Logo GenDocs.ru


Поиск по сайту:  


Выпускная работа аспиранта - Применение информационных технологий в теории дифференциальных уравнениях - файл 1.doc


Выпускная работа аспиранта - Применение информационных технологий в теории дифференциальных уравнениях
скачать (1415.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc1416kb.16.11.2011 18:16скачать

содержание

1.doc

Реклама MarketGid:
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ


Выпускная работа – аспиранта – по «Основам информационных технологий»


Аспирант

кафедры уравнений

математической физики

Мотевич Антон Викторович

Руководители:

профессор Ломовцев Федор Егорович,

ст. преподаватель Кожич Павел Павлович


Минск – 2010 г.

Оглавление


Оглавление 2

Список обозначений ко всей выпускной работе 3

Реферат на тему «Применение информационных технологий в теории дифференциальных уравнениях» 4

Введение. 4

Глава 1 (обзор литературы). 5

Глава 2 (методика исследования). 5

Глава 3 (основные результаты). 5

Структура систем Mathematica и их идеология 6

Примеры решения некоторых задач дифференциальныхуравнений 7

Глава 4 (обсуждение результатов). 16

Заключение. 17

Список литературы к реферату. 17

Предметный указатель к реферату. 18

Интернет ресурсы в предметной области исследования. 19

Действующий личный сайт в WWW (гиперссылка). 20

Граф научных интересов. 21

Презентация кандидатской диссертации. 22

Список литературы к выпускной работе. 23

Приложения 24
^

Список обозначений ко всей выпускной работе


СКА – система компьютерной алгебры

ДУ – дифференциальные уравнения

ДУЧП – дифференциальные уравнения в частных производных

ОДУ – обыкновенные дифференциальные уравнения

ИТ – информационные технологии
^

Реферат на тему «Применение информационных технологий в теории дифференциальных уравнениях»

Введение.


Системы компьютерной алгебры находят все более широкое применение во многих областях науки, таких как математика, физика, химия, информатика и т.д., техники, технологии, образовании и т.д. СКА типа Maple, Mathematica, MuPAD, Macsyma, Reduce, Axiom и Magma становятся все более популярными для решения задач преподавания математически ориентированных дисциплин, как в научных исследованиях, так и в промышленности. Данные системы являются мощными инструментами для ученых, инженеров и педагогов. Исследования на основе СКА-технологии, как правило, сочетают алгебраические методы с продвинутыми вычислительными методами. В этом смысле СКА ─ междисциплинарная область между математикой и информатикой, в которой исследования сосредотачиваются как на разработке алгоритмов для символьных (алгебраических) вычислений и обработки на компьютерах, так и на создании языков программирования и программной среды для реализации подобных алгоритмов и базирующихся на них проблем различного назначения.

Для многих естественнонаучных специальностей теория обыкновенных дифференциальных уравнений является центральной в математической составляющей образования. По этой причине существуют многочисленные курсы дифференциальных уравнений, ориентированные на самые разные аудитории. Ранее курсы отражали методы решения ДУ, которые были разработанные математиками в основном для решения физических задач. Для этого были выделены классы (типы) уравнений, решаемые в квадратурах. Однако уже к началу XX столетия была осознана важность уравнений, не решаемых в квадратурах, и возникли вопросы (устойчивость, асимптотическая устойчивость и др.), ответить на которые нужно было независимо от существования решения в квадратурах или специальных функциях. Возникла даже новая ветвь ─ качественная теория дифференциальных уравнений. В 40–50-х годах приходилось решать такое разнообразное множество ДУ, что уже нельзя было полагаться на заранее заготовленные аналитические методы решения ДУ хорошо изученных типов и на ручное применение немногочисленных разработанных к тому времени численных методов.

Целью данной работы является выявление возможности использования символьных пакетов при решении дифференциальных уравнений в частных производных на примере символьного пакета Mathematica. А также выявление необходимых усовершенствований данного пакета для решения ДУЧП.
^

Глава 1 (обзор литературы).


Применения информационных технологий при решении ДУ в настоящее время является актуальный вопросом. Достаточное количество книг посвящено этой тематике. Например, пособие Ч. Г. Эдвардса, Д. Э. Пенни «Дифференциальные уравнения и краевые задачи: моделирование и вычисление с помощью Matematica, Maple и Matlab» представляет собой весьма полный современный вводный курс ОДУ. В нем довольно подробно освещены все темы, затрагиваемые в классических вводных курсах, включая применение матричных методов, операционного исчисления, степенных рядов и рядов Фурье. Особое внимание авторы уделяют численным методам и обучению построения математических моделей самых разнообразных (например, экологических, физических, инженерных) систем. Для изучения таких моделей авторы используют самые современные математические пакет, в том числе Mathemtica.

В пособии Половко А.М. «Mathematica для студента» дается краткая характеристика пакета, приводятся алгоритмы и методы решения, на каждый из методов приведены примеры решения основных типов ОДУ с помощью Matematica.

В «Электронном пособии по высшей математике на базе системы Mathematica» А.А. Кулешова изложен курс высшей математике. Приведено множество примеров решения в пакете Mathematica задач высшей математики и других дисциплин.

Ознакомившись с найденной литературой, можно сделать вывод, что ни в одной из книг не был проведен анализ эффективности применения ИТ при решении ДУ, по этой причине основными задачами реферата являются:

  • анализ символьного математического пакета Mathematica;

  • исследование эффективности символьного пакета для решения ДУЧП;

  • поиск необходимых усовершенствований в пакете Mathematica для наиболее эффективного решения ДУ.
^

Глава 2 (методика исследования).


В реферате наряду с общими методами теории познания (индукция, дедукция, анализ, синтез) использовались классические методы теории дифференциальных уравнений.
^

Глава 3 (основные результаты).


Эволюция применения компьютеров для численных расчетов привела к развитию методов компьютерного моделирования и вычислительного эксперимента. Активное использование компьютеров для проведения символьных и графических вычислений, освобождающее исследователя от проведения трудоемких и чреватых ошибкам преобразований и существенно сокращает время реализации научных и технических проектов. Развитие компьютерных телекоммуникаций позволяет получать доступ к таким информационным и вычислительными ресурсам, которыми ранее располагали только крупные научные организации.

Система компьютерной алгебры Mathematica, разработанная американской компанией Wolfram Research Inc., является одним из наиболее распространенных в мире программных средств, которое позволяет весьма эффективно выполнять как численные, так и символьные вычисления, имеет развитую двумерную и трехмерную графику и встроенный язык программирования высокого уровня. Указанные возможности Mathematica и удобный пользовательский интерфейс обеспечили ей широкое применение во многих областях современного естествознания. Появившись в 1988 году, за десять лет своего развития Mathematica стала одним из лидеров среди систем компьютерной алгебры и превратилась в мощный инструмент в руках инженера и научного работника, преподавателя и студента. Она позволяет переложить многие громоздкие и трудоемкие аналитические вычисления на компьютер и сосредоточиться на проблеме постановки задачи и анализе результатов ее решения. К ее достоинствам можно также отнести и обширные графические возможности.
^

Структура систем Mathematica и их идеология


Maple Центральное место в системах класса Mathematica занимает машинно-независимое ядро математических операций ─ Kernel. Оно сделано достаточно компактным с тем, чтобы любая функция из него вызывалась достаточно быстро. Для расширения набора функций служит библиотека (Library) и набор пакетов расширения (Add-on Packages). Пакеты расширений готовятся на собственном языке программирования систем Mathematica и являются главным средством расширения возможностей системы м адаптации к решению конкретных классов задач пользователя. Кроме того, системы имеют встроенную электронную справочную систему ─ Help. Для ориентации системы на конкретную машину служит программный интерфейсный процессор Front End.

Идеология систем Mathematica базируется на двух, казалось бы , взаимно исключающих друг друга положениях:

  • решение большинства математических задач в системе может производиться в диалоговом режиме без традиционного программирования;

  • входной язык общения системы является одним из самых мощных языков функционального программирования, ориентированных на решение различных задач (в том числе математических).1


Противоречивость этих положений кажущаяся. На самом деле Mathematica ─ типичная система программирования с проблемно-ориентированным языком программирования сверхвысокого уровня. Его можно отнести к классу интерпретаторов. Как известно, языки такого типа последовательно анализируют каждое выражение и тут же исполняют его.
^

Примеры решения некоторых задач дифференциальныхуравнений


Пример 1.


Найти колебания струны с закрепленными концами x = 0 и x = l, если начальные скорости точек струны равны нулю, а начальное отклонение имеет форму треугольника с вершиной в точке (c, h).



Решение.

По условию задачи

если

если

Функция (ut)(x, 0)=0. Следовательно, решение этой задачи имеет вид:



В данном случае bk=0 при всех k1. Найдем коэффициенты ak



Теперь можно записать решение задачи.



По определению,



Зададим конкретные значения.



Зададим другие значения.




Пример 2.

Решить задачу Гурса:




Решение.

Найдем общее решение уравнения. Для этого приведем уравнение к каноническому виду. Вводим коэффициенты




Следовательно, уравнение гиперболического типа в области изменения переменных



Найдем замену переменных, приводящую уравнение к каноническому виду. Задаем коэффициенты

уравнения:



Найдем замену независимых переменных.



Находим первую функцию замены независимых переменных:



Аналогично находится вторая функция замены переменных с произвольными константами c, d:



Вычисляя определитель матрицы Якоби полученного отображения, находим условие невырожденности:



Преобразование переменных невырождено, если ac0. Записываем уравнение



Определяем невырожденную замену переменных согласно формуле



Получаем преобразованное уравнение



Записываем левую часть преобразованного уравнения в общепринятом виде:



Полученное уравнение имеет канонический вид. Общее решение уравнения легко находится, поскольку оно сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению:



В записи общего решения уравнения (функция v(, )) f и g ‒ произвольные функции. Записываем общее решение исходного уравнения



Проверяем, что функция u является решением



Составим систему уравнений для отыскания прозвольных функций f и g, принимая во внимание краевые условия



Убираем логарифмы из аргументов функций, входящих в полученную систему



Находим функцию g из первого уравнения системы



Функцию f находим из второго уравнения системы



Ниже осуществляется ввод функции f.



Находим решение задачи Гурса



Убеждаемся в справедливости краевых условий для этой функции



Пример 3.

Найти функцию Римана для уравнения




где c-постоянная, c>0.

Решение.

Решение ищем в виде



где v-функция одного независимого переменного.



Относительно неизвестной функции v получаем уравнение Бесселя



Найдем решения уравнения Бесселя



Решениями являются функции Бесселя. Из этих двух линейно независимых решений нужно выбрать то, которое в точке z=0 принимает значение равное 1. Построим графики решений



Следовательно, функция Римана имеет вид



Проверим, что эта функция дает искомое решение.


^

Глава 4 (обсуждение результатов).


Высочайшая эффективность решения численных задач, превосходная графика и постоянно совершенствующиеся возможности символьной (аналитической) математики — это и есть лицо новейшей системы Mathematica. Mathematica представляет собой самую современную систему искусственного интеллекта, ориентированную на выполнение разнообразных математических вычислений — от простейших до самых сложных. Одновременно эта система является уникальным по своей полноте «живым» справочником по различным математическим понятиям, алгоритмам и функциям. Она обеспечивает высочайшую степень визуализации вычислений, начиная от представления исходных данных и заканчивая выводом промежуточных и конечных результатов вычислений. Таким образом, главным для системы становится предоставление пользователю самых серьезных и, порой, новых знаний в столь древней области человеческого интеллекта, как математика. Более миллиона пользователей системы Mathematica (всех версий) и сотни опубликованных книг о ней говорят сами за себя. Mathematica — это продукт широкого потребления. Будучи по своей сути профессиональными инструментами для математиков, система Mathematica сделали решительный шаг в сторону массового пользователя. Не случайно на Западе эти системы используются не только в крупнейших научных центрах и ведущих университетах, но и в обычных вузах и даже школах. Примечательно, что сейчас Mathematica все чаще применяется представителями гуманитарных наук, а также специалистами в области экономики и финансов.

Основой системы Mathematica является проблемно-ориентированный на математические расчеты язык программирования сверхвысокого уровня. По своим возможностям этот язык намного превосходит обычные универсальные языки программирования, такие как Фортран, Бейсик, Паскаль или С. Важно подчеркнуть, что здесь речь идет о языке программирования системы Mathematica, а не о языке реализации самой системы. Языком реализации является универсальный язык программирования C++, показавший свою высокую эффективность в качестве языка системного программирования.

Мощь системы Mathematica как средства программирования решения математических задач обусловлена необычно большим (в сравнении с обычными языками программирования) набором функций, среди которых немало таких, которые реализуют сложные и практически полезные математические преобразования и современные вычислительные методы (как численные, так и аналитические). Число этих функций только в ядре и библиотеках приближается к тысяче. Среди них такие операции, как символьное и численное дифференцирование и интегрирование, вычисление пределов функций, вычисление специальных математических функций и т. д. ‒ словом, реализации именно тех средств, для создания которых на обычных языках программирования приходится составлять отдельные, подчас довольно сложные программы. Почти столько же новых функций (или модернизированных старых) содержат пакеты расширения (Add-on Packages).

Данная программа имеет электронную поддержку пользователей через Internet, которые могут получить информацию по новым статьям и книгам, по улучшенным версиям, новым функциям и приложениям. Mathematica позволяет также создавать электронные публикации для Internet, а ее документы могут конвертироваться в формат HTML.

Заключение.


Рассмотрев пакет Mathematica на примере решения дифференциальных уравненй можно сделать следующие выводы, что данный пакет содержит операторы для базовых вычислений и многие алгоритмы, отсутствующие в стандартных функциях, можно реализовать посредством написания собственной программы Mathematica. Данный пакет обладает огромными графическими и мультимедийными возможностями, с помощью которых можно визуализировать полученные результаты.
^

Список литературы к реферату.


  1. Ч. Г. Эдвардс, Д. Э. Пенни. Дифференциальные уравнения и краевые задачи: моделирование и вычисление с помощью Matematica, Maple и Matlab. Учебное пособие. – М.: Вильямс, 2008. –1104с.

  2. Половко А.М. Mathematica для студента. Учебное пособие – СПБ.: BHV, 2007. – 368c.

  3. Кулешов А.А., Земсков С.В., Позняк Ю.В. Электронном пособии по высшей математике на базе системы Mathematica. – Мн.: БГУ, 2001.

  4. – Режим доступа: http://www.exponenta.ru. – Дата доступа: 16.10.2010.

  5. – Режим доступа: http://www.wolfram.com. – Дата доступа: 16.10.2010.
^

Предметный указатель к реферату.


I

Internet 17

M

Mathematica 4, 5, 6, 17, 19, 23



Интернет ресурсы в предметной области исследования.


  1. http://library.wolfram.com – здесь представлены различные пособия в формате ноутбук для начинающих. Здесь всегда можно выбрать наиболее подходящее для Вас. Также здесь собраны примеры использования программы Mathematica во взаимодействии с другими программами.

  2. http://reference.wolfram.com/ – здесь представлена полная и актуальная документация функций, возможностей и единой архитектуры системы Mathematica.

  3. http://www.mathematica-journal.com/ – здесь содержится много полезных артикулов, посвященных системе Mathematica.

  4. http://demonstrations.wolfram.com/ – здесь представлено множество примеров, демонстрирующих возможности пакета Mathematica.

  5. http://www.elbook.bsu.by – сайт научно-методического центра "Электронная книга БГУ". Здесь представлены материалы по системе Mathematica - информация о продуктах Wolfram Research, разработках на базе Mathematica, справочное пособие по Mathematica, статьи, примеры, литература.

  6. http://www.exponenta.ru – полезный сайт для математиков. На сайте можно найти электронные учебники, справочники, статьи по популярным математическим пакетам, ознакомиться с примерами их применения.

  7. http://elibrary.ru – научная электронная библиотека. Один из наиболее полезнейших источников информации.

  8. http://lib.mexmat.ru – в этом разделе можно посмотреть аннотации на различные книги, журналы и статьи.

  9. http://www.computerbooks.ru/ – здесь содержится множество книг, посвященных системам компьютерной графики, в том числе пакету Mathematica.

  10. http://vak.org.by – сайт Высшей аттестационной комиссии Республики Беларусь. Здесь собраны все нормативные акты, касающиеся оформления и защиты диссертаций.

  11. http://www.mathnet.ru – общероссийский математический портал, предоставляющий российским и зарубежным математикам различные возможности в поиске информации о математической жизни в России.
^

Действующий личный сайт в WWW (гиперссылка).


http://motsevich-anton.narod.ru/

Граф научных интересов.


аспиранта Мотевича А. В., механико-математический факультет

Специальность дифференциальные уравнения


Смежные специальности


frame1

frame2

frame3

Основная специальность


frame4

Сопутствующие специальности

frame5



^

Презентация кандидатской диссертации.


Смотреть презентацию на сайте

Смотреть презентацию локально
^

Список литературы к выпускной работе.


  1. Ч. Г. Эдвардс, Д. Э. Пенни. Дифференциальные уравнения и краевые задачи: моделирование и вычисление с помощью Matematica, Maple и Matlab. Учебное пособие. – М.: Вильямс, 2008. –1104с.

  2. Половко А.М. Mathematica для студента. Учебное пособие – СПБ.: BHV, 2007. – 368c.

  3. Кулешов А.А., Земсков С.В., Позняк Ю.В. Электронном пособии по высшей математике на базе системы Mathematica. – Мн.: БГУ, 2001.

  4. Шафрин Ю.А. Информационные технологии: В 2 ч. Ч.2: Офисная технология и информационные системы. – Мн.: Бином. Лаборатория знаний, 2003. – 336с.

  5. Ломовцев Ф.Е. Гиперболические дифференциально-операторные уравнения второго порядка с переменными областями определения гладких операторных коэффициентов // Докл. НАН Беларуси. 2001. Т. 45. № 1. С. 34–37.

  6. Мотевич А.В. Новые сглаживающие операторы задачи Гурса для гиперболических дифференциально-операторных уравнений второго порядка с переменными областями определения // Докл. НАН Беларуси. 2010. В печати.

  7. – Режим доступа: http://www.exponenta.ru. – Дата доступа: 16.10.2010.

  8. – Режим доступа: http://www.wolfram.com. – Дата доступа: 16.10.2010.

  9. Сайт Высшей аттестационной комиссии Республики Беларусь. – Режим доступа: http://vak.org.by. – Дата доступа: 16.10.2010.

Приложения










































1 Mathematica 4: Учебный курс / В.В. Дьяконов. – СПб.: Питер, 2001. –656с.: ил.


Реклама:





Скачать файл (1415.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru