Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лабораторная работа - Простейшие методы изучения решений дифференциального уравнения первого порядка - файл 1.doc


Лабораторная работа - Простейшие методы изучения решений дифференциального уравнения первого порядка
скачать (10120.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc10121kb.18.12.2011 06:32скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Федеральное агентство по образованию

ФГАОУ ВПО «УрФУ имени первого Президента России Б.Н. Ельцина»
Кафедра вычислительных методов и уравнений математической физики


Простейшие методы изучения решений дифференциального уравнения первого порядка

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

по дисциплине «Специальные главы математики»
Преподаватель Ермакова Г.М.
Студент гр. 190302 Иванов А.В.
Номер зачетной книжки 09932108

Екатеринбург

2010

Содержание

1. Постановка задачи……………………………………………………………..

3

2. Аналитическое точное решение дифференциального уравнения………….

4

3. Решение дифференциального уравнения приближёнными методами……..

6

3.1. Решение дифференциального уравнения методом изоклин……………...

6

3.2. Решение дифференциального уравнения методом Эйлера……………….

8

3.3. Решение дифференциального уравнения методом последовательных

приближений………………………………………………............................

8

3.4. Решение дифференциального уравнения основным методом

Рунге-Кутта…………………………………………………………………..

10

4. Результаты решения дифференциального уравнения………………………

12

5. Вывод…………………………………………………………………………...

13

Приложение 1…………………………………………………………………….

14

1. Постановка задачи
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения (ДУ) первого порядка при начальных условиях , используя следующие методы решения ДУ:

  1. точный аналитический метод;

  2. приближенный графический метод (метод изоклин);

  3. приближенный аналитический метод (метод последовательных приближений);

  4. приближенные численные методы (метод Эйлера, основной метод Рунге-Кутта).

^ 2. Аналитическое точное решение дифференциального уравнения
ДУ – неоднородное линейное дифференциальное уравнение (НЛДУ) с постоянными коэффициентами. Решим его в соответствии с алгоритмом решения НЛДУ с постоянными коэффициентами:

; ; ;

– некоторое решение нашего НЛДУ; ищем коэффициенты из соотношения

;

получаем ; ; .

Итак,

.

Реализуя начальное условие , получаем значение :
или .

Окончательно имеем

.

Протабулируем найденную функцию с шагом в точках , где :



















.

Найденные значения занесены в таблицу 2.

^ 3. Решение дифференциального уравнения приближёнными

методами
3.1 Решение дифференциального уравнения методом изоклин
Построим поле направлений исходного ДУ с помощью изоклин. Уравнение семейства изоклин или .

Будем придавать следующие значения:

()

()

()

()

()

()

()

()

()

()

Для более точного построения интегральных кривых по построенному полю воспользуемся дополнительной информацией:

. Точки этой параболы «подозрительны» на extr.

Проверим

Смена знака первой производной говорит о том, что между ветвями параболы интегральные кривые убывают, а вне параболы интегральные кривые возрастают, т.е. на левой ветви параболы имеем локальный максимум, а на правой – локальный минимум. Данная «экстремальная линия» выделена на рисунке 1 зеленым цветом.



y(x) – выпуклая

y(x) – вогнутая

Смена знака второй производной говорит о том, что между ветвями параболы интегральные кривые выпуклы вниз, а вне параболы интегральные кривые выпуклы вверх.

На рисунке 1 (см. приложение 1) приведено поле направлений ДУ, интегральные кривые, а также выделена интегральная кривая, соответствующая начальному условию. Ординаты выделенной кривой в точках занесены в таблицу 2.

^ 3.2. Решение дифференциального уравнения методом Эйлера
Отрезок разбиваем на n=10 равных частей. Тогда шаг дискретности . В соответствии с расчётной формулой вычисляем ординаты точек ломаной Эйлера.









Результаты вычислений занесены в таблицу 2; ломаная Эйлера представлена на рисунке 2 (см. приложение 1).
^ 3.3. Решение дифференциального уравнения методом

последовательных приближений
Для решения задачи Коши методом последовательных приближений ограничимся n=3.

В соответствии с рекуррентной формулой найдём третье последовательное приближение к точному решению задачи Коши для данного уравнения.


Итак — решение исходного ДУ в третьем приближении.

Вычислим ординаты точек на отрезке с шагом разбиения .





Результаты вычислений занесены в таблицу 2; интегральная кривая на отрезке , соответствующая начальным условиям, изображена на рисунке 2 (см. приложение 1).
^ 3.4. Решение дифференциального уравнения основным методом

Рунге-Кутта
Решаем задачу Коши основным методом Рунге-Кутта с точностью . Исходя из неравенства h4<0,001, выбираем шаг h=0,1. Тогда n=20.

Все вычисления сведены в таблице 1.
Таблица 1. Таблица для метода Рунге-Кутта

k

















0

0

1

-0,50000000

-0,48325000

-0,48375250

-0,46397485

-0,48299664

0,95170034

1

0,1

0,9517003

-0,46402020

-0,44134960

-0,44202971

-0,41649842

-0,44121287

0,90757905

2

0,2

0,9075790

-0,41654743

-0,38830101

-0,38914840

-0,35819853

-0,38827413

0,86875164

3

0,3

0,8687516

-0,35825098

-0,32475345

-0,32575838

-0,28970548

-0,32483002

0,83626863

4

0,4

0,8362686

-0,28976118

-0,25131834

-0,25247163

-0,21161288

-0,25149234

0,81111940

5

0,5

0,8111194

-0,21167164

-0,16857149

-0,16986450

-0,12447977

-0,16883723

0,79423568

6

0,6

0,7942357

-0,12454141

-0,07705516

-0,07847975

-0,02883262

-0,07740731

0,78649495

7

0,7

0,7864949

-0,02889697

0,02271994

0,02117143

0,07483275

0,02228642

0,78872359

8

0,8

0,7887236

0,07476585

0,13027287

0,12860766

0,18604939

0,12976272

0,80169986

9

0,9

0,8016999

0,18598008

0,24515068

0,24337556

0,30437755

0,24456835

0,82615670

10

1

0,8261567

0,30430598

0,36692680

0,36504818

0,42940309

0,36627651

0,86278435

11

1,1

0,8627843

0,42932939

0,49519951

0,49322341

0,56073599

0,49448520

0,91223287

12

1,2

0,9122329

0,56066028

0,62959047

0,62752257

0,69800893

0,62881588

0,97511445

13

1,3

0,9751145

0,69793133

0,76974339

0,76758903

0,84087599

0,76891202

1,05200566

14

1,4

1,0520057

0,84079661

0,91532271

0,91308692

0,98901139

0,91443788

1,14344944

15

1,5

1,1434494

0,98893033

1,06601242

1,06369996

1,14210834

1,06507724

1,24995717

16

1,6

1,2499572

1,14202570

1,22151493

1,21913025

1,29987788

1,22053232

1,37201040

17

1,7

1,3720104

1,29979376

1,38154995

1,37909726

1,46204792

1,38052268

1,51006267

k

















18

1,8

1,5100627

1,46196240

1,54585353

1,54333679

1,62836219

1,54478420

1,66454109

19

1,9

1,6645411

1,62827535

1,71417709

1,71160003

1,79857934

1,71306815

1,83584790

20

2

1,8358479

1,79849126

1,88628652

1,88365266

1,97247210

1,88514029

2,02436193


Результаты вычислений занесены в таблицу 2; интегральная кривая на отрезке , соответствующая начальным условиям, изображена на рисунке 2 (см. приложение 1).

^ 4. Результаты решения дифференциального уравнения
Результаты вычислений при решении ДУ различными методами занесены в таблицу 2.

Таблица 2. Итоговая таблица результатов решения ДУ



x0





















yточн

(xk)

1

0,907

57901

0,836

26856

0,794

23557

0,788

72344

0,826

15650

0,912

23263

1,052

00538

1,249

95685

1,510

06231

1,835

84751

yграф

(xk)

1

0,800

00000

0,700

0000

0,600

0000

0,600

0000

0,600

0000

0,800

0000

1,000

0000

1,300

0000

1,600

0000

1,800

0000

ε1

0

0,107

57901

0,136

26856

0,194

23557

0,188

72344

0,226

15650

0,112

23263

0,052

00538

0,050

04315

0,089

93769

0,035

84751

yЭ

(xk)

1

0,900

00000

0,817

60000

0,761

88800

0,740

86144

0,761

55807

0,830

17110

0,952

15057

1,132

29250

1,374

81740

1,683

43931

ε2

0

0,007

57901

0,018

66856

0,032

34757

0,047

86200

0,064

59843

0,082

06153

0,099

85481

0,117

66435

0,135

24491

0,152

40820

yПП

(xk)

1

0,907

51601

0,835

26434

0,789

17459

0,772

81092

0,787

53333

0,832

65894

0,905

62327

1,002

14153

1,116

36986

1,241

06667

ε3

0

0,000

06300

0,001

00422

0,005

06097

0,015

91251

0,038

62317

0,079

57368

0,146

38210

0,247

81532

0,393

69245

0,594

78084

yР-К

(xk)

1

0,907

57905

0,836

26863

0,794

23578

0,788

72369

0,826

15670

0,912

23297

1,052

00576

1,249

95727

1,510

06277

1,835

84790

ε4

0

0,000

00003

0,000

00007

0,000

00011

0,000

00015

0,000

00020

0,000

00024

0,000

00028

0,000

00032

0,000

00036

0,000

00040


5. Вывод
В лабораторной работе рассматривались простейшие методы изучения решений ДУ первого порядка. Для рассматриваемого ДУ можно заключить, что:

1) наилучшее приближение точного решения на дает основной метод Рунге-Кутта. На рисунке 2 графики функций и практически совпадают;

2) рассмотренные приближённые методы носят локальный характер: чем меньше интервал изменения x, тем «ближе» приближённые решения к точному;

3) каждый из рассмотренных приближённых методов может дать более точный результат, если учесть большее число изоклин в приближённо-графическом методе, увеличить число последовательных приближений в методе последовательных приближений, уменьшить длину шага дискретности в методе Эйлера или Рунге-Кутта. Это, конечно, приведёт к трудоёмкости счёта;

4) для вычислений вручную самым удобным оказался метод последовательных приближений. Однако, данный метод привел на конце отрезке интегрирования к самой большой абсолютной погрешности. Метод Эйлера показал «средние» результаты как по скорости получения результата, так и по погрешности. Основной метод Рунге-Кутта по погрешности показал лучшие результаты, но данный метод имеет существенный недостаток: на каждом шаге приходится вычислять четыре значения функции. Данный недостаток частично устраняется при использовании методов прогноза и коррекции (методы Милна, Адамса, Хемминга и т.д.), для обеспечения сходимости которых при четвертом порядке точности достаточно двух значений функции.

Приложение 1


Рисунок 1. Поле направлений для ДУ и некоторые интегральные кривые


Продолжение приложения 1



— Точное решение

— Метод Эйлера

— Метод ПП

— Метод Рунге-Кутта


Рисунок 2. Графики ломаных точного и приближённых решений ДУ

при начальных условиях


Скачать файл (10120.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru