàê íàóêà èç óáåæäåíèÿ, ÷òî â îñíîâå ìàññîâûõ ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé ëåæàò äåòåðìèíèðîâàííûå çàêîíîìåðíîñòè. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòè èçó÷àåò äàííûå çàêîíîìåðíîñòè.

Íàïðèìåð: îïðåäåëèòü îäíîçíà÷íî ðåçóëüòàò âûïàäåíèÿ “îðëà” èëè “ðåøêè” â ðåçóëüòàòå ïîäáðàñûâàíèÿ ìîíåòû íåëüçÿ, íî ïðè ìíîãîêðàòíîì ïîäáðàñûâàíèè âûïàäàåò ïðèìåðíî îäèíàêîâîå ÷èñëî “îðëîâ” è “ðåøåê”.

Èñïûòàíèåì íàçûâàåòñÿ ðåàëèçàöèÿ îïðåäåëåííîãî êîìïëåêñà óñëîâèé, êîòîðûé ìîæåò âîñïðîèçâîäèòüñÿ íåîãðàíè÷åííîå ÷èñëî ðàç. Ïðè ýòîì êîìïëåêñ óñëîâèé âêëþ÷àåò â ñåáÿ ñëó÷àéíûå ôàêòîðû, ðåàëèçàöèÿ êîòîðîãî â êàæäîì èñïûòàíèè ïðèâîäèò ê íåîäíîçíà÷íîñòè èñõîäà èñïûòàíèÿ.

Íàïðèìåð: èñïûòàíèå - ïîäáðàñûâàíèå ìîíåòû.

Ðåçóëüòàòîì èñïûòàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñîáûòèå. Ñîáûòèå áûâàåò:

Äîñòîâåðíîå (âñåãäà ïðîèñõîäèò â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ);

Íåâîçìîæíîå (íèêîãäà íå ïðîèñõîäèò);

Ñëó÷àéíîå (ìîæåò ïðîèçîéòè èëè íå ïðîèçîéòè â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ).

Íàïðèìåð: Ïðè ïîäáðàñûâàíèè êóáèêà íåâîçìîæíîå ñîáûòèå - êóáèê ñòàíåò íà ðåáðî, ñëó÷àéíîå ñîáûòèå - âûïàäåíèå êàêîé ëèáî ãðàíè.

Êîíêðåòíûé ðåçóëüòàò èñïûòàíèÿ íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíûì ñîáûòèåì.

 ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ ïðîèñõîäÿò òîëüêî ýëåìåíòàðíûå ñîáûòèÿ.

Ñîâîêóïíîñòü âñåõ âîçìîæíûõ, ðàçëè÷íûõ, êîíêðåòíûõ èñõîäîâ èñïûòàíèé íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé.

Íàïðèìåð: Èñïûòàíèå - ïîäáðàñûâàíèå øåñòèãðàííîãî êóáèêà. Ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå - âûïàäåíèå ãðàíè ñ “1” èëè “2”.

Ñîâîêóïíîñòü ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ýòî ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé.

Ñëîæíûì ñîáûòèåì íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíîå ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé.

Ñëîæíîå ñîáûòèå â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ íàñòóïàåò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèé ïðîèçîøëî ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå, ïðèíàäëåæàùåå ñëîæíîìó.

Òàêèì îáðàçîì, åñëè â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ ìîæåò ïðîèçîéòè òîëüêî îäíî ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå, òî â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ ïðîèñõîäÿò âñå ñëîæíûå ñîáûòèÿ, â ñîñòàâ êîòîðûõ âõîäÿò ýòè ýëåìåíòàðíûå.

Íàïðèìåð: èñïûòàíèå - ïîäáðàñûâàíèå êóáèêà. Ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå - âûïàäåíèå ãðàíè ñ íîìåðîì “1”. Ñëîæíîå ñîáûòèå - âûïàäåíèå íå÷åòíîé ãðàíè.

Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:

À - ñîáûòèå;

w - ýëåìåíòû ïðîñòðàíñòâà W;

W - ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé;

U - ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé êàê äîñòîâåðíîå ñîáûòèå;

V - íåâîçìîæíîå ñîáûòèå.

Èíîãäà äëÿ óäîáñòâà ýëåìåíòàðíûå ñîáûòèÿ áóäåì îáîçíà÷àòü E­i, Qi.

Îïåðàöèè íàä ñîáûòèÿìè.


1. Ñîáûòèå C íàçûâàåòñÿ ñóììîé A+B, åñëè îíî ñîñòîèò èç âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, âõîäÿùèõ êàê â A, òàê è â B. Ïðè ýòîì åñëè ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå âõîäèò è â A, è â B, òî â C îíî âõîäèò îäèí ðàç.  ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ ñîáûòèå C ïðîèñõîäèò òîãäà, êîãäà ïðîèçîøëî ñîáûòèå, êîòîðîå âõîäèò èëè â A èëè â B. Ñóììà ïðîèçâîëüíîãî êîëè÷åñòâà ñîáûòèé ñîñòîèò èç âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, êîòîðûå âõîäÿò â îäíî èç Ai, i=1, ..., m.



2. Ñîáûòèå C ïðîèçâåäåíèåì A è B, åñëè îíî ñîñòîèò èç âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, âõîäÿùèõ è â A, è â B. Ïðîèçâåäåíèåì ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ñîáûòèé íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå ñîñòîÿùåå èç ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, âõîäÿùèõ âî âñå Ai, i=1, ..., m.



3. Ðàçíîñòüþ ñîáûòèé A-B íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå C, ñîñòîÿùåå èç âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, âõîäÿùèõ â A, íî íå âõîäÿùèõ â B.


4. Ñîáûòèå íàçûâàåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûì ñîáûòèþ A, åñëè îíî óäîâëåòâîðÿåò äâóì ñâîéñòâàì.

Ôîðìóëû äå Ìîðãàíà: è




5. Ñîáûòèÿ A è B íàçûâàþòñÿ íåñîâìåñòíûìè, åñëè îíè íèêîãäà íå ìîãóò ïðîèçîéòè â ðåçóëüòàòå îäíîãî èñïûòàíèÿ.

Ñîáûòèÿ A è B íàçûâàþòñÿ íåñîâìåñòíûìè, åñëè îíè íå èìåþò îáùèõ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé.

C=A×B=V

Òóò V - ïóñòîå ìíîæåñòâî.

×àñòîñòü íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ.


Ïóñòü ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé êîíå÷íî è ñîñòîèò èç m ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé.  ýòîì ñëó÷àå â êà÷åñòâå âîçìîæíûõ èñõîäîâ èñïûòàíèé ðàññìàòðèâàþò 2­­m ñîáûòèé - ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé W è íåâîçìîæíîå ñîáûòèå V.

Ïðèìåð:

W=(w1, w2, w3)

A1=V

A2=(1)

A3=(2)

A4=(3)

A5=(1, 2)

A6=(2, 3)

A7=(1, 3)

A8=(w1, w2, w3)

Îáîçíà÷èì ñèñòåìó ýòèõ ñîáûòèé ÷åðåç F. Áåðåì ïðîèçâîëüíîå ñîáûòèå AÎF. Ïðîâîäèì ñåðèþ èñïûòàíèé â êîëè÷åñòâå n. n - ýòî êîëè÷åñòâî èñïûòàíèé, â êàæäîì èç êîòîðûõ ïðîèçîøëî ñîáûòèå A.

×àñòîñòüþ íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ A â n èñïûòàíèÿõ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî



Ñâîéñòâà ÷àñòîñòè.




  1. ×àñòîñòü äîñòîâåðíîãî ñîáûòèÿ ðàâíà 1. n(U)=1.

  2. ×àñòîñòü ñóììû ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé ðàâíà ñóììå ÷àñòîñòåé.

Ðàññìîòðèì ñèñòåìó Ai, i=1, ..., k; ñîáûòèÿ ïîïàðíî íåñîâìåñòíû, ò.å.

Ñîáûòèå

Ïóñòü â ðåçóëüòàòå íåêîòîðîãî èñïûòàíèÿ ïðîèçîøëî ñîáûòèå A. Ïî îïðåäåëåíèþ ñóìû ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ýòîì èñïûòàíèè ïðîèçîøëî íåêîòîðîå ñîáûòèå Ai. Òàê êàê âñå ñîáûòèÿ ïîïàðíî íåñîâìåñòíû, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íèêàêîå äðóãîå ñîáûòèå Aj (i¹j) â ýòîì èñïûòàíèè ïðîèçîéòè íå ìîæåò. Ñëåäîâàòåëüíî:

nA=nA1+nA2+...+nAk



Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòè èñïîëüçóåòñÿ ïðè îïèñàíèè òîëüêî òàêèõ èñïûòàíèé, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå ïðåäïîëîæåíèå: Äëÿ ëþáîãî ñîáûòèÿ A ÷àñòîñòü íàñòóïëåíèÿ ýòîãî ñîáûòèÿ â ëþáîé áåñêîíå÷íîé ñåðèè èñïûòàíèé èìååò îäèí è òîò æå ïðåäåë, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòüþ íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ A.

Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ âåðîÿòíîñòü íàñòóïëåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ñîáûòèÿ, òî ìû ïîíèìàåì ýòî ÷èñëî ñëåäóþùèì îáðàçîì: ýòî ÷àñòîñòü íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ â áåñêîíå÷íîé (äîñòàòî÷íî äëèííîé) ñåðèè èñïûòàíèé.

Ê ñîæàëåíèþ, ïîïûòêà îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü êàê ïðåäåë ÷àñòîñòè, ïðè ÷èñëå èñïûòàíèé, ñòðåìÿùèõñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, çàêîí÷èëàñü íåóäà÷íî. Õîòÿ àìåðèêàíñêèé ó÷åíûé Ìèçåñ ñîçäàë òåîðèþ âåðîÿòíîñòè, áàçèðóþùóþñÿ íà ýòîì îïðåäåëåíèè, íî åå íå ïðèçíàëè èç-çà áîëüøîãî êîëè÷åñòâà âíóòðåííèõ ëîãè÷åñêèõ íåñîîòâåòñòâèé.

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòè êàê íàóêà áûëà ïîñòðîåíà íà àêñèîìàòèêå Êîëìîãîðîâà.
  1   2   3   4   5   6   7



Скачать файл (413.3 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru