Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

ВМ 3 семестр - файл лВекторный анализ 1.doc


ВМ 3 семестр
скачать (1021.5 kb.)

Доступные файлы (10):

лВекторный анализ 1.doc389kb.16.01.2011 21:15скачать
лВекторный анализ 2.doc613kb.16.01.2011 21:16скачать
лКратные интегралы.doc354kb.16.01.2011 21:35скачать
лРяды.doc469kb.16.01.2011 21:35скачать
лУравнения матфизики.doc682kb.16.01.2011 21:35скачать
практика 2 интеграл.doc322kb.16.01.2011 21:36скачать
практика 3 интеграл.doc318kb.16.01.2011 21:36скачать
практика крив ин-л.doc352kb.16.01.2011 21:37скачать
практика по УМФ.doc233kb.16.01.2011 21:37скачать
Практ.теории поля.doc601kb.16.01.2011 21:34скачать

содержание
Загрузка...

лВекторный анализ 1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Кафедра «Высшей математики»


Опорные конспекты лекций.

Тема : Векторный анализ.



Криволинейные интегралы 1-ого рода.


Задача: Кусочно-гладкая кривая линия L на плоскости соединяет точки А и В и определяется уравнением y = y(x) , [a,b] или x = x(t), y = y(t) (t1<t<t2). Вдоль кривой распределены массы с плотностью (M) для каждой точки М. Вычислим общую массу всей системы метод интегральной суммы.

1) Операция разбиения. Разделим кривую L на n участков некоторыми точками А0 = А, А1, . . . , Аn = В. Соединим соседние точки отрезками АiАi+1 длиной si и выделим на каждом из них некоторую точку Мi().

  1. Приближенно масса отдельного отрезка равна mi = (Mi) si ,

  2. Массу всех отрезков определяет интегральная сумма

m(n) = (Mi) si ( 1 )

4) Переход к пределу n дает точное решение задачи.

Главные особенности интегральной суммы ( 1 ) : 1) включает не только параметры кривой ^ L , но и дополнительную функцию двух переменных f(x,y) ; 2) приобретает физический смысл .

Опр. Криволинейным интегралом 1-ого рода от функции f(x,y) вдоль кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки. Переменной интегрирования является длина кривой s.

J = lim f() si f(x,y) ds f(x,y) ds ( 2 )


n

Механический смысл криволинейного интеграла 1 рода : общая масса тел распределенных вдоль кривой с переменной плотностью.

Криволинейный интеграл сводится к обыкновенному определенному интегралу несколькими способами, в зависимости от способа описания кривой L.

  1. Кривая L задана параметрически : x = x(s) , y = y(s) , 0sS , где s – длина кривой. Тогда

f(x,y) ds = f(x(s), y(s)) ds ( 3 )

2) Кривая L задана через произвольный параметр t : x = (t) , y = (t) , t1tt2 .

Тогда, длину отрезка АiАi+1 можно представить в виде

s = =

и в пределе n lim = `t , lim = `t ,

s ds = dt


f(x,y) ds = f((t) ,(t)) dt ( 4 )


3) Кривая L задана явным уравнением : y = y(x) на [a,b] .

Тогда s = или ds = dx . В результате имеем

f(x,y) ds = f(x,y(x)) dx ( 5 )
^

Основные свойства криволинейного интеграла 1 рода


Обычный определенный интеграл есть частный случай криволинейного интеграла, когда в качестве L берется отрезок оси Ох. Поэтому свойства интегралов аналогичны.


10 Постоянный множитель выносится из под знака интеграла

с f(x,y) ds = с f(x,y) ds

т.к. общий множитель членов интегральной суммы можно вынести за скобку.

20 Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов

[f1(x,y)+f2(x,y)] ds = f1(x,y) ds + f2(x,y) ds

т.к. такая интегральная сумма разделяется на две части.

30 Если контур интегрирования разбит на две части L1 и L2, то

f(x,y) ds = f(x,y) ds + f(x,y) ds

40 Интеграл не зависит от направления пути интегрирования , т.к. s может только возрастать при удалении от точки отсчета.

f(x,y) ds = f(x,y) ds

50 Если f(x,y) = 1 , то интеграл равен длине дуги : ds = L

Пр.1 xy ds , где L контур треугольника с вершинами A(-1;0) , B(1;0) , C(0;1) проходим в положительном направлении.

Общий вид уравнения прямой, проходящей через две произвольные точки (x1,y1), (x2,y2) : (x – x1) / (x2 – x1) = (y – y1) / (y2 – y1) .


AB : y = 0 , y` = 0 , = 1 , xy ds = x 0 dх = 0


BC : y = 1 – x , y`= –1, =, xy ds = x(1-x) dx = - /6

CA : y =1 + x , y` = 1 , =, xy ds = x(1+x) dx= /6

Замкнутый контур интегрирования обозначается значком . В Пр.1 xy ds = 0.
^

Криволинейный интеграл 2 рода.


Опр. Криволинейным интегралом 2-ого рода от функции f(x,y,z) вдоль пространственной кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки. Переменной интегрирования является проекция длины кривой на ось Оx или Оу или Oz .

J = lim f(Mi) xi f(x,y,z) dx ; J = lim f(Mi) yi f(x,y,z) dy

J = lim f(Mi) zi f(x,y,z) dz ( 6 )



Интеграл 2-ого рода получается из интеграла 1-ого рода простой заменой ds на dx, dy, dz .

В конкретных задачах при прохождении контура L часто возникает необходимость вычислять интегралы по всем трем проекциям, причем, от разных функций. Поэтому в общем случае криволинейный интеграл 2-ого рода записывается в виде

J = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz Pdx + Qdy + Rdz



Дополнительная особенность : интеграл 2-ого рода меняет знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования

Pdx + Qdy + Rdz = - Pdx + Qdy + Rdz ( 7 )

Действительно, если x1 < x2 , то при движении x1x2 имеем x = x2 – x1 > 0 , а в случае x2x1 x = x1 – x2 < 0 , т.е. знак проекции участка кривой на ось меняется.


Вычисление криволинейного интеграла 2 рода.

1) Кривая L задана через произвольный параметр t : x =(t), y = (t), z = (t), t1tt2 . Тогда, dx = `dt , dy = `dt , dz = `dt и имеем для плоской кривой

f(x,y) dx = f((t),(t))`(t) dt ( 8 )

или в общем случае Pdx + Qdy + Rdz =

=[P((t),(t),(t))(t)` + Q((t),(t),(t))`(t) + R((t),(t),(t))(t)`]dt


2) Плоская кривая L задана явным уравнением : y = y(x) на [a,b] . Тогда

f(x,y) dx = f(x, y(x)) dx ( 9 )

т.е. в f(x,y) переменную у заменяем на уравнение кривой y(x) и получаем стандартный определенный интеграл.

Пр.2 J =y2dx + x2dy , где L – верхняя половина эллипса: x = a cos t , y = b sin t , проходимая по часовой стрелке.

Решение: dx = -a sin t dt , dy = b cos t dt , J =[b2sin2t (-a sin t) + a2cos2t b cost] dt = = ab [b sin3t – a cos3t] dt = 4/3 ab2


Пр.3 J = (x2 – y2)dx + xy dy , где L :

а) прямая от точки А(1;1) до B(2;4) ;

б) дуга параболы y = x2 от А до В ;

в) ломаная АСВ , где С(2;1).


Решение а): уравнение прямой АВ : (x – 1) / ( 2 – 1) = (y – 1) / (4 – 1)  y = 3x – 2 ,

dy = 3 dx, J =[x2– (3x – 2)2+ 3x(3x – 2)] dx =(x2 + 6x – 4) dx = x3/3 +3x2 –4x|12 = 8/3.

Решение б):парабола y = x2, dy = 2x dx, J =[x2–x4+2x4] dx =(x3/3 + x5/5)|12 = - 8/15

Решение в): ломаная АСВ = АС + СВ

Прямая АС : у = 1, dy = 0 , J = (x2 – 12) dx = (x3/3 – x ) |12 = 4/3 .

Прямая СВ : x = 2, dx = 0 , J =2y dy = y2 |14 = 15 . J = 15 + 4/3 .


Пр. 4 Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды x = t –sin t, y = 1 – cos t, o  t  

Решение: Координаты центра тяжести однородной дуги кривой ^ L вычисляются по формулам : xc = , yc = , где s – длина дуги. ( 10 )


Имеем (x`t)2 + (y`t)2 = (1 – cos t)2 + (sin t)2 = 2(1 – cos t) = 4 sin2(t/2) , тогда по ( 4 )

ds = 2 sin(t/2) dt и длина дуги s = ds = 2sin(t/2) dt = - 4 cos(t/2) |0 = 4

xc = = 2/4(t – sin t) sin(t/2) dt = 8/3

yc = = 2/4(1 – cos t) sin(t/2) dt = 4/3


Приложения криволинейных интегралов 2-ого рода.

Рассмотрим криволинейный интеграл 2-ого рода

J = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz ( 11 )

где P, Q, R – некоторые ограниченные непрерывные функции, а ^ L - произвольная линия в пространстве, соединяющая точки А и В. Пусть линию определяет векторное уравнение r = r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k , ( t1 t t2 ) . Тогда дифференциал радиус-вектора dr = ( xt`i + yt`j + zt`k ) dt = {dx, dy, dz} задает направление и величину смещения при движении по кривой в окрестности произвольной точки.

Величины P, Q, R можно рассматривать как компоненты вектора F = F(M) = {P,Q,R }, значения которого меняются от точки к точке пространства. Такой переменный вектор определяет векторное поле. Например, поле сил, воздействующих на тело массыm. При движении тела по кривой L в поле сил производится работа. По определению, на малом прямолинейном участке пути работа равна скалярному произведению вектора силы F(Mi) на вектор смещения ri , т.е. Ai = F(Mi) ri . Разделим кривую L на n малых, почти прямолинейных участков, и составим интегральную сумму

A(n) = F(Mi) ri = [ P(Mi) xi + Q(Mi) yi + R(Mi) zi ] ( 12 )


Пределом интегральной суммы ( 12 ) при n является криволинейный интеграл 2-ого рода ( 11 ) или J = , т.е. криволинейный интеграл 2 рода есть интеграл вдоль кривой от скалярного произведения вектора силы на вектор смещения.

^ Его механический смысл - работа по перемещению тела в поле переменных сил. Произведенная работа может зависеть или не зависеть от выбранного пути при перемещении из точки А в точку В . Это свойство является важнейшей характеристикой всякого векторного поля. Определим условия независимости криволинейного интеграла от контура интегрирования.

Теорема . Криволинейный интеграл 2-ого рода ( 11 ) вдоль кривой L , соединяющей точки А и В, не зависит от пути интегрирования при выполнении любого из следующих условий:


1) если его значение по произвольному замкнутому контуру равно 0

Pdx + Qdy + Rdz = 0 ( 13 )

2) если его подынтегральное выражение является полным дифференциалом функции трех переменных U(x,y,z)

Pdx + Qdy + Rdz = dU ( 14 )

3) если выполняются следующие равенства для частных производных от подынтегральных функций

= , = , = ( 15 )

Доказательства :

1) Пусть условие ( 13 ) выполняется и даны контуры (L1) , (L2) , соединяющие точки А и В. Построим замкнутый контур (L) , идущий из А в В по (L1) и из В в А по (L2) , причем, (L2) проходим в обратном направлении. Тогда, 0 = = - , т.е. =


2) Пусть условие ( 14 ) выполняется, тогда

Pdx + Qdy + Rdz = dU = Ut`(x(t),y(t),z(t)) dt =

= U(t2) – U(t1) = U(B) – U(A) ( 16 )

т.е. значение интеграла зависит только от координат точек А и В.

3) Из определения полного дифференциала dU = dx + dy + dz и формулы (14 ) следует, что функции P, Q, R являются частными производными U

P =, Q = , R =

Из равенства смешанных производных = и т.д. следует ( 15 ).


Угадать явный вид первообразной функции U(x,y,z) удается не всегда. Для её нахождения можно использовать следующую процедуру.

Крайние точки контура интегрирования A(x0,y0,z0) и B(x,y,z) соединим последовательностью трех прямых, каждая из которых || одной из осей координат. Такой выбор контура предельно упростит интеграл J ( 11 ). Он превратится в сумму трех обычных определенных интегралов и будет равен U(x,y,z) – U(x0,y0,z0) согласно ( 16 ).

Прямая A(x0,y0,z0)C(x,y0,z0) : y , z - const , dy = dz = 0 , J JAC =

Прямая C(x,y0,z0)D(x,y,z0) : x , z - const , dx = dz = 0 , J JCD =

Прямая D(x,y,z0)B(x,y,z) : y , x - const , dy = dx = 0 , J JDB =

В результате получаем JAB = JAC + JCD + JDB = U(x,y,z) – U(x0,y0,z0) или формулу для вычисления первообразной функции

U(x,y,z) = + + + const ( 17 )


Пр. Найти первообразную U(x,y,z) , если dU = (x2 – yz) dx + (y2 – xz) dy + (z2 – xy) dz

Решение. Функции P, Q, R непрерывны в пространстве R3. Выберем A(x0,y0,z0) = O(0,0,0) и по формуле ( 17 ) находим

U(x,y,z) = + + + С =

= (x3 + y3 + z3) /3 - xyz + C

Проверка : dU = (x2 – yz) dx + (y2 – xz) dy + (z2 – xy) dz


Формула Грина.

Рассмотрим интеграл 2-ого рода по замкнутому контуру L на плоскости
^

J = P(x,y) dx + Q(x,y) dy ( 18 )


Покажем, что интеграл ( 8 ) можно свести к двойному интегралу по области D , ограниченной контуром L. Во многих случаях такая замена может существенно упростить решение задачи.

Даны область D правильная в направлении оси Оу a < x <b , y1(x) < y < y2(x) и функции P(x,y) , P(x,y) / y непрерывные в этой области. Вычислим двойной интеграл

J = = ( 19 )


Его внутренний интеграл Jв является интегралом от дифференциала и легко вычисляется

Jв = = = P(x,y2(x)) - P(x,y1(x))

В результате J распадается на сумму двух интегралов

J = P(x,y2(x)) dx - P(x,y1(x)) dx = P(x,y) dx - P(x,y) dx =

= - P(x,y) dx - P(x,y) dx

которые соответствуют криволинейному интегралу от функции P(x,y) вдоль кривых AB и MN. Значение этого интеграла вдоль прямых BM, NA Pdx = Pdx = 0 , т.к. dx = 0 в этом случае. Поэтому справедливо равенство

J = - Pdx - Pdx - Pdx - Pdx = - Pdx


т.е. двойной интеграл J ( 10 ) по области D равен криволинейному интегралу по замкнутому контуру, ограничивающему эту область. Направление обхода положительное.

= - P(x,y)dx ( 20 )

Т.к. произвольную область D всегда можно представить в виде суммы правильных областей, то равенство ( 12 ) справедливо для D произвольной конфигурации.

Для области D правильной в направлении оси Ох и функций Q(x,y) , Q/x непрерывных в D получается равенство аналогичное ( 20 )

= Q(x,y)dx ( 21 )

Объединим ( 20 ) и ( 21 ) и получим формулу Грина

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = ( 22 )


Пр. Вычислить интеграл J = -x2y dx + xy2 dy , где L : x2 + y2 = R2 , с помощью формулы Грина. Решение.

P = - x2y , P/y = - x2 ,

Q = xy2 , Q/x = y2 , Q/x - P/y = y2 + x2

J = (y2 + x2) dxdy = {x = r cos , y = r sin } = = 2R4/4


Вычисление площадей.

Пусть Q = x/2 , P = - y/2 , тогда Q/x = ½ , P/y - ½

= dxdy = S(D)

или площадь области D , ограниченная контуром L равна


S(D) = ½ x dy - y dx ( 23 )


Условие выполнения равенства P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 сразу следует из ( 22 ):

Q/x = P/y


Устные экзаменационные вопросы

по теме: «Криволинейные интегралы»


  1. Определение аддитивной величины;

  2. Алгоритм метода интегральной суммы;

  3. Общее опр. интегральной суммы;

  4. Опр. криволинейного интеграла 1-ого рода. Решение какой задачи привело к его появлению;

  5. Написать формулы для вычисления криволинейного интеграла 1-ого рода;

  6. Перечислить основные свойства криволинейного интеграла 1-ого рода. Почему?;

  7. Опр. криволинейного интеграла 2-ого рода;

  8. Записать криволинейный интеграл 2-ого рода в общем виде;

  9. Как влияет на криволинейный интеграл 2-ого рода изменение направления пути интегрирования. Почему ? ;

  10. Написать формулы для вычисления криволинейного интеграла 2-ого рода;

  11. Опр. векторного поля;

  12. Механический смысл криволинейного интеграла 1-ого рода . Почему ?;

  13. Перечислить условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования;

  14. Написать и объяснить общую формулу для вычисления первообразной криволинейного интеграла;

  15. Написать формулу Грина, объяснить ее смысл;

  16. Написать формулу вычисления площади через криволинейный интеграл;



Скачать файл (1021.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru