Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

ВМ 3 семестр - файл Практ.теории поля.doc


Загрузка...
ВМ 3 семестр
скачать (1021.5 kb.)

Доступные файлы (10):

лВекторный анализ 1.doc389kb.16.01.2011 21:15скачать
лВекторный анализ 2.doc613kb.16.01.2011 21:16скачать
лКратные интегралы.doc354kb.16.01.2011 21:35скачать
лРяды.doc469kb.16.01.2011 21:35скачать
лУравнения матфизики.doc682kb.16.01.2011 21:35скачать
практика 2 интеграл.doc322kb.16.01.2011 21:36скачать
практика 3 интеграл.doc318kb.16.01.2011 21:36скачать
практика крив ин-л.doc352kb.16.01.2011 21:37скачать
практика по УМФ.doc233kb.16.01.2011 21:37скачать
Практ.теории поля.doc601kb.16.01.2011 21:34скачать

Практ.теории поля.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Кафедра «Высшей Математики»


ПРАКТИКУМ

по теме «Элементы теории поля»


Площадь гладкой поверхности.

Гладкую поверхность G описывает уравнение z = f(x,y). Она имеет верхнюю, нижнюю стороны и границы. Ее проекция на плоскость хОу занимает область D, а нормальный вектор касательной плоскости к любой точке поверхности имеет вид

( 1 )

где и знак вектора зависит от выбора стороны поверхности. Если выбрать , то угол - острый и сторона поверхности будет верхней.

Опр. Площадью криволинейной поверхности наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения поверхности на малые участки и проектирования их на касательные плоскости, проведенные к каждому элементу поверхности

( 2 )

Для вычисления интеграла проекцию элемента поверхности на касательную плоскость еще раз проектируют на координатную плоскость xOy . Отношение площадей этих поверхностей равно косинусу угла между ними Di /Si = сos, т.е. углу между i и Oz. Если вторая проекция - прямоугольник, то его площадь

Di =xiyi . Тогда xiyi = сos dxdy = cosdS или dS = dxdy.

( 3 )

^ Опр. Поверхностным интегралом 1-ого рода от функции f(x,y,z) по поверхности z =z(x,y) наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения поверхности на малые участки и проектирования их на касательные плоскости.

Такая интегральная сумма отличается от ( 2 ) дополнительным множителем f(Mi) перед каждым и

( 4 )

Замена переменной z на z(x,y) дает переход к значениям функции на самой поверхности.


Пример 1. Вычислить J = , где G: x + y + z = 1 , x 0, y0, z0

Решение. z = 1 – x – y, = -1, = -1,=

D: x + y = 1, x = 0, y = 0 ; Точки пересечения (0;0), (1;0), (0;1)

Выберем коридор || Оу , его ширина 0 x 1 ,

а движение по коридору от y = 0 до y = 1 - x.

D: 0 x 1 , 0 y 1 - x

J = xy(1 – x – y) dxdy = xy(1 – x – y)dy ,

J1 = xy(1 – x – y)dy = x(1 – x)3/6 , J = /6 x(1 – x)3 dx = /120 .

Поверхностные интегралы 2 рода.

Пусть через замкнутую поверхность проходит поток жидкости или тепла. Входящий и выходящий потоки дают взаимоисключающий результат и поэтому их надо различать. Различать их можно по знаку cos, где - угол между нормальным вектором внешней стороны замкнутой поверхности и направляющим вектором потока. Для выходящего

потока - острый угол и cos>0 , для входящего потока - тупой угол и cos<0 . Для описания потоков используют специальные поверхностные интегралы, которые учитывают направление потоков через поверхность.

^ Опр. Поверхностным интегралом 2-ого рода для функции f(x,y,z) по двухсторонней ориентированной поверхности G наз. конечный предел интегральной суммы, полученной путем разбиения G на малые участки и проектирования их сразу на координатные плоскости

J = = ( 5 )

Множитель означает, что вклады от разных участков G берутся с разными знаками.

Так как элемент поверхности dS и его проекции пропорциональны dxdy = cosdS, то от интеграла 2 рода легко перейти к интегралу 1 рода

= ( 6 )

в который входит cos . Знак cos для элемента поверхности и определит знак вклада этого элемента в интегральную сумму ( 5 ). Появление членов с разными знаками происходит только при рассмотрении цилиндрических и замкнутых поверхностей.

При проектировании ^ G на плоскости xOz, yOz получаем аналогичные интегралы и строим обобщенный поверхностный интеграл 2 рода с учетом трех различных функций

=

= ( 7 )

который распространяется на определенную заранее сторону двухсторонней поверхности.

Для гладкой поверхности z = z(x,y) у членов интегральной суммы ( 5 ) одинаковый знак и вычисление интеграла ( 5 ) сводится к вычислению обычного двойного интеграла

J = = ( 8 )

Замена z на z(x,y) дает переход к значениям функции на самой поверхности.


Пример 2. Вычислить J = , где G: x2 + y2 + z2 = R2 , z 0, внешняя сторона.

Решение. Внешняя сторона нижней полусферы

z = -имеет знак «-» перед J.

D: x2 + y2 R2, J = (-1)= =

= {x = r cos, y = r sin} = = 9/420


Скалярное поле

Опр. Скалярным полем (с.п.) наз. совокупность двух множеств: множества точек пространства M и множества чисел соответствующих этим точкам, которые определяются функцией U(M). Функция U(M) наз. функцией поля.

Точки поля с одинаковыми значениями функции образуют линии уровня на плоскости U(M) = U(x,y) =C и поверхности уровня в пространстве U(M) = U(x,y,z) = C.

Опр. Производной скалярного поля U(x,y,z) в точке M(x,y,z) по направлению = {cos, cos, cos}, наз. предел отношения приращения функции к пройденному пути по направлению , который приводит к формуле

U/ = (U/x) cos + (U/y) cos + (U/z) cos ( 9 )


Пример 3. Вычислить производную с.п. U(M) = x2y – x z3 + 1 в точке М(1;-2;1) в направлении = 2i – 4j + k .

Решение.U/x|M = (2xy – z3)|M = - 5,U/y|M = x2|M = 1,U/z|M = -3xz2|M = -3,

|| = , cos = x/|| = 2/ , cos = y/|| = -4/, cos = z/|| = 1/,

U/ = -5 2/ + 1 (-4)/ -3 1/ = -17/

Ответ: В окрестности точки ^ М в направлении вектора а функция U(M) изменяется в 17/ раз быстрее, чем аргумент, и при этом уменьшается.


^ Градиентом скалярного поля U(x,y,z)

наз. вектор grad U = i + j + k ( 10 )

который определяет направление наибольшего изменения с.п. в точке ^ М и его модуль равен скорости этого изменения. Вектор grad U является нормальным вектором к поверхности уровня U(x,y,z) = C , проходящей через точку М .

Производная с.п. по направлению равна скалярному произведению градиента поля и вектора направления, т.е. является проекцией градиента на выбранное направление

U/ = grad U = |grad U|l ( 11 )


Пример 4.Дано с.п.U(M) = xy2 + z2. Найти наибольшее значение U/в т.M(2;1;-1)

Решение: grad U|M = (y2 i + 2xy j + 2z k )|M = i + 4j – 2k,

U/|наиб = |grad U|M = =

Задачи для самостоятельного решения

Найти grad u и в направлении :

1) = - i + 4 j + 2 k, если u = sin2(2yz – 3x); 2) = 2i + 4 j - 5 k, если u = ctg2(2x2 – 9yz)

3) = i + 3 j + 2 k, если u = ln tg (2xy – z); 4) = -2i + 4 j + k, если u = ln sin (yx + 9z2)


Векторные поля

Опр. Векторным полем (в.п.) наз. совокупность двух множеств: множество точек пространства М и множество векторов, каждый из которых соотнесен к определенной точке. Вектора определяются векторной функцией = (M) = (x,y,z) = () , которая наз. функцией векторного поля.

В координатной форме (M) = P(x,y,z) i +Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k. Компоненты P, Q, R образуют три скалярных поля и однозначно определяют () - векторную функцию от векторного аргумента.

Опр. Векторными линиями поля наз. кривые, касательные к которым в каждой точке М совпадают с (M).

При перемещении из точки М вдоль векторной линии дифференциал радиус-вектора точки т.е. , будет определять направление касательной и, следовательно, будет коллинеарен вектору F(M). Условие коллинеарности двух

векторов = (M) приводит к трем равенствам для координат и после исключения к системе двух дифференциальных уравнений

( 12 )

решение которых и определит уравнения векторных линий.


Пример 5. Найти векторные линии в.п. (M) = x i – y j – 2 k .

{ ; }

Интегрирование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными дает :

1 уравнение : ln x = - ln y + ln C1 ln(xy) = ln C1 xy = C1гиперболический цилиндр

2 уравнение : ln y = ½ lnz + ln C2 ln y2/z = ln C2 y2 = zC2параболический цилиндр

Векторными линиями являются линии пересечения этих поверхностей. Для каждой точки ^ М существует свой набор констант С1, С2 .


Поток векторного поля через поверхность.

Пусть даны в.п. (M) = {P, Q, R} и двухсторонняя ориентированная поверхность G с нормальным вектором (M) = { }. Выберем на G бесконечно малую площадку S. Считаем, что во всех ее точках векторы , имеют постоянное значение. Тогда скалярное произведение этих векторов и площади S наз. потоком вектора через бесконечно малую площадку.

П = () S = || cos(^) S = ||nS ( 13 )


Пусть - векторное поле скоростей потока жидкости. Тогда ^ П это объем жидкости, протекающей через S за единицу времени в направлении внешней нормали к S, т.к. ||n - высота бруса жидкости, S - его основание. Если угол между векторами тупой и cos(^) < 0, то направления нормали и потока жидкости противоположны.

Запишем поток в координатной форме П = ()S, тогда S, S, S - проекции площадки на координатные плоскости yOz, xOz, xOy, а сам поток распадается на три составляющих потока направленных вдоль координатных осей.

Сумма по малым площадкам на G приводит к интегральной сумме П(m)=Пi, предел которой при m совпадает с поверхностным интегралом 2-ого рода ( 7 )

ПG = = ( 14 )

^ Опр. Потоком векторного поля (M) через произвольную поверхность G наз. поверхностный интеграл 1 рода от скалярного произведения вектора поля и нормального вектора поверхности или поверхностный интеграл 2-ого рода.

Если поток жидкости проходит через замкнутую поверхность, то входящие и выходящие части потока в интеграле учитываются с противоположными знаками, т.к. они по разному ориентированы относительно внешней стороны поверхности.

^ Гидродинамический смысл поверхностного интеграла 2 рода - разность между количествами жидкости вошедшими и вышедшими из замкнутой поверхности в единицу

времени.

В общем случае поток векторного поля по замкнутой поверхности ^ G можно отнести к единице объема - ПG / V , где V – объем ограниченный G , затем перейти к пределу V 0 и определить мощность потока из отдельной точки. Это позволяет сделать формула Остроградского – Гаусса

( 15 )

которая заменяет интеграл по внешней стороне поверхности ограничивающей тело на интеграл по объему этого тела.

^ Опр. Дивергенцией (расходимостью) векторного поля (M) в точке М наз. предел отношения потока по замкнутой поверхности G к объему ограниченному этой поверхностью при стягивании замкнутой поверхности G в точку М

= div (M) ( 16 )

Знак div определяет наличие источника (+) или стока (-) в точке М, а сама дивергенция их «мощность». Дивергенция вычисляется для всех точек векторного поля и образуют скалярное поле. Теорема о среднем для тройного интеграла в ( 15 ), ( 16 ) приводит к формуле

div (M) = P’x(M) + Q’y(M) + R’z(M) ( 17 )

т.е. дивергенция равна сумме частных производных от компонент векторного поля по соответствующим координатам.

Теперь формулу Остроградского – Гаусса можно переписать в векторной форме

( 18 )

т.е. интеграл от дивергенции векторного поля по объему равен потоку вектора через поверхность, ограничивающую данный объем. Сумма «мощностей» всех точечных «источников» и «стоков» дает общий результат, т.е. поток поля через поверхность.

Пример 6. Записать формулы Остроградского-Гаусса в векторной и координатной форме для векторного поля (M) = { -yz; -xz; yz}.

Решение. Т.к. div (M) = 0 + 0 + y , то

- векторная форма ,

- координатная форма

Пример 7. Найти поток векторного поля (M) = { x; y+2yz; -z2} через внешнюю сторону замкнутой поверхности G: x2+y2+z2 = 42, z = 0 ;

Решение. Вычислим поток через дивергенцию векторного поля.

div (M) = P’x(M) + Q’y(M) + R’z(M) = 1 + 1 + 2z – 2z = 2,

ПG == = {x = r sincos, y = sinsin, z = r cos} =

= 2 = 64 ( Переход к сферической системе координат.)

Пример 8. Найти поток векторного поля (M) = { xy; -3y; 3z} через внешнюю сторону замкнутой поверхности G: z = x2 + y2 , z = 4

Решение. Вычислим поток через дивергенцию векторного поля.

div (M) = P’x(M) + Q’y(M) + R’z(M) = y - 3 + 3 = y ,

ПG ==

z = x2 + y2 (степени 1,2 ) параболоид вращения (низ)

z = 4 (степени 1, нет x,y) плоскость || хОу (верх)

ПG = y dx dy dz = dxdyydz , J1 = ydz = y(4 - x2 - y2) ,

D: x2 + y2 = 4, ПG = {x = r cos, y = r sin} = = 0

Пример 9. Найти поток векторного поля (M) = { 3x; 4y2; -3z} через внешнюю сторону замкнутой поверхности G: x + y + z = 4 , x = 0 , y = 0 , z = 0.

Решение. Вычислим поток через дивергенцию векторного поля.

div (M) = P’x(M) + Q’y(M) + R’z(M) =3 + 8y – 3 = 8y ,

ПG ==

z = 4 – x – y (степени 1) плоскость (верх)

x = 0 , y = 0 , z = 0 плоскости координатные

ПG = 8y dx dy dz = dxdyydz , J1 = у dz = y(4 – x – y),

D: x + y = 4, x = 0, y = 0

Точки пересечения линий

(0;0) , (4;0) , (0;4)

Построение рис. области D.

Выберем коридор || Оy, его ширина 0 x 4,

а движение по коридору от у = 0 до y = 4 - x D: 0 x 4, 0 y 4 - x

ПG = , J2 == (4 - x)3/6,

ПG = 1/6 = - 256/3

Задачи для самостоятельного решения

1) Найти поток векторного поля (M) = { 0; 0; z} через внешнюю сторону замкнутой поверхности G: z = y + 2, z = 0, x = 0, y = 2, если угол n^Oz острый

2) Найти поток векторного поля (M) = { x; y; z} через внешнюю сторону замкнутой поверхности G: x2 + y2 = 4 – z , z = 0 , (z>0).

3) Найти поток векторного поля (M) = { 0; 0; -z} через внешнюю сторону замкнутой поверхности G: z = y, z = 0, x = 0, y = 0 , x + y = 2 , если угол n^Oz тупой.

4) Найти поток векторного поля (M) = { x; y; z} через внешнюю сторону замкнутой поверхности G: x2 + y2 = R2 , z = 4 , (z>0).


Ротор (вихрь) векторного поля.

Опр. Циркуляцией векторного поля. (M) = {P, Q, R} вдоль замкнутой кривой L наз. криволинейный интеграл от скалярного произведения вектора поля и дифференциала радиус-вектора перемещающегося вдоль кривой

Ц L = = ( 19 )

Физический смысл циркуляции - работа по перемещению тела в поле переменных сил по произвольной замкнутой траектории, т.к. работа есть скалярное произведения вектора силы и вектора смещения.

Пример 10. Найти циркуляцию векторного поля = yi – x j + z k вдоль окружности

x = r cos t , y = r sin t , z = 1 в положительном направлении, т.е. 0 < t < 2

Решение : Ц = = {dx = -r sin t ; dy = r cos t ; dz = 0} =

= = - r2 = -2r2

Отношение циркуляции к площади круга S = r2 постоянно Ц /S = -2, даже при r.

Из этого следует, что циркуляция в самой точке начала координат равна -2 .

Соединим две точки контура L дополнительной линией, которая разделит его на два контура L1, L2 . Тогда циркуляцию вдоль L можно представить как сумму циркуляций вдоль малых контуров при одинаковом направлении прохождения. т.к. общую границу проходим

дважды в противоположных направлениях. Т.о., циркуляция по контуру ^ L может быть представлена как сумма циркуляций по малым контурам, полученным путем наложения сетки линий на контур L. В пределе малым участком может оказаться отдельная точка. Тогда циркуляция по контуру сведется к сумме циркуляций вокруг всех точек охваченных контуром L. Такой переход к точкам позволяет сделать формула Стокса

= ( 20 )

которая сводит криволинейный интеграл по контуру ^ L на произвольной гладкой поверхности к поверхностному интегралу по область G ограниченной контуром L.

Перейдем в (19) к поверхностному интегралу 1 рода: ЦL ==

= ( 21 )

Выражение в квадратных скобках можно представить как скалярное произведение двух векторов : вектора = { } и вектора

rot (R’y – Q’z) i + (P’z – R’x) j + (Q’x - P’y) k ( 22 )

который наз. ротором (вихрем) векторного поля (M) = {P, Q, R}. В результате формула Стокса принимает следующую векторную форму

= ( 23 )

т.е. циркуляция векторного поля вдоль контура некоторой поверхности равна потоку вихря поля через эту поверхность.

Если в ( 23 ) размер G достаточно мал и вектора rot и почти не меняются в пределах G, то можно применить теорему о среднем и заменить (rot) его значением в отдельной точке M*. Тогда интеграл по G даст площадь поверхности S и ( 23 ) примет вид

(rot )|M* = 1/S или |rot | cos = 1/S ( 24 )

т.е. ротор характеризует величину циркуляции, приходящуюся на единицу площади поверхности охваченную контуром L. При = 0 циркуляция max. В (24), если S0, то M*M и ротор будет характеризовать циркуляцию вокруг отдельно взятой точки.

Опр. Ротором векторного поля(M) наз. вспомогательное векторное поле rot(M), вектора которого в каждой точке М определяют ориентацию плоскости, в которой эта циркуляция максимальна, а их модули |rot(M)| дают значение этой циркуляции.

Ротор векторного поля (M) = {P, Q, R} удобно записывать в виде оператора

rot (M) = x (M) = ( 25 )

Физический смысл формулы Остроградского-Гаусса – циркуляция по произвольному замкнутому контуру в пространстве складывается из суммы циркуляций всех точек любой поверхности натянутой на этот контур.

Простейшие векторные поля : а) Трубчатое или соленоидальное векторное поле, если div = 0 ; б) Потенциальное или безвихревое векторное поле, если rot = 0 ; в) Гармоническое векторное поле , если div = 0 , rot = 0 .

Пример 11.Вычислить циркуляцию векторного поля ={x + y2- z; 2x2– 2y2; zxy -1} вдоль контура АВСА, если АВС – треугольник с вершинами А( 2,0,0), В(0,2,0), С(0,0,1)

Решение.

Ц L = =

L = AB + BC + CA

AB: z = 0 , dz = 0 , y + x = 2 , dy = - dx , 2x 0

BC: x = 0 , dx = 0 , y + 2z = 2 , dy = - 2dz , 0z 1

CA: y = 0 , dy = 0 , x + 2z = 2 , dx = - 2dz , 1z 0

JAB = = (x3/3 – 11x2/2 + 12x |20 = - 26/3

JBC = = [4/3(2 – 2z)3 – z]|01 = 13/3

JCA = = [6z2/2 – 5z]|01 = 2

Ответ : Ц L = JAB + JBC + JCA = - 8/3


Пример 12. Вычислить вдоль замкнутого контура L: x2 + y2 = 2x циркуляцию плоского векторного поля = { ; }

Решение. Вычислим циркуляцию по формуле Грина

Ц L =

= ()|x` - ()y` = - 6y

D: x2 + y2 = 2x x2 – 2x + 1 + y2 = 1 (x – 1)2 + y2 = 1

Окружность с центром (1;0), R = 1.

J = { x = r cos, y = r sin } - переход к полярной

системе координат и построение полярного уравнения

x2 + y2 = 2x r2cos2 + r2sin2 = 2r cos r = 2 cos

Пределы изменения угла находим из значения r в начале координат

r = 2 cos  = 0  = /2 , - /2 /2 ,

Ц L = -6. J1 = = r3/3 = 8/3 cos3 ,

Ц L = - 16 = 4 cos4 = 0


Задачи для самостоятельного решения

1) Дано векторное поле (M) = { xz; yz; xy}. Найти div, rot. Опр. тип поля.

Записать формулы Остроградского-Гаусса и Стокса в векторной и координатной форме.

2) Найти циркуляцию векторного поля (M) = { y;-x;z} вдоль окружности x = Rcos t,

y = Rsin t, z = 1 , ()

3) Найти дивергенцию градиента функции u = ex + y + z

4) Показать, что V = 1/3 для тела произвольной формы.

5) Показать, что rot(grad u) = 0, т.е. вихрь градиента любого скаляра равен нулю.

6) Найти циркуляцию вектора (M) = -yi + xj по окружности x2 + (y – 1)2 = 1 .

7) Вычислить вдоль замкнутого контура L: x2 + y2 = 4y циркуляцию плоского векторного поля = { ; } .


Скачать файл (1021.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru