Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

ВМ 3 семестр - файл лВекторный анализ 2.doc


Загрузка...
ВМ 3 семестр
скачать (1021.5 kb.)

Доступные файлы (10):

лВекторный анализ 1.doc389kb.16.01.2011 21:15скачать
лВекторный анализ 2.doc613kb.16.01.2011 21:16скачать
лКратные интегралы.doc354kb.16.01.2011 21:35скачать
лРяды.doc469kb.16.01.2011 21:35скачать
лУравнения матфизики.doc682kb.16.01.2011 21:35скачать
практика 2 интеграл.doc322kb.16.01.2011 21:36скачать
практика 3 интеграл.doc318kb.16.01.2011 21:36скачать
практика крив ин-л.doc352kb.16.01.2011 21:37скачать
практика по УМФ.doc233kb.16.01.2011 21:37скачать
Практ.теории поля.doc601kb.16.01.2011 21:34скачать

лВекторный анализ 2.doc

  1   2   3
Реклама MarketGid:
Загрузка...
Кафедра «Высшей математики»


Опорные конспекты лекций.

Тема : Векторный анализ.

Поверхностные интегралы. Теория поля.



Элементы дифференциальной геометрии.

Пусть некоторая линия L в пространстве задана векторным уравнением r = r(t) = = x(t) i + y(t) j + z(t) k , t1 < t < t2 .

Приращение радиус-вектора r = r(t+t) – r(t) определяет прямую проходящую через 2 точки L , которая при t0 превращается в касательную. Направление касательной в каждой точке кривой ^ L задает производная dr/dt = x`t i + y`t i + z`t k = {x`t; y`t; z`t} = S(t).

Опр. Касательной плоскостью к поверхности, заданной уравнением F(x,y,z) = 0 , в точке М0 , наз. плоскость, в которой расположены касательные ко всем линиям, лежащим на поверхности и проходящим через М0 .

Пусть L проходит по поверхности F(x,y,z) = 0 через точку M0 .Тогда для всех точек кривой справедливо равенство F(x(t), y(t), z(t)) = 0. Т.к. производная от константы равна нулю, то



Это выражение можно переписать как скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов : N S = 0 , где S – направляющий вектор касательной к L и

N ={} ( 1 )

Поскольку N S для любой линии, проходящей по поверхности через М0 ,то по определению, N ( 1 ) является нормальным вектором касательной плоскости к поверхности F(x,y,z) = 0 в произвольной точке М0. Касательная плоскость в т. М0 существует, если координаты N непрерывны в ее окрестности и одновременно не равны 0.

Если уравнение поверхности ^ G имеет явный вид z = f(x,y) и не содержит особых точек, то такая поверхность наз. гладкой поверхностью. У такой поверхности можно различать верхнюю и нижнюю стороны, а также границу. Если поверхность ограничивает тело, то она имеет внутреннюю и внешнюю стороны.


Из уравнения f(x,y) – z = 0 определим координаты N и его направляющие косинусы

( 2 )

где и знак вектора зависит от выбора стороны поверхности. Если выбрать , то угол - острый и сторона поверхности будет верхней.

При перемещении по поверхности положение касательной плоскости и ее вектора n непрерывно изменяется. Если по произвольному контуру L на поверхности G выйти из точки М, вернуться в нее и при этом направление вектора n не изменится на противоположное, то такая поверхность наз. двухсторонней. Лист Мебиуса пример односторонней поверхности.

^ Площадь гладкой поверхности.

Понятие площади определено только для геометрических фигур на плоскости. Это количество квадратиков стандартного размера, которые умещаются на фигуре. Определение площади кривых поверхностей требует специального подхода и решается методом интегральной суммы.

Имеем гладкую поверхность ^ G. Ее проекция на плоскость хОу занимает область D . 1) Разделим поверхность G сеткой линий на m участков G1, G2, . . . , Gm . 2) На каждом Gi выделим точку Мi , проведем через Мi касательную плоскость к G и спроектируем на нее точки участка Gi . В результате получим плоскую фигуру Gi* с площадью Si и вся гладкая поверхность покроется «многогранником». 3) Общую площадь «многогранника» определяет интегральная сумма . 4) Переход к

пределу m дает точное значение для площади криволинейной поверхности G

( 3 )

Опр. Площадью криволинейной поверхности наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения поверхности на малые участки и проектирования их на касательные плоскости.

Для вычисления интеграла по площади ( 3 ) совершим переход к двойному интегралу с помощью второго проектирования. Каждый плоский многоугольник Gi* имеет свой нормальный вектор ni и может быть спроектирован на плоскость хОу.Отношение площадей любого многоугольника и его проекции равно косинусу угла между ними, т.е.Di /Si =сos , т.к. линейный угол между плоскостями Gi* и Di равен углу между ni и Oz.

{ Пример. Сравним площади ABC и его проекции ABE. , }. Пусть Di имеет форму прямоугольника, тогда Di = xiyi , Si = xiyi / сos = xiyi и интегрирование по площади кривой поверхности заменяется на интегрирование по площади ее проекции, т.к. элементы площади заменяются на элементы dxdy

( 4 )


Пр. Найти площадь поверхности z = x y, лежащей над кругом x2 + y2 < R2 .

Решение : т.к., то




^ Задача о массе поверхности.

Пусть на гладкой поверхности z = z(x,y) распределена масса с поверхностной плотностью = f(x,y,z). Найти массу всей поверхности.

Задачу решаем методом интегральной суммы аналогично предыдущей задаче. Отличие заключается только в том, что в интегральной сумме ( 3 ) каждое Si дополнительно умножаем на плотность, которую считаем постоянной и равной = f(Mi)

( 5 )

Опр. Поверхностным интегралом 1-ого рода от функции f(x,y,z) по поверхности z =z(x,y) наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения поверхности на малые участки и проектирования их на касательные плоскости.

Для вычисления интеграла элемент поверхности dS выразим через его проекцию на плоскость хОу : , и в функции f(x,y,z) переменную z заменим на z(x,y) , т.е. перейдем к значениям функции на самой поверхности.

( 6 )


Пр. Вычислить массу части параболоида z = 1 – x2 – y2 , отсеченной плоскостью z = 0, если поверхностная плотность .

Т.к. p = -2x , q = -2y , D : x2 + y2 <1 , {x = r cos , y = r sin} , то

m =


Если поверхность задается в параметрической форме: x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), где точка (u;v) пробегает некоторую область H на плоскости uOv , то интеграл вычисляется по формуле

( 7 )

где , , ( 8 )

Здесь переход от элемента поверхности dS к его проекции на параметрическую плоскость определяется формулой .


Пр. Рассмотрим сферу радиуса r. В сферической системе координат x = r sincos , y = sinsin , z = r cos . Параметрическая область H образует прямоугольник для u = , v =: 0 < < , 0 < < 2. Вычисление параметров ( 8 ) дает : E = r2 , P = r2 sin2 , F = 0 , = r2 sin . Т.о. интеграл по сфере произвольного радиуса от произвольной функции f(x,y,z) имеет вид

( 9 )

Пр. Найти площадь сферы радиуса r.

Пр. Найти массу поверхности сферы, если плотность в точке равна : (а) расстоянию от точки до вертикали ; (б) квадрату этого расстояния.

а) Плотность равна = r sin и

б) Плотность равна = (r sin)2 и

Пр. Рассмотрим цилиндрическую поверхность x2 + y2 = a2, 0 < z < h Параметрическое представление x = a cos, y = a sin, z = z

Область H для переменных u = , v = z является прямоугольником 0 < < 2 , 0 < z < h , = a .

^ Поверхностные интегралы 2 рода.

Пусть через замкнутую поверхность проходит поток жидкости или тепла. Входящий и выходящий потоки дают взаимоисключающий результат и поэтому их надо различать. Различать их можно по знаку cos, где - угол между нормальным вектором внешней стороны замкнутой поверхности и направляющим вектором потока. Для выходящего

потока - острый угол и cos>0 , для входящего потока - тупой угол и cos<0 . Для описания потоков используют специальные поверхностные интегралы, которые учитывают направление потоков через поверхность.


Определение.

Пусть дана гладкая двухсторонняя поверхность G - z = z(x,y) . Её проекция на плоскость xOy занимает область ^ D и ограничена замкнутым контуром L .

Выберем сторону поверхности G с нормальным вектором n и проведем на ней произвольный замкнутый контур. Обход контура можно совершить двумя способами против или по часовой стрелке при взгляде с конца n. Направление против часовой стрелки выбираем за положительное. Пусть на G определена функция f(x,y,z).

  1. Сеткой линий разделим G на m участков G1, G2, . . . ,Gm , которые имеют на плоскости хОу проекции D1, D2, . . . Dm. Нормальным вектором плоскости хОу служит ось Оz.

  2. В каждом Gi выберем точку Mi , определим в ней значение функции f(Mi) и нормальный вектор ni = {} , который пересекается с ось Oz под углом .

3)Составим интегральную сумму П(m) = ( 10 )


Множитель означает, что вклады от разных участков берутся с разными знаками. Если при положительном обходе контура элемента Gi обход его проекции Di также положителен, то знак (+), иначе (-). Совпадение направлений обхода означает, что угол между Oz и n острый и cos > 0 и выбранная поверхность является верхней. Из несовпадения следует - угол тупой, cos< 0. Появление членов с разными знаками происходит только при рассмотрении цилиндрических и замкнутых поверхностей. Считаем, что проекции Gi имеют форму прямоугольника Di = .

Опр. Поверхностным интегралом 2-ого рода для функции f(x,y,z) по двухсторонней ориентированной поверхности G наз. конечный предел интегральной суммы, полученной путем разбиения G на малые участки и проектирования их на координатные плоскости.

J = = ( 11 )


Символ dxdy показывает, что суммирование проводится по площади проекции элемента поверхности G на плоскость xOy. При замене выбранной стороны G на противоположную интеграл ( 11 ) меняет знак. Если проектировать элементы поверхности G на плоскости xOz, yOz , то получим аналогичные интегралы , и построим обобщенный поверхностный интеграл 2 рода с учетом трех различных функций

, ( 12 )


который распространяется на определенную заранее сторону двухсторонней поверхности.

^ Вычисление интегралов.

Если G задана явным уравнением z = z(x,y) и точки (х,у) образуют замкнутую область D , где сама функция и ее производные , непрерывны, то все члены интегральной суммы ( 10 ) имеют одинаковый знак и вычисление интеграла ( 11 ) сводится к вычислению обычного двойного интеграла

J = = ( 13 )


Необходимо только заранее определить острый или тупой угол с осью Oz образуют нормальные вектора n выбранной стороны поверхности. Если угол тупой, то у интеграла меняют знак. Если поверхность G замкнута, то она разделяется на несколько кусочно- ориентированных поверхностей. Границами раздела служат линии на которых направляющие косинусы равны 0.

Пр. Вычислить интеграл , где G – внешняя сторона куба, составленного плоскостями x = 0, y = 0, z = 0, x = 1, y = 1, z = 1.

Решение: J = J1(z=0) + J2(y=0) + J3(x=0) + J4(z=1) + J5(y=1) + J6(x=1)

G1: z = 0dz = 0,n1 Oz =>/2(-), J1 = (-)(0+0+) = 0 Аналогично J2 = J3 = 0 . G4 : z = 1 dz = 0, n4 Oz = 0 </2(+),

J4 = (+)(0 + 0 +) = 1 – площадь единичного квадрата.

Аналогично J5 = J6 = 1 . Окончательно J = 3 .


Поскольку площадь элемента поверхности dS связана с площадью его проекции на координатную плоскость простым соотношением

dS = dxdy = или dxdy = cosdS

то от поверхностного интеграла 2 рода легко перейти к поверхностному интегралу 1 рода

= ( 14 )


Отличие между ними только в присутствии или отсутствии направляющего косинуса нормального вектора поверхности. Для обобщенного интеграла имеем

= = ( 15 )


если функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) понимать как координаты вектора = {P;Q;R} .


^ Применение поверхностных интегралов.

Так как поверхностные интегралы 1 и 2 рода сводятся к обычным двойным интегралам, то различные задачи, которые приводят к вычислению двойных интегралов, могут быть представлены через поверхностные интегралы. Рассмотрим несколько таких примеров.

а) ^ Вычисление объема.

Пусть подынтегральная функция в ( 4 ) не зависит от z , тогда она определяет некоторую поверхность z = f(x,y) , а интеграл по D объем цилиндрического бруса, ограниченного этой поверхностью и областью D . Переход к поверхностному интегралу в этом случае дает следующее выражение для объема цилиндрического бруса V = ( 16 )

Обобщение этой формулы на случай тела произвольной формы ограниченного поверхностью ^ G имеет вид V = 1/3 ( 17 )


б) Формула Стокса.

Известно, что формула Грина сводит двойной интеграл по плоской области ^ D к криволинейному интегралу по контуру L , ограничивающему область D

( 18 )

Эта формула легко обобщается на случай, когда вместо куска плоской поверхности ^ D берется кусок произвольной гладкой двухсторонней поверхности G , ограниченной контуром L. Формула Стокса :

( 19 )

переходит в формулу Грина, если положить z = 0 . Тогда dz = 0 и G D.

Из формулы Стокса легко получить условия при которых криволинейный интеграл по замкнутому контуру в пространстве обращается в ноль

; ;


в) Формула Остроградского – Гаусса.

Тройной интеграл после вычисления первого внутреннего интеграла превращается в двойной интеграл, который можно выразить через поверхностный.

Имеем тело ограниченное гладкими поверхностями : G1низ ,

z = z0(x,y) ; G2верх, z = Z(x,y) ; G3 - цилиндрическая боковая поверхность по границе области D на плоскости хОу. В этом объеме V определена функция R(x,y,z) , причем, функция и ее производные непрерывны. Рассмотрим интеграл

  1   2   3



Скачать файл (1021.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru