Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Задачи по математике на ЕГЭ в 2011 (+ примеры решения и ответы) - файл 1.rtf


Задачи по математике на ЕГЭ в 2011 (+ примеры решения и ответы)
скачать (13334 kb.)

Доступные файлы (1):

1.rtf13335kb.15.12.2011 21:12скачать

содержание
Загрузка...

1.rtf

  1   2   3   4
Реклама MarketGid:
Загрузка...
Задачи по математике

Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.
Для решения показательно-степенных уравнений и неравенств необходимо знать свойства показательной и степенной функции и уметь ими пользоваться. В этой главе мы рассмотрим данный вопрос.
II.1. Степенная функция и ее свойства.
Степенная функция с натуральным показателем. Функ­ция у = хn, где n — натуральное число, называется степен­ной функцией с натуральным показателем. При n = 1 получаем функцию у = х, ее свойства:

^ Прямая пропорциональность. Прямой пропорциональ­ностью называется функция, заданная формулой у = kxn, где число k называется коэффициентом пропорциональ­ности.

Перечислим свойства функции у = kx.

  1. Область определения функции — множество всех действительных чисел.

  2. y = kx — нечетная функция (f( — х) = k ( — х)= — kx = -k(х)).

3) При k > 0 функция возрастает, а при k < 0 убывает на всей числовой прямой.

Гра­фик (прямая) изображен на рисунке II.1.

Рис. II.1.

При n=2 получаем функцию y = х2, ее свойства:

Функция у —х2. Перечислим свойства функции у = х2.

  1. Область определения функции — вся числовая прямая.

  2. у = х2— четная функция (f( — х) = ( — x)2 = x2 = f (х)).

  3. На промежутке [0; + οο) функция возрастает.

В самом деле, если , то , а это и означает возрастание функции.

4) На промежутке (—оо; 0] функция убывает.

В самом доле, если ,то — х1 > — х2 > 0, а потому

(—х1)2> ( — х2)2, т. е. , а это и означает убывание функции.

Графиком функции y=х2 является парабола. Этот график изображен на рисунке II.2.
Рис. II.2.

При n = 3 полу­чаем функцию у = х3, ее свойства:

  1. Область определения функции — вся числовая прямая.

  2. y = х3 — нечетная функция (f ( — х) = { — x)2 = — х3 = — f (x)).

3) Функция y = x3 возрастает на всей числовой прямой. График функции y = x3 изображен на рисунке. Он на­зывается кубической параболой.

График (кубическая парабола) изображен на рисунке II.3.

Рис. II.3.

Пусть n— произвольное четное натуральное число, большее двух:

n = 4, 6, 8,... . В этом случае функция у = хn обладает теми же свойствами, что и функция у = х2. График такой функ­ции напоминает параболу у = х2, только ветви графика при |n| >1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при тем «теснее прижимаются» к оси х, чем больше n.

Пусть n — произвольное нечетное число, большее трех: n = = 5, 7, 9, ... . В этом случае функция у = хn обладает теми же свойствами, что и функция у = х3. График такой функции на­поминает кубическую параболу (только ветви графика тем круче идут вверх, вниз, чем больше n. Отметим также, что на промежутке (0; 1) график степенной функции у = хn тем медленнее отдаляется от оси х с ростом х, чем больше n.

Степенная функция с целым отрицательным показа­телем. Рассмотрим функцию у = х-n, где n — натуральное чис­ло. При n = 1 получаем у = х-n или у = Свойства этой функции:

График (гипербола) изоб­ражен на рисунке II.4.

Пусть n — нечетное число, большее единицы,

n = 3, 5, 7, ... . В этом случае функция у = х-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция у = График функции у = х-n (n = 3, 5, 7, ...) напоминает

Рис. II.4.

график функции у =. Пусть n — четное число, например п = 2. Перечислим не­которые свойства функции у = х-2, т. е. функции y = .

  1. Функция определена при всех х0.

  2. y = четная функция.

  3. y = убывает на (0; +оо) и возрастает на (—оо;0).

Теми же свойствами обладают любые функции вида y = х-n при четном n, большем двух.

График функции у = изображен на рисунке. Ана­логичный вид имеет график функции , если n = 4, 6, ... .

Функции вида , , обладают теми же свойствами, как и функция .

Степенная функция с положительным дробным показа­телем. Рассмотрим функцию у = хr, где r — положительная несократимая дробь. Перечислим некоторые свойства этой функции.

  1. Область определения — луч [0; + оо).

  2. Функция ни четная, ни нечетная.

  3. Функция у = хr возрастает на [0; +оо).



Рис. II.5.

На рисунке II.5. изображен график функции Он заключен между графиками функций у = х2 и у = х3, заданных на промежутке [0; + оо).

Подобный вид имеет график любой функции вида у = хr, где .

На том же рисунке изображен график функции . Подоб­ный вид имеет график любой степенной функции у = хr, где .

Степенная функция с отрицательным дробным пока­зателем. Рассмотрим функцию у = х-r, где r — положительная несократимая дробь. Перечислим свойства этой функции.

  1. Область определения — промежуток (0; + оо).

  2. Функция ни четная, ни нечетная.

  3. Функция у = х-r убывает на (0; +оо).

Построим для примера график функции у — х таблицу значений функции:



Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой (см. рис. II.6.).

Подобный вид имеет график любой функции

у = хr, где r — отрицательная дробь.
Рис. II.6.
^ II. 2. Показательная функция и ее свойства.
Функция, заданная формулой вида у = ах, где а — некоторое положительное число, не равное единице, называется показатель­ной.

  1. Функция у = ах при а>1 обладает следующими свойст­вами (см. рис. II.7.):

а) область определения — множество всех действительных чисел;

б) множество значений — множество всех положительных чисел;

Рис. II.7.

в) функция возрастает;

г) при х = 0 значение функции равно 1;

д) если x > 0, то аx > 1;

е) если х < 0, то 0 < ах < 1.

3. Функция у = ах при 0<а< 1 обладает следующими свойст­вами (см. рис. II.8.):

а) область определения D(f)=R;

б) множество значений E(f)=R+;

в) функция убывает;

г) при х = 0 значение функции равно 1;

д) если х > 0, то 0 < ах < 1;

е) если х < 0, то ах > 1.

Рис. II.8.
Решение показательно-степенных уравнений, алгоритмы и примеры.
Так называются уравнения вида , где неизвестное находится и в показателе и в основании степени.

Можно указать совершенно четкий алгоритм решения уравнении вида . Для этого надо обратить внимание на то, что при а(х) не равном нулю, единице и минус единице равенство степеней с одинаковыми основаниями (будь-то положительными или отрицательными) возможно лишь при условии равенства показателей То - есть все корни уравнения будут корнями уравнения f(x) = g(x) Обратное же утверждение неверно, при а(х) < 0 и дробных значениях f(x) и g(x) выражения а(х) f(x) и

а(х)g(x) теряют смысл. То - есть при переходе от к f(x) = g(x) (при и могут появиться посторонние корни, которые нужно исключить проверкой по исходному уравнению. А случаи а = 0, а = 1, а =-1 надо рассмотреть отдельно.

Итак, для полного решения уравнения рассматриваем случаи:

  1. а(х) = О . Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g{x) будут положительными числами, то это решение. В противном случае, нет

  2. а(х) = 1. Корни этого уравнения являются корнями и исходного уравнения.

  3. а(х) = -1. Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g(x) являются целыми числами одинаковой четности (либо оба четные, либо оба нечетные) , то это решение. В противном случае, нет

  4. При и решаем уравнение f(x)= g(x) и подстановкой полученных результатов в исходное уравнение отсекаем посторонние корни.

Примеры решения показательно-степенных уравнений.
Пример №1.



Решение

  1. x – 3 = 0, x = 3. т.к. 3 > 0, и 32 > 0, то x1 = 3 - это решение.

  2. x – 3 = 1, x2 = 4.

  3. x – 3 = -1, x = 2. Оба показателя четные. Это решение x3 = 1.

  4. x – 3 ≠ 0 и x ≠ ± 1. x = x2, x = 0 или x = 1. При x = 0, (-3)0 = (-3)0 –верно это решение x4 = 0. При x = 1, (-2)1 = (-2)1 – верно это решение x5 = 1.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.
Пример №2.



Решение

По определению арифметического квадратного корня: x – 1 ≥ 0, x ≥ 1.

  1. x – 1 = 0 или x = 1, = 0, 00 это не решение.

  2. x – 1 = 1 x 1 = 2.

  3. x – 1 = -1 x 2 = 0 не подходит в ОДЗ.

  4. =









Д = (-2) – 4*1*5 = 4 – 20 = -16 – корней нет.

Ответ: 2.
Пример №3.



Решение

1) = 0 решения нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

2) ≠ 0 т.е. . Тогда можем записать:



3) = 1. = 0

и

4) = -1 х = 0 или х = 1. При х = 0 = -1. (-1)-1 ≠ (-1)0. Это не решение. При х = 1 (-1)0 = (-1)0. Это решение х3 = 1.

5) ≠ 0 и ≠ ±1 имеем = 0, = -1 или

= 1. Эти корни уже учтены.

Ответ: -1, 1, 2.
Пример №4.



Решение

  1. При решений нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

при ,

  1. , .

  2. , .

, (-1)0 = (-1)0 это решение.

.

4) и



или

При (-4)0 = 1 – верно.

Ответ: -1, 2, 4.
Пример №5.



Решение

1) , , это не решение.

2) , и .

3) отрицательных значений основание не имеет. При и , , ,

х = 5, 315 = 315 – верно. х3 = 5,

х = 2 – не является решением.

Ответ: 1,3,5.
Пример №6



Решение

1) не дает решений, т.к. 0 ни в какой степени не равен 1.

2) . или .

3) отрицательных значений не имеет.

4) При ,

, т.к. , то . Проверка 20 = 1 – верно.

Ответ: -1, 1, 2.
Пример №7



Решение

1) , , , . Это решение .

2) , .

3) , , - четное и -3х – четное. Это решение. х2 = -4.

4) и , , , , 4-3 = 4-3 – верно. .

Ответ: -4, -3, -2, 1
  1   2   3   4



Скачать файл (13334 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru