Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Математические модели сложных измерительных сигналов - файл 1.doc


Математические модели сложных измерительных сигналов
скачать (1393.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc1394kb.16.12.2011 08:37скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Содержание


Введение
Метрология - наука об измерениях.

В практической жизни человек всюду имеет дело с измерениями. На каждом шагу встречаются измерения таких величин, как длина, объем, вес, время и др.

Измерения являются одним из важнейших путей познания природы человеком. Они дают количественную характеристику окружающего мира, раскрывая человеку действующие в природе закономерности. Все отрасли техники не могли бы существовать без развернутой системы измерений, определяющих как все технологические процессы, контроль и управление ими, так и свойства и качество выпускаемой продукций.

Велико значение измерений в современном обществе. Они служат не только основой научно-технических знаний, но имеют первостепенное значение для учета материальных ресурсов и планирования, для внутренней и внешней торговли, для обеспечения качества продукции, взаимозаменяемости узлов и деталей и совершенствования технологии, для обеспечения безопасности труда и других видов человеческой деятельности.

Особенно возросла роль измерений в век широкого внедрения новой техники, развития электроники, автоматизации, атомной энергетики, космических полетов. Высокая точность управления полетами космических аппаратов достигнута благодаря современным совершенным средствам измерений, устанавливаемым как на самих космических аппаратах, так и в измерительно-управляющих центрах.

Большое разнообразие явлений, с которыми приходится сталкиваться, определяет широкий круг величин, подлежащих измерению. Во всех случаях проведения измерений, независимо от измеряемой величины, метода и средства измерений, есть общее, что составляет основу измерений - это сравнение опытным путем данной величины с другой подобной ей, принятой за единицу. При всяком измерении мы с помощью эксперимента оцениваем физическую величину в виде некоторого числа принятых для нее единиц, т.е. находим ее значение.

В настоящее время, установлено следующее определение измерения: измерение есть нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств.

Метрология в ее современном понимании - наука об измерениях, методах, средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности.

Единство измерений - такое состояние измерений, при котором их результаты выражены в узаконенных единицах и погрешности измерений известны с заданной вероятностью. Единство измерений необходимо для того, чтобы можно было сопоставить результаты измерений, выполненных в разных местах, в разное время, с использованием разных методов и средств измерений.
Теоретическая часть
2.1. Классификация сигналов
2.1.1. Классификация измерительных сигналов
Сигналом называется материальный носитель ин­формации, представляющий собой некоторый физи­ческий процесс, один из параметров которого функ­ционально связан с измеряемой физической величи­ной. Такой параметр называют информативным.

^ Измерительный сигнал — это сигнал, содержащий количественную информацию об измеряемой физи­ческой величине. Основные понятия, термины и оп­ределения в области измерительных сигналов уста­навливает ГОСТ 16465-70 «Сигналы радиотехниче­ские. Термины и определения». Измерительные сигналы чрезвычайно разнообразны. Их классифика­ция по различным признакам приведена на рис. 1

По характеру измерения информативного и времен­ного параметров измерительные сигналы делятся на аналоговые, дискретные и цифровые.

Аналоговый сигнал — это сигнал, описываемый не­прерывной или кусочно-непрерывной функцией Yd(t), причем как сама эта функция, так и ее аргумент t могут принимать любые значения на заданных интервалах Y€(Ymin; ymax) и t€(tmin; tmax) (рис. 2, а).

Дискретный сигнал — это сигнал, изменяющийся дискретно во времени или по уровню. В первом случае он может принимать в дискретные моменты времени nТ, где Т = const интервал (период) дискретизации, n = 0; 1; 2; ...- целое, любые значения Yд (nT) €(Ymin; Ymax,), называемые выборками, или отсчетами. Такие сигналы (рис. 2, б) описываются решетчатыми функциями. Во втором случае значения сигнала Yд(t) существуют в любой момент времени t€ (tmin; tmax), од­нако они могут принимать ограниченный ряд значе­ний h1= nq, кратных кванту q.

Цифровые сигналы — квантованные по уровню и дискретные по времени сигналы Yц(nT), которые описываются квантованными решетчатыми функциями (квантованными последовательностями), принимающими в дискретные моменты времени nТ лишь конечный ряд дискретных значений — уровней кван­тования h1, h2,..., hn (рис. 2, в).



Рис. 1. Классификация измерительных сигналов



Рис. 2. Аналоговый (а), дискретный (по времени) (б) и цифровой (в) измерительные сигналы


По характеру изменения во времени сигналы де­лятся на постоянные, значения которых с течением времени не изменяются, и переменные, значения ко­торых меняются во времени. Постоянные сигналы являются наиболее простым видом измерительных сигналов.

Переменные сигналы могут быть непрерывными во времени и импульсными. Непрерывным называется сигнал, параметры которого изменяются непрерывно. Импульсный сигнал — это сигнал конечной энергии, существенно отличный от нуля в течение ограничен­ного интервала времени, соизмеримого с временем завершения переходного процесса в системе, для воз­действия на которую этот сигнал предназначен.

По степени наличия априорной информации пере­менные измерительные сигналы делятся на детерми­нированные, квазидетерминированные и случайные.

^ Детерминированный сигнал — это сигнал, закон изменения которого известен, а модель не содержит неизвестных параметров. Мгновенные значения де­терминированного сигнала известны в любой момент времени. Детерминированными (с известной степе­нью точности) являются сигналы на выходе мер. На­пример, выходной сигнал генератора низкочастотно­го синусоидального сигнала характеризуется значе­ниями амплитуды и частоты, которые установлены на его органах управления. Погрешности установки этих параметров определяются метрологическими харак­теристиками генератора.

^ Квазидетерминированные сигналы — это сигналы с частично известным характером изменения во време­ни, т.е. с одним или несколькими неизвестными па­раметрами. Они наиболее интересны с точки зрения метрологии. Подавляющее большинство измеритель­ных сигналов являются квазидетерминированными.

Детерминированные и квазидетерминированные сигналы делятся на элементарные, описываемые про­стейшими математическими формулами, и сложные. К элементарным относятся постоянный и гармониче­ский сигналы, а также сигналы, описываемые единичной и дельта-функцией. К сложным сигналам относятся импульсные и моду­лированные сигналы.

Сигналы могут быть периодическими и непериоди­ческими. Непериодические сигналы делятся на почти периодические и переходные. Почти периодическим называется сигнал, значения которого приближенно повторяются при добавлении к временному аргументу надлежащим образом выбранного числа — почти пе­риода. Периодический сигнал является частным слу­чаем таких сигналов. Почти периодические функции получаются в результате сложения периодических функций с несоизмеримыми периодами. Переходные сигналы описывают переходные процессы в физиче­ских системах.

Периодическим называется сигнал, мгновенные значения которого повторяются через постоянный интервал времени. ^ Период T сигнала — параметр, рав­ный наименьшему такому интервалу времени. Час­тота f периодического сигнала — величина, обратная периоду. Периодический сигнал характеризуется спектром. Различают три вида спектра:

комплексный — комплексная функция дискрет­ного аргумента, кратного целому числу значений час­тоты ω периодического сигнала Y (t), представляющая собой значения коэффициентов комплексного ряда Фурье:


(1.1)
где k — любое целое число;

амплитудный — функция дискретного аргумен­та, представляющая собой модуль комплексного спек­тра периодического сигнала:

(1.2)

где Re(z), Im(z) — действительная и мнимая части комплексного числа z;

фазовый — функция дискретного аргумента, представляющая собой аргумент комплексного спек­тра периодического сигнала:

(1.3)

Периодической сигнал содержит ряд гармоник. Гармоника — гармонический сигнал с амплитудой и начальной фазой, равными соответствующим значе­ниям амплитудного и фазового спектра периодиче­ского сигнала при некотором значении аргумента. Наличие высших гармоник в спектре периодического сигнала количественно описывается коэффициентом гармоник, характеризующим отличие формы данного периодического сигнала от гармонической (синусои­дальной). Он равен отношению среднеквадратического значения сигнала суммы всех его гармоник, кроме первой, к среднеквадратическому значению первой гармоники:

(1.4)
где Y,, У, — i-я и первая гармоники сигнала Y (t).

Периодические сигналы бывают гармоническими, т. е. содержащими только одну гармонику, и полигар­моническими, спектр которых состоит из множества гармонических составляющих. К гармоническим сиг­налам относятся сигналы, описываемые функцией синуса или косинуса. Все остальные сигналы являют­ся полигармоническими.

Случайный сигнал — это изменяющаяся во време­ни физическая величина, мгновенное значение кото­рой является случайной величиной.

^ 2.1.2. Классификация помех
Измерительные сигналы редко присутствуют в средствах измерений в чистом виде. Практически все­гда на них накладываются помехи. Под помехой по­нимается сигнал, однородный с измерительным и действующий одновременно с ним. Его присутствие приводит к появлению погрешности измерения. Классификация помех возможна по ряду признаков.

По месту возникновения помехи делятся на внеш­ние и внутренние. Причиной возникновения внешних помех являются природные процессы и работа раз­личных технических устройств. Последние создают так называемые индустриальные помехи. Внутренние помехи обусловлены процессами, происходящими при работе самого средства измерений.

В зависимости от вида включения источников по­мехи и измерительного сигнала в эквивалентных схе­мах средств измерений различают помехи общего вида (синфазные) и помехи нормального (последователь­ные) вида. Источник помехи общего вида включен между общими точками (корпусами) схем объекта измерений и СИ. Источник помехи нормального вида включен последовательно во входную цепь СИ.

По виду частотного спектра помехи делятся на бе­лый и розовый шумы. Спектральные составляющие бе­лого шума равномерно распределены по всему частот­ному диапазону. У розового шума спектральная мощность, приходящаяся на декаду частоты, постоянна.

По основным свойствам помехи можно разделить на три вида: флуктуационные, сосредоточенные и импульсные.

Флуктуационные помехи представляют собой хаоти­ческое, беспорядочное изменение во времени сигнала, однородного с измеряемым, в каком-либо месте средст­ва измерений. Такие помехи часто называют шумом.

Пример — внутренние шумы измерительных электрон­ных усилителей. Различают следующие виды шумов:

тепловой (шум Джонсона), по своим свойствам близкий к белому шуму. Тепловой шум генерируется любым резистором, находящимся в измерительной цепи. Значение его состоит в том, что он устанавлива­ет нижнюю границу напряжения шумов любого изме­рительного преобразователя, имеющего выходное со­противление;

дробовый, обусловленный движением электро­нов — дискретных носителей электрического тока. Он имеет равномерный спектр, т. е. является белым;

фликкер-шум. К данному виду относят шумы, у которых спектральная мощность на декаду частоты примерно постоянна, т. е. розовые шумы, например шум постоянного резистора, пропорциональный про­текающему через него току, шум тока базы транзи­стора и др.

Влияние флуктуационной помехи уменьшается при усреднении суммы измерительного сигнала и по­мехи. Максимальное уменьшение влияния флуктуационной помехи на результат измерения возможно в том случае, когда спектральная плотность помехи по­стоянна в пределах полосы пропускания средства измерений, т.е. помеха имеет характер белого шума.

Сосредоточенными называют помехи, основная часть мощности которых сосредоточена на отдельных участках диапазона частот, меньших полосы пропус­кания СИ. Помехи, наводимые в измерительных це­пях СИ от промышленной силовой сети частотой 50 Гц, являются сосредоточенными. Эффективность их подавления в значительной мере определяется дос­товерностью априорных данных о частотном спектре.

^ Импульсными помехами называется регулярная или хаотическая последовательность импульсных сигна­лов, однородных с измерительным сигналом. Источниками таких помех являются цифровые и коммутируюшие элементы СИ или работающего рядом с ними устройства. Характерный пример импульсных помех — помехи от устройств зажигания двигателей внутрен­него сгорания. Импульсные и сосредоточенные поме­хи часто называют наводками.

Поскольку основным следствием действия поме­хи является появление погрешности измерения, то стараются устранить или, по крайней мере, ослабить их действие на средства измерений. Для устранения влияния помех целесообразно, если это возможно, ис­ключить причины их возникновения. Способы борьбы с помехами в значительной мере зависят от их спек­трального состава, вида измерительного сигнала и помехи.

^ 2.2. Математическое описание измерительных сигналов
В метрологии измерительные сигналы описыва­ются математическими моделями вида Y = f (X, А, В, С,. ), где Y — основной информативный параметр сигнала, X — независимый аргумент сигнала, А, В, С — параметры сигнала. В зависимости от рода независи­мого аргумента сигналы описываются временными (X = t) и частотными (X = ω) математическими моде­лями. Вид модели выбирается в зависимости от кон­кретных условий решаемой задачи.

Во временной области применяют известные ма­тематические функции f (l, А, В, С,...), наиболее точ­но описывающие изменение сигнала, в которых один из параметров А, В, С и т.д. зависит от измеряемой величины. Временная форма представления сигнала по­зволяет легко определить такие важные характеристики, как энергия, мощность и длительность сигнала.

Наряду с временным описанием сигналов широко используется их спектральное (частотное) представ­ление. В процессе передачи и обработки сигналов оно играет особую роль, поскольку определяет параметры используемой аппаратуры. Частотное представление основывается на преобразовании Фурье сигнала Y(t):

(1.5)
где А0— постоянная составляющая; Аn,φn— амплиту­да и фаза n-й гармоники Множество значений Аn (ω) и φn (ω) образуют соответственно амплитудный и фазо­вый спектры, которые характеризуют свойства сигна­ла Y (t) в частотной области. Такой спектр называют линейчатым, или дискретным. Различные формы пред­ставления спектра периодического сигнала могут быть также найдены с помощью выражений (1.1) — (1.3).

При постепенном увеличении периода сигнала (в пределе до бесконечности) разности соседних частотных составляющих спектра становятся ничтожно малыми и дискретный спектр превращается в непрерывный.

Для описания непрерывного спектра непериоди­ческого сигнала Y(t) используют спектральную функ­цию S(ω), модуль спектральной функции │S(ω)│ , часто называемый спектром, и аргумент спектральной функции argS(ω).

^ Спектральную функцию можно определить с по­мощью интеграла Фурье:
(1.6)
Здесь Re│S(ω)│ и Im│S(ω)│ —действительная и мнимая части спектральной функции:

(1.7)
Модуль и аргумент спектральной функции опреде­ляются соответственно по формулам


(1.8)

Спектральная функция S(ω) является комплекс­ной величиной, содержащей информацию о спектре и амплитуд, и фаз, поэтому часто ее называют ком­плексным спектром. Модуль функции S(co) является спектром амплитуд, но он выражает не непосредст­венно амплитуду, а ее спектральную плотность.

Спектральное представление сигнала позволяет оценить его частотный диапазон, т. е. граничные час­тоты, между которыми заключены все или основные, имеющие наибольшие амплитуды гармонические со­ставляющие сигнала. Частотный диапазон является важной характеристикой сигнала, определяющей не­обходимую полосу пропускания средства измерения для передачи сигналов с требуемой точностью.

^ 2.3 Математические модели элементарных измерительных сигналов
К элементарным измерительным сигналам отно­сятся постоянный во времени сигнал и сигналы, опи­сываемые единичной и синусоидальной функциями, а также дельта-функцией,

^ Постоянный сигнал — самый простой из элемен­тарных сигналов, описываемый математической мо­делью вида Y = А, где А — единственный параметр сигнала. Графики временной и частотной моделей по­стоянного сигнала приведены на рис. 3.

Единичная функция, называемая иногда функцией Хевисайда, описывается уравнением
(1.9)



Рис. 3. Графики временной (а) и частотной (б) математических моделей постоянного сигнала

Она имеет один параметр – момент времени t0 . Её временная и частотная модели представлены на рис. 4, а.



Рис. 4. Графики моделей единичной (а) и дельта-функции (б)

Дельта-функция описывается уравнением
(1.10)
Она также имеет один параметр — момент времени t0. Графики временной и частотной моделей дельта-функции δ(t) показаны на рис. 4, б. Из них видно, что дельта-функция имеет спектр бесконечной ширины.

Единичная и дельта-функции связаны между со­бой следующими выражениями:

(1.11)
Важной особенностью дельта-функции является стробирующее действие, которое описывается урав­нением

(1.12)

Оно используется для представления дискретизированной во времени функции с шагом дискретиза­ции ∆t:

(1.13)
Гармонический сигнал описывается уравнением


(1.14)


Рис 5. Спектр гармонического сигнала


Параметрами такого сигнала являются: амплитуда Ym, период Т (или частота f = 1/T, или круговая частота ω) и начальная фаза φ. График временной модели общеизвестен, а график частотной модели такого сигнала показан на рис. 5.


^ 2.4. Математические модели сложных измерительных сигналов
В средствах измерений используется большое число измерительных сигналов, имеющих самые раз­нообразные формы. Рассмотрим некоторые из них, наиболее часто встречающиеся на практике.

^ Прямоугольные импульсы. Одиночный идеальный прямоугольный импульс (рис. 6, а) описывается уравнением

(1.15)

т.е. он формируется как разность двух единичных функций, сдвинутых во времени на величину τ — дли­тельность импульса.

Последовательность прямоугольных импульсов есть сумма одиночных импульсов: (1.16)

Для ее описания необходимо знать три параметра: амплитуду Ym, длительность τ и период Т (рис. 6, б). Отношение периода к длительности прямоугольного импульса называется скважностью, а обратная вели­чина — коэффициентом заполнения. При скважности, равной двум, последовательность импульсов называ­ют меандром (см. рис. 6, б).

Идеальные прямоугольные импульсы в природе не встречаются. В реальных импульсах время измене­ния сигнала от нулевых до амплитудных значений (и обратно) всегда имеет конечную длительность, т.е. фронт τ ф и спад τ с (рис. 6, в). Следовательно, у ре­альных импульсов форма близка к трапецеидальной.

Трапецеидальный импульс также является идеа­лизации реальных импульсов, которые имеют гораздо более сложную форму. Она отличается от трапеции спадом вершины импульса, выбросами на вершине и в паузе и другими особенностями, учтенными в сис­теме параметров реального прямоугольного импульса по ГОСТ 16465-70.



Рис. 6. Формирование идеального прямоугольника импульса (а), последовательность прямоугольных импульсов (б) и трапецеидальный импульс (в)
Модулированные сигналы. Модулированным назы­вается сигнал, являющийся результатом взаимодей­ствия двух или более сигналов, т.е. модуляции. Мо­дуляция — это воздействие измерительного сигнала X(t) на какой-либо параметр стационарного сигнала Y(t), обладающего такими физической природой и характером изменения во времени, при которых удобны его дальнейшие преобразования и передача. В качестве стационарного сигнала, именуемого не­сущим, обычно выбирают синусоидальное (гармони­ческое) колебание или последовательность импуль­сов.

Физический процесс, обратный модуляции, на­зывается демодуляцией, или детектированием, и за­ключается в получении из модулированного сигнала другого сигнала, пропорционального модулирующе­му. Задача демодуляции — по возможности полное восстановление информации, содержащейся в моду­лирующем сигнале X(t).

Вид модуляции и способ детектирования зависят от требований, предъявляемых к точности передачи информации. Наиболее простым модулированным гармоническим сигналом является амплитудно-модулированный сигнал, в котором измерительная информа­ция содержится в амплитуде несущего синусоидаль­ного сигнала (рис. 7).

Амплитудно-модулированныс сигналы описыва­ются формулой

(1.17)

где m — глубина амплитудной модуляции (всегда мень­ше единицы).

При частотной модуляции (рис. 8) измеритель­ная информация содержится в частоте модулирован­ного сигнала, т. е.

(1.18)
где ∆ω — наибольшее изменение частоты модулиро­ванного сигнала, т.е. девиация частоты, пропорцио­нальная амплитуде модулирующего сигнала.


Рис. 7. Амплитудно-модулированный синусоидальный сигнал (2) и модулирующий сигнал Х(t) = sinωt(1) при m = 0,8 и соотношении частот ω0/Ω = 15



Рис. 8. Частотно-модулированный (2) и модулирующий (1) сигналы при индексе частотной модуляции, равном 10, и соотношении частот ω0/Ω =14
При фазовой модуляции (рис. 9) модулирующий сигнал X(t) воздействует на фазу несущего колебания:
(1.19)
где mф — коэффициент фазовой модуляции.


Рис. 9. Модулирующий (1), фазомодулированный (3) и опорный (2) сигналы при коэффициенте фазовой модуляции m = 0,8 и соотношении частот ω0/Ω = 8

Для того чтобы при детектировании можно было восстановить модулирующий сигнал, необходимо иметь сигнал вида (1.16), называемый опорным. Отно­сительно него наблюдают, как меняется фаза модули­рованного сигнала. Модулирующий, модулирован­ный и опорный сигналы показаны на рис. 9.

Если модулируемым сигналом является периоди­ческая последовательность прямоугольных импуль­сов, то возможны три вида модуляции (рис. 10): ам­плитудно-импульсная (АИМ); частотно-импульсная (ЧИМ); широтно-импульсная (ШИМ).

При этом параметром, несущим измерительную информацию, соответственно являются амплитуда, частота и длительность импульсов.


Рис. 10. Несущая последовательность прямоугольник импульсов (а), модулирующий (б), амплитудно-модулированный (в), частотно-модулированный (г) и широтно-модулированный (д) сигналы


Рис. 11. Гармонический сигнал

Гармонические сигналы (или синусоидальные), описываются следующими формулами:

s(t) = Asin (2fоt+) = Asin (оt+),

s(t) = Acos(оt+), (1.20)

где А, fo, o,  - постоянные величины, которые могут исполнять роль информационных параметров сигнала: А - амплитуда сигнала, fо - циклическая частота в герцах, о= 2fо - угловая частота в радианах,  и - начальные фазовые углы в радианах. Период одного колебания T = 1/fо = 2/o. При  = -/2 синусные и косинусные функции описывают один и тот же сигнал.

^ 2.5. Применение моделей измерительных сигналов
Модели измерительных сигналов широко применяются в кибернетике, электронике, физике, телемеханике, промышленности и в других областях науки. Особенно широкое применение моделей измерительных сигналов получила в таких науках как «Теория автоматического управления» и «Теория автоматического регулирования». В этих предметах совокупность моделей измерительных сигналов представлена в виде систем, так как понятие системы и сигнала неразрывны между собой, потому что любой сигнал существует в какой-либо системе его обращения.

При изучении данных предметов также встречается понятие математическое описание системы, которое задается связью между сигналом входа и выхода.


^ Расчетная часть






Ответ:
Вывод
1) Сигналом называется материальный носитель информации, представляющий собой некоторый физический процесс, один из параметров которого функционально связан с измеряемой физической величиной.

Такой параметр называют информативным.

2) Измерительный сигнал - это сигнал, содержащий количественную информацию об измеряемой физической величине.

По характеру изменения информативного параметра сигналы делятся на четыре группы:

1. Сигналы, непрерывные по времени и размеру

2. Сигналы, непрерывные по времени и квантованные по размеру

3. Сигналы, дискретизированные по времени и непрерывные по размеру

4. Сигналы, дискретизированные по времени и квантованные по размеру.

3) Дискретизация - измерительное преобразование непрерывного во времени сигнала Y(t) в последовательность мгновенных значений этого сигнала Yk=Y(k∆t), соответствующих моментам времени k∆t, где k=1; 2;...

Погрешность восстановления дискретизированных сигналов равна разности между значениями непрерывной исходной функции и восстанавливающей функции.


Список литературы




  1. Долинский Е.Ф. Обработка результатов измерений. – М.: Изд-во стандартов, 1973.

  2. Карташова А.Н. Достоверность измерений и критерии качества испытаний приборов. – М.: Изд-во стандартов, 1967.

  3. Куликовский К.Л., Купер В.Я. Методы и средства измерений. – М.: Энергоатомиздат, 1986.

  4. Малышев В.М., Механиков А.И. Гибкие измерительные системы в метрологии. – М.: Изд-во стандартов, 1988.

  5. Новицкий А.В. Основы информационной теории измерительных устройств.– Л.: Энергия, 1968.

  6. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений.– Л.: Энергоатомиздат, 1985.

  7. Сергеев Г.А., Крохин В.В. Метрология, стандартизация и сертификация.



Скачать файл (1393.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации