Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Шпоры по математическому моделированию в MathCad - файл 1.docx


Шпоры по математическому моделированию в MathCad
скачать (26.7 kb.)

Доступные файлы (1):

1.docx27kb.16.11.2011 18:21скачать

содержание
Загрузка...

1.docx

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Основные сведения о математических моделях В общем случае под математической моделью реального объекта обычно понимают любое математическое описание, отражающее с требуемой точностью поведение этого объекта в заданных условиях. Все параметры математических моделей делятся на два класса – внешние и внутренние. Каждый из этих классов подразделяется на два подкласса – первичные и вторичные параметры. Существует две наиболее общие разновидности моделей: формальные и физические.

Основные понятия о моделировании. При исследовании и проектировании технических объектов и систем можно выделить две основные группы задач анализ и синтез. Анализ-исследование свойств технических объектов по их параметрам и структуре. Синтез-задача определения структуры объекта и расчета их параметров для получения заданных свойств. Мат.модель-совокупность мат.объектов и связей между ними. Отражающие некоторые свойства технического объекта.Мат.мод-процесс создания модели и оперирование с ней с целью получения сведений о реальном объекте.

^ Модели и их применение-модели позволяют представить в наглядной форме объекты и процессы, недоступные для непосредственного восприятия. Наглядные модели очень часто используют в процессе обучения. М играют важную роль в проектировании и создании различных технических устроиств, машин, механизмов, зданий. В процессе разработки летательных аппаратов исследуют поведение их М в аэродинамической трубе. В процессе проектирования зданий.Модель атома

^ Требование к математическим моделям-Универсальность-М отражает некоторые реальные свойства объектов и характерезует полноту отражения свойств. Точность-оценивается значение параметров реального объекта и значение тех же параметров рассчитывается с помощью мат.мод. Адекватность-способность мат модели отражать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной. Экономичность-характерезуется затратами вычеслительных ресурсов.

^ Классификация моделей- Модели можно классифицировать различными способами, но ни один из них не является удовлетворительным. Укажем некоторые типовые группы моделей, которые могут быть положены в основу системы классификации: статистические и динамические; стохастические и детерминированные; дискретные и непрерывные; натурные, аналоговые, символические. Удобно представить модели в виде непрерывного спектра: физические; масштабируемые; аналоговые; управленческие игры; моделирование на ЭВМ; математические.



Математические модели - относятся те, в которых для представления процесса используют символы, а не физические свойства. Мат мод - совокупность математических объектов и отношений между ними, которая адекватно отображает некоторые свойства объекта.. Деление математических моделей происходит по нескольким принципам. В зависимости от характера отображаемых свойств объекта — функциональные и структурные. Функциональные отображают процессы функционирования объекта. Они имеют чаще всего форму системы уравнений. Структурные могут иметь форму матриц, графов, списков векторов и выражатьвзаимное расположение элементов в пространстве. По способам получения функциональных математических моделей — теоретические и формальные. Теоретические получают на основе изучения физических закономерностей. В зависимости от линейности и нелинейности уравнений — линейные и нелинейные. В зависимости от множества значений переменных — непрерывные и дискретные.

^ Физические модели- это модель, создаваемая путем замены объектов моделирующими устройствами, которые имитируют определённые характеристики либо свойства этих объектов. При этом моделирующее устройство имеет ту же качественную природу, что и моделируемый объект. Физические модели используют эффект масштаба в случае возможности пропорционального применения всего комплекса изучаемых свойств.Физическая модель представляет собой аналоговую модель, в которой между параметрами объекта и модели одинаковой физической природы существует однозначное соответствие. В этом случае элементом системы ставятся в соответствие физические эквиваленты, воспроизводящие структуру, основные свойства и соотношения изучаемого объекта. При физическом моделировании, основой которого является теория подобия, сохраняются особенности проведения эксперимента в натуре с соблюдением оптимального диапазона изменения соответствующих физических параметров. Простейшей физической моделью в классической механике является материальная точка.

^ Применение ЭВМ при моделировании- Компьютерное моделирование является одним из эффективных методов изучения сложных систем. Компьютерные модели проще и удобнее исследовать в силу их возможности проводить т.н. вычислительные эксперименты, в тех случаях когда реальные эксперименты затруднены из-за финансовых или физических препятствий или могут дать непредсказуемый результат. Логичность и формализованность компьютерных моделей позволяет выявить основные факторы, определяющие свойства изучаемого объекта-оригинала (или целого 

класса объектов), в частности, исследовать отклик моделируемой физической системы на изменения ее параметров и начальных условий.Построение компьютерной модели базируется на абстрагировании от конкретной природы явлений или изучаемого объекта-оригинала и состоит из двух этапов - сначала создание качественной, а затем и количественной модели. Компьютерное же моделирование заключается в проведении серии вычислительных экспериментов на компьютере, целью которых является анализ, интерпретация и сопоставление результатов моделирования с реальным поведением изучаемого объекта и, при необходимости, последующее уточнение модели и

^ Методика получения мат.модели- Включает следующие этапы-1.Выбор свойст объекта-выбираются те свойства которые будут отражены в модели . Этот выбор основывается на анализе вохможных применений м.м. и поэтому определяется степенью универсальности модели. 2.Сбор исходной информации о выбранных свойствах объекта. Источником сведений может быть научно-техническая литература, справочники,опыт и знания разработчика.

^ MathCad. Общие сведения- Mathcad — система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается легкостью использования и применения для коллективной работы. Работа осуществляется в пределах рабочего листа, на котором уравнения и выражения отображаются графически, в противовес текстовой записи в языках программирования. Mathcad содержит сотни операторов и встроенных функций для решения различных технических задач. Программа позволяет выполнять численные и символьные вычисления, производить операции с скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие. Среди возможностей Mathcad можно выделить: Решение дифференциальных уравнений, в том числе и численными методами. Построение двумерных и трёхмерных графиков функций (в разных системах координат, контурные, векторные и т. д.) Использование греческого алфавита как в уравнениях, так и в тексте выполнение вычислений в символьном режиме Выполнение операций с векторами и матрицами Символьное решение систем уравнений

^ MathCad.Вычесления и работа с текстом- Простейшие вычисления можно выполнить, используя знак вывода результатов вычислений = ( равенства ), что соответствует схеме Выражение =В левой части равенства могут стоять любые математические выражения, содержащие встроенные в систему функции. MathCad реализует вычисления слева направо и сверху вниз. Для 

ввода текстов, т.е. создания текстовых блоков документов, достаточно ввести знак "(кавычки) или воспользоваться меню или панелью инструментов Внутри текстового блока можно пользоваться стандартными приемами редактирования текста - перемещением курсора вверх и вниз, вправо и влево, уничтожением и вставкой символов. Как отмечалось, математические выражения в текстовом блоке играют роль комментариев и не выполняются.

^ MathCad. Матричные вычесления.- Сложение В MathCAD можно как складывать матрицы, так и вычитать их друг издруга. Для этих операторов применяются символы <+> или <-> соответственно. Матрицы должны иметь одинаковую размерность, иначе будет выдано сообщение об ошибке. Каждый элемент суммы двух матриц равен суммесоответствующих элементов матриц-слагаемых Смена знака матрицы Умножение При умножении следует помнить, что матрицу размерности MXN допустимоумножать только на матрицу размерности NXP (р может быть любым). В результате получается матрица размерности МХР. Чтобы ввести символ умножения, нужно нажать клавишу со звездочкой <*>или воспользоваться панелью инструментов Matrix (Матрица), нажав на нейкнопку Dot Product Слияние матриц Для того чтобы составить из двух или более матриц одну, в MathCAD предусмотрены две матричные функции (листинг 9.25): augment (А, в, с,...) - матрица, сформированная слиянием матриц-аргументов слева направо;

^ MathCad.Построение графиков- позволяет обрабатывать различные виды графической информации. Возможности системы по работе с графикой таковы: построение двумерных графиков в декартовой и полярной системах координат, построение трехмерных поверхностных графиков,внесение рисунков, созданных другими компьютерными системами;создание анимационных клипов. Соответственно, графические области делятся на четыре основных типа – область двумерных графиков, трехмерных графиков, область внешних графических объектов и область анимации. Для построения графиков используется палитра графиков, вид которой приведен ниже. Перечень возможных типов графиков приведен в основном меню InsertGraph, При построении двумерных графиков после нажатия соответствующей кнопки на панели графических инструментов появляется шаблон вида: В шаблоне графика по вертикали задаются через запятую функции, а по горизонтали – аргументы. График строится по точкам соединяющихся между собой разнообразными линиями (сплошной, пунктирной и т. д.). Исходные (узловые) точки могут быть показаны в виде маркеров (квадратов, ромбов, окружностей и т. д.). Крайние шаблоны данных служат для указания предельных значений абсцисс и ординат, т. е. они 

задают масштабы графика. Если оставить эти шаблоны незаполненными, то масштабы по осям графика будут устанавливаться автоматически.

^ Применение методов решения систем линейных уравнений Для решения систем линейных уравнений можно использовать общепринятые математические методы: метод Крамера, матричный метод и т.д. Матричный метод решения системы линейных уравнений реализован в функции lsolve. Общий вид функции: lsolve(а, b) где а – матрица коэффициентов перед неизвестными, b – вектор свободных членов. Матричный метод можно реализовать и с помощью обратной матрицы.

^ Решение системы линейных уравнений методом Крамера- создать матрицу коэффициентов системы линейных уравнений, например, (см. краткие теоретические сведения темы 2); создать вектор свободных членов, например; с помощью оператора «:=» создать матрицу, равную матрице коэффициентов, например, ; заменить в созданной матрице первый столбец вектором свободных членов, используя операцию выделения столбца матрицы, например, или аналогично из матрицы коэффициентов создать матрицу, в которой второй столбец заменен вектором свободных членов, затем матрицу, в которой третий столбец заменен вектором свободных членов, и т.д. (количество таких матриц определяется количеством неизвестных в системе уравнений); найти первый корень, разделив определитель матрицы с замененным первым столбцомна определитель матрицы коэффициентов, например:; найти остальные корни системы уравнений аналогично.

^ Решение системы линейных уравнений матричным методом создать матрицу коэффициентов системы линейных уравнений, например, А (см. краткие теоретические сведения темы 2); создать вектор свободных членов системы линейных уравнений, например, B; получить решение системы с помощью функции lsolve, параметрами которой являются матрица коэффициентов и вектор свободных членов, например: (решение также можно получить, умножив матрицу, обратную к матрице коэффициентов, на вектор свободных членов: вывести полученный вектор, содержащий корни системы, с помощью оператора «=».

^ Подбор эмпирических формул. При обработке экспериментальных данных нужно иметь в виду ошибки этих данных. Эти ошибки делятся на три категории: - систематические - случайные- грубые. Систематические ошибки могут быть вызваны условиями эксперимента, дефектами аппаратуры и т.п. Обычно они дают отклонение в одну сторону от истинного значения измеряемой величины. Грубые ошибки явно искажают результаты измерений, они чрезмерно большие и обычно пропадают при повторении опыта. Измерения с такими ошибками отбрасываются и не учитываются при обработке результатов. Случайные ошибки определяются большим числом факторов, которые не могут быть устранены, либо достаточно точно учтены при измерениях и обработке результатов. Они имеют несистематический 

характер и дают отклонения в ту и в другую сторону при повторении измерений. С помощью статистической обработки результатов измерений можно найти закон распределения ошибок измерений, наиболее вероятный диапазон изменения искомой величины (доверительный интервал) и другие параметры. Задача в том, чтобы найти функцию , значения которой при мало отличаются от опытных данных . Такая функция называется эмпирической формулой.

Метод выбранных точек. – 1. По экспериментальным данным на на график наносится система точек. 2. Проводится простейшая плавная кривая которая наиболее близко примыкает к исходным точкам. 3.Из системы точек выбираются точки причем количество выбранных точек должно быть равно количеству вычисляемых параметров, 4.координаты этих точек подставляются в общий вид эмпирической зависимости и таким образомполучается система уравнений к того порядка. 5. Решаем систему уравнений

^ Метод наименьших квадратов-Разность между экспериментальнми и вычисленными отклонениями qi=g(xi,a1, …an)-yi Метод наименьших квадратов это нахождение минимума суммы квадратов от клонений всех точек xi S=сумма(g(xi,a1, …an)-yi)^2=min Поскольку проектные параметры a1, …an выступают в роли независимых переменных функции S то минимум функции можно приравнять частным производным система dS/da1=0 dS/dan=0


Скачать файл (26.7 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru