Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции по матану - файл 10 Lk 1s,1k,X.doc


Лекции по матану
скачать (1889.4 kb.)

Доступные файлы (30):

10 Lk 1s,1k,X.doc322kb.05.01.2008 17:00скачать
11 Lk 1s,1k,XI.doc264kb.05.01.2008 17:14скачать
12 Lk 1s,1k,XII.doc401kb.05.10.2007 14:59скачать
13 Lk 1s,1k,XIII.doc352kb.09.10.2007 18:15скачать
14 Lk 1s,1k,XIY.doc335kb.11.10.2007 18:33скачать
15 Lk 1s,1k,XV.doc470kb.17.10.2007 23:27скачать
16 Lk 1s,1k,XYI.doc228kb.28.10.2007 11:22скачать
17 Lk 1s,1k,XYII.doc166kb.28.10.2007 13:25скачать
18 Lk 1s,1k XVIII.doc273kb.04.11.2007 19:09скачать
19 Lk 1s,1k XIX.doc266kb.05.11.2007 00:05скачать
1 Lk 1s 1k,I.doc327kb.08.01.2008 19:48скачать
20 Lk 1s,1k XX.doc297kb.06.11.2007 01:33скачать
21 Lk 1s,1k XXI.doc265kb.13.11.2007 17:56скачать
22 Lk 1s,1k XXII.doc247kb.17.11.2007 12:36скачать
23 Lk 1s,1k XXIII.doc261kb.17.11.2007 16:43скачать
24Lk 1s,1k XXIV.doc259kb.22.11.2007 21:09скачать
25 Lk 1k 1s XXV.doc171kb.05.01.2008 12:58скачать
26 Lk 1k 1s XXVI.doc187kb.05.01.2008 13:40скачать
27 Lk 1s,1k XXVII.doc231kb.05.01.2008 14:03скачать
28 Lk 1s,1k XXVIII.doc150kb.05.01.2008 14:24скачать
2 Lk 1s 1k,II.doc202kb.08.01.2008 20:46скачать
3 Lk 1s 1k,III.doc100kb.12.09.2007 22:25скачать
4 Lk 1s 1k,IV.doc109kb.09.09.2007 00:45скачать
5 Lk 1s 1k,V.doc232kb.13.09.2007 12:36скачать
6 Lk 1s,1k,VI.doc225kb.14.09.2007 16:07скачать
7 Lk 1s,1k,YII.doc112kb.18.09.2007 17:27скачать
8 Lk 1s,1k,YIII.doc189kb.25.09.2007 10:56скачать
9 Lk 1s,1k,IX.doc373kb.05.01.2008 16:57скачать
~WRL2826.tmp
~WRL2990.tmp

содержание
Загрузка...

10 Lk 1s,1k,X.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Лекция 10

Смешанное произведение векторов
Определение 10.1

Смешанным произведением векторов называется произведение следующего вида: , т.е. вначале вектора и перемножаются векторно, а затем результат умножается скалярно на вектор .
Геометрический смысл смешанного произведения
Теорема 10.1.

Смешанное произведение трех некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, взятому со знаком « +», если тройка правая, и «–» , если левая.

Доказательство.

Рассмотрим параллелограмм, построенный на векторах , лежащий в основании указанного параллелепипеда. Его площадь выражается формулой (9.5).

.


Пусть -неколлинеарны параллелепипеда, построенного на векторах .

Очевидно, что знак совпадает со знаком , а он больше нуля, когда тройка правая, и меньше нуля, когда тройка левая, что и требовалось доказать.
Следствие 1.

Векторы компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, т.е. . (10.1)
Доказательство.

Действительно, если векторы компланарны, то , равенство (10.1) выполняется.

Обратное также верно. Допустим, что векторы – некомпланарны, построим на них параллелепипед, тогда по теореме 10.1 , что противоречит условию.
Следствие 2.

Справедливо равенство:
Доказательство.

Скалярное произведение не зависит от порядка множителей, следовательно . По теореме 10.1 , =, поскольку речь идет об одном и том же параллелепипеде и – тройки одной ориентации, поэтому в двух последних равенствах нужно брать один и тот же знак, следовательно, =.

Принимая во внимание эти равенства, смешанное произведение и обозначают .

Таким образом, .
Замечание 1. Из свойства линейности скалярного произведения следует: .
Теорема 10.2.

Пусть , , , тогда

. (10.2)
Доказательство.

, что является разложением определителя (10.2) по третьей строке.
Замечание 2. Следствие 1 теоремы 10.1 теперь можно сформулировать следующим образом:

= – необходимое и достаточное условие компланарности векторов.
Пример 10.1.

Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах .

По формуле (10.2) получаем: .
^ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ТЕМА: Прямая на плоскости
Определение 10.3.

Уравнением линии на плоскости (относительно выбранной системы координат) называется такое уравнение (неявный вид), которому удовлетворяют координаты любой точки данной линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии.

Замечание 3.

Уравнение называется алгебраическим, если

, где , причем - порядок уравнения.
Примеры 10.2.

а) - алгебраическое уравнение 1-го порядка.

б) - алгебраическое уравнение 2-го порядка.

в) - не является алгебраическим уравнением.

Самым простым уравнением 1-й степени является уравнение прямой на плоскости.
10 10 Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Постановка задачи.

Дано: , .

Найти: уравнение прямой , проходящей через точку и . (см. рис.)

Назовем - нормальный вектор.

А) Выберем на произвольную точку . Найдем координаты . Т.к. , то

(10.3)



- уравнение , отвечающее всем требованиям определения (10.3).

Б) Пусть , тогда , т.е. и условие определения (1) не выполняются.

Следовательно, уравнение (10.3) – уравнение прямой по точке и нормальному вектору.
20 Общее уравнение прямой

Из уравнения (10.3) с помощью элементарных преобразований получим: ,

(10.4)



- общее уравнение прямой.

Частные случаи уравнения (10.4):

1) , 2) , 3)

4) , 5)
30 Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть , , причем если

, то ;

, то ;

, то ;

при .

Разрешим общее уравнение прямой (10.4) относительно : . Пусть , тогда

(10.5)

,

где - угловой коэффициент прямой, - отрезок, который отсекает данная прямая на оси .

Замечание 4. Если , то - прямая проходит через начало координат; если , то - семейство прямых, параллельных оси .
40 Векторное, параметрическое и канонические уравнения прямой
Определение 10. 2

Всякий ненулевой вектор параллельный прямой называется направляющим вектором этой прямой. ().
Пусть точка , тогда произвольная точка лишь при условии, когда вектор коллинеарен . Это означает, что:

(10.6)



- векторное уравнение прямой.

С другой стороны, всякая точка , для которой выполняется уравнение (10.6) принадлежит в силу определения произведения вектора на число. Таким образом, точка , тогда и только тогда, когда выполняется условие (10.6).

Если обозначить радиус-вектора точек , через и , соответственно, то , тогда:

(10.6’)

.

Если , , , то (10.6) в координатах запишется:

(10.7)



- параметрические уравнения прямой на плоскости, проходящей через точку в направлении .

Исключая из уравнений (10.7) параметр , получаем:

(10.8)



- каноническое уравнение прямой.

Уравнение (10.8) необходимо воспринимать как пропорцию: если , то это прямая, параллельная оси , проходящая через точку .
Замечание 5.

  1. Приведем уравнение (10.8) к общему знаменателю:

- общее уравнение прямой.

  1. В задачах часто обозначают .

  2. Если - нормальный вектор, то - направляющий вектор.


Вместе с каноническим уравнением (10.6) используется уравнение прямой, проходящей через две точки: если , , то .

Можно в качестве направляющего вектора принять , тогда:

(10.9)



- уравнение прямой, проходящей через две точки и .








Скачать файл (1889.4 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru