Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

ВМ 3 семестр - файл лКратные интегралы.doc


Загрузка...
ВМ 3 семестр
скачать (1021.5 kb.)

Доступные файлы (10):

лВекторный анализ 1.doc389kb.16.01.2011 21:15скачать
лВекторный анализ 2.doc613kb.16.01.2011 21:16скачать
лКратные интегралы.doc354kb.16.01.2011 21:35скачать
лРяды.doc469kb.16.01.2011 21:35скачать
лУравнения матфизики.doc682kb.16.01.2011 21:35скачать
практика 2 интеграл.doc322kb.16.01.2011 21:36скачать
практика 3 интеграл.doc318kb.16.01.2011 21:36скачать
практика крив ин-л.doc352kb.16.01.2011 21:37скачать
практика по УМФ.doc233kb.16.01.2011 21:37скачать
Практ.теории поля.doc601kb.16.01.2011 21:34скачать

лКратные интегралы.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Кафедра «Высшей математики»


Опорные конспекты лекций.


Тема : Интегрирование функций нескольких переменных.


Двойной интеграл и его свойства.


Метод интегральной суммы.

Всякая физическая система имеет пространственные размеры и описывается набором величин, которые могут меняться при переходе от точки к точке системы. Например, тело имеет переменную плотность. Задача – вычислить общую массу тела. Решение такого типа задач и дает метод интегральной суммы.


^ Опр. Аддитивной величиной наз. параметр физической системы Р, который можно представить как сумму значений этого параметра от всех составных частей системы P = pi . Например, площадь фигуры, объем тела, длина пройденного пути. Разбиение на составные части в этих случаях совершенно произвольно.


Алгоритм метода интегральной суммы.

  1. Исследуемая физическая (геометрическая) система разделяется на n однотипных участков .

  2. Для каждого участка устанавливается некоторое приближенное значение аддитивного параметра pi .

3. Проводится суммирование приближенных значений аддитивного параметра по всем n участкам P(n) = pi

4. Переход к пределу lim P(n) = P при n дает точное решение задачи, т.е. определяет значение искомого, аддитивного параметра для всей системы


^ Опр. Интегральной суммой наз. сумма всех приближенных значений аддитивного параметра, определенных для каждого из n участков на которые была разделена исследуемая система .

Опр. ^ Определенным интегралом наз. предел интегральной суммы, полученный по условиям конкретной задачи. Существуют двойные, тройные, n – мерные, криволинейные, поверхностные интегралы.


^ Задача о вычислении объема цилиндрического бруса.

Имеем на плоскости хОу область D , ограниченную контуром ^ D и функцию z = f(x,y) 0 , которая определяет некоторую поверхность над D . Объем пространства, расположенный над D и ограниченный сверху поверхностью z = f(x,y) наз. цилиндрическим брусом. Его боковую поверхность образуют перпендикуляры восстановленные из всех точек контура ^ D . Вычислим объем такого бруса методом интегральной суммы.

  1. Операция разбиения. Разделим область D сеткой кривых на n частей D1, D2, . . . , Dn, имеющих площади si . В каждой фигуре Di выделим некоторую точку () и на на высоте f() проведем над Di плоскость параллельную хОу. В результате получим дополнительную, ступенчатую фигуру.

2. Объем элементарного цилиндра над Di равен f()si .
^

3. Объем всей ступенчатой фигуры определяет интегральная сумма


V(n) = f()si ( 1 )

  1. С ростом n точность приближения возрастает и в пределе n, при стремлении наибольшего из диаметров Di к 0 , получаем точное значение объема цилиндрического бруса

V = lim f()si = f(x,y) dx dy ( 2 )


n

Опр. Двойным интегралом от функции f(x,y) по области D на плоскости хОу наз. предел интегральной суммы, полученный разделением области D на малые участки. Переменные интегрирования определяют площади этих участков.

^ Геометрический смысл двойного интеграла - объем цилиндрического бруса.


Основные свойства двойного интеграла.

  1. Постоянный множитель выносится за знак интеграла

а f(x,y) dx dy = аf(x,y) dx dy

т.к. общий множитель членов интегральной суммы можно вынести за скобку.

  1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов

[f(x,y) + g(x,y)]dx dy = f(x,y) dx dy +g(x,y) dx dy

т.к. такая интегральная сумма разделяется на две части.

3. Аддитивность области интегрирования. Если D = D1 + D2 , то

f(x,y) dx dy = f(x,y) dx dy + f(x,y) dx dy

4. Интеграл от функции f(x) = 1 численно равен площади области интегрирования D
^

S = dx dy



5. Теорема о среднем. f(x,y) dx dy = f() S

Двойной интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение площади области интегрирования ^ S на значение функции f() в некоторой точке, т.к. для любого цилиндрического бруса с искривленным верхом можно построить брус постоянной высоты, но с таким же основанием S и объемом V , т.е. f() = V/S. Точка с координатами () всегда существует в области D.


Вычисление интегралов.

Вычисление двойных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования.

1. D - прямоугольник ( a x b , c y d ) , тогда


f(x,y) dx dy = dxf(x,y) dy ( 3 )


При вычислении внутреннего интеграла по переменной у величина х рассматривается как константа, а затем во внешнем интеграле как переменная интегрирования. Возможен обратный порядок интегрирования для х и у .

2. D - ограничивают две прямые | | оси Оу и две кривые (a x b , y1(x) yy2(x) )

Это область правильная в направлении Оу


f(x,y) dx dy = {f(x,y) dy } dx ( 4 )


3. D - ограничивают две прямые | | оси Ох и две кривые (c y d , x1(y)xx2(y) )

Это область правильная в направлении Оx


f(x,y) dx dy = {f(x,y) dx } dy ( 5 )


4. D - произвольная фигура. Она разбивается прямыми | | осям на несколько правильных областей и по каждой из них вычисляется свой интеграл.

Пр. J = xy dx dy , где D ограничена кривыми: y = , y = x2

Решение: Строим графики двух парабол. Точки их пересечения находим из решения системы этих двух уравнений : 2 (0; 0) , (1; 1). D - правильная в обоих направлениях. Выберем пределы интегрирования : 0 x 1 ; x2 y , тогда

J = dxxy dy , Jв = y dy = ½ (x – x4)

J = ½ (x2 – x5) dx = ½ (x3/3 – x6/6) |01 = 1/12


Преобразования плоских областей.

Замена переменных в двойных интегралах связана с переходом от прямоугольной к криволинейной системам координат.

Имеем плоскость с прямоугольной системой координат хОу и систему непрерывных функций

u = u(x,y)

v = v(x,y) ( 6 )

Для каждой точке плоскости (xi,yi) получаем два числа (ui,vi) , которые можно понимать как координаты другой точки. Выделим в xOy область D , ограниченную замкнутым контуром D. Тогда, уравнения ( 1 ) относят точкам области D множество точек (ui,vi). Пусть такое множество образует на плоскости область D*, ограниченную замкнутым контуром D*. Каждой точке из D отвечает своя точка из D* и ни одна из них не пропущена. В этом случае систему ( 1 ) можно однозначно разрешить относительно х и у

x = x(u,v)

y = y(u,v) ( 7 )


и переменные u, v теперь играют роль новых координат. Прямые линии x = const, y = const наз. координатными в системе хОу , тогда искривленные линии u = const , v = const будут координатными в криволинейной системе uOv.

Таким образом, между областями D и D* устанавливается взаимно – однозначное соответствие. Уравнения ( 1 ) осуществляют преобразование области D в область D*, а уравнения ( 2 ) дают обратное преобразование. Области D и D* могут иметь разную форму и разные площади.

^ Двойной интеграл.

В интегральной сумме двойного интеграла имеем элементы площади dxdy. В системе uOv ему будут соответствовать элементы площади |J| dudv , где коэффициент искажения плоскости J (якобин) определяется формулой

| J | = ( 8 )

После перехода к новой системе координат имеем

f(x,y) dx dy = f(x(u,v),y(u,v)) |J| du dv ( 9 )

В полярной системе координат переменные r ,  имеют наглядный геометрический смысл – длина радиус-вектора и полярный угол. Координатную сетку образуют выходящие из точки лучи и концентрические окружности.


( 10 )

Обратное преобразование : r = ,

= arc tg (y/x) .

Вычислим якобиан перехода к полярной системе координат

J = = r ( 11 )

Применять переход к полярным координатам удобно в случаях, когда D является кругом с центром в начале координат или его сектором – круговым или криволинейным, а также, если в функцию f(x,y) переменные входят в виде x2 + y2 .


D – круг радиуса R f(x,y) dxdy = ( 12 )

D – круговой сектор f(x,y) dx dy =



D – криволинейный сектор, замкнутый одной линией с полярным уравнением

r = r( ) ,

f(x,y) dx dy = ( 13 )


D – криволинейный сектор, замкнутый двумя линиями с полярными уравнениями

r = r1( ) , r = r2( ) ,

f(x,y) dx dy = ( 14 )


Пр. 1 Вычислить площадь круга. S = dxdy = = r2/2 = R2

Пр. 2 Вычислить площадь D , если D : y = x , y = 0 , x = 1 .

Имеем криволинейный сектор. Строим полярное уравнение :

х = 1  r cos  = 1  r = 1 / cos  .

Углы сектора определяем из чертежа : 0    /4

S =dxdy = = ½ = ½ tg |0/4 = ½

Пр. 3 Вычислить площадь леминискаты (x2 + y2)2 = 2a2 (x2 – y2) .

Линия симметрична относительно осей, т.к. уравнение не меняется при замене x  - x , y  - y , пересекает ось Ох при

х = а и проходит через начало координат. S = 4dxdy . Имеем криволинейный сектор. Строим полярное уравнение : (r2cos2 + r2sin2)2 = 2a2(r2cos2 - r2sin2) 

r2 = 2a2 cos 2  r = a .

Углы сектора получаем из условий: r = а  1 = 0 ; r = a = 0  2 = /4

S = 4= 4a2 = 2a2



Пр. 4 Вычислить площадь D , если D : (x2 + y2)2 = 2a x3

Линия симметрична относительно оси Ох, т.к. уравнение не

меняется при замене y  - y, пересекает ось Ох при x = 0,

х = 2а и х  0. S = 2dxdy. Имеем криволинейный сектор. Строим полярное уравнение: r =2a cos3  .Углы сектора получаем из условия: r = 2a cos3 = 0   =  /2

S = 2= 4а2 = 5/8  а2


Поверхности второго порядка.

Общий вид уравнения поверхности в R3 : F(x,y,z) = 0 . Уравнение гладкой поверхности - z = f(x,y) , где каждой точке области определения функции (x, y) отвечает одна точка поверхности с координатой z . Замкнутые поверхности не являются гладкими.

Цилиндрическая поверхность. Её образуют прямые параллельные данному направлению (образующие), которые пересекают некоторую линию L (направляющую).

Если образующей служит ось координат, то в уравнении F(x,y,z) = 0 такая координата отсутствует и уравнения F(x,y) = 0, F(x,z) = 0, F(y,z) = 0 в координатных плоскостях определяют направляющие линии. Если линиями L служат кривые 2 порядка, то имеем цилиндрические поверхности 2 порядка – круговой цилиндр, эллиптический, параболический, гиперболический цилиндры.


^

F(x,y) = 0 F(x,z) = 0 F(y,z) = 0


Коническая поверхность. Её образуют прямые (образующие), которые проходят через данную точку Р (вершину) и пересекают данную линию L (направляющую).

Конус 2 порядка определяет уравнение

Исследуем форму поверхности методом параллельных сечений:

Пусть х = 0, тогда ур -ние приводит к прямым

Пусть z = h, тогда получаем уравнение эллипса

При а = b получаем круговой конус.

Эллипсоид определяет уравнение

Сечение 3 плоскостями x = h (|h|a), y = h (|h|b), z = h (|h|c)

приводит к 3 эллипсам с разными полуосями. При a = b = c = R

получаем уравнение сферы x2 + y2 + z2 = R2 с центром в начале координат.

Гиперболоид однополюсной определяет уравнение

Сечение плоскостью х = 0 дает гиперболу

Сечение плоскостью z = h дает эллипсы


Гиперболоид двухполюсной определяет уравнение

Сечение плоскостью х = 0 дает гиперболу

Сечение плоскостью z = h дает эллипсы

Параболоид эллиптический определяет уравнение ,

где p, q – одного знака.

Сечение плоскостью х = 0 дает параболу y2 = 2pz

Сечение плоскостью z = h дает эллипсы ,

где 2ph  0 , 2qh  0 .

Параболоид гиперболический определяет уравнение ,

где p, q – одного знака.

Сечение плоскостью у = 0 дает параболу х2 = 2pz

Сечение плоскостью x = h дает параболы

Сечение плоскостью z = h дает гиперболы


Тройной интеграл. Задача о вычислении массы тела.

Имеем объем V заполненный массой с переменной плотностью (x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.

  1. Операция разбиения. Разделим V на n элементарных объемов V1, V3,V3, . . . , Vn и в пределах каждого из них выделим точку Mi().

2. Масса элементарного объема приближенно равна () Vi .

3. Приближенное значение массы всего тела определяет интегральная сумма

m(n) = () Vi ( 15)

4. В пределе, когда n   и все Vi  0 , получаем точное решение задачи

m = lim () Vi

Опр. Тройным интегралом от функции трех переменных f(x,y,z) по объему V наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения объема V на элементарные области.

J = = ( 16 )


^ Физический смысл тройного интеграла – масса тела переменной плотности.

Основные свойства интеграла.

10. Постоянный множитель выносится за знак интеграла

а f(x,y,z) dx dy dz = аf(x,y,z) dx dy dz

т.к. общий множитель членов интегральной суммы можно вынести за скобку.

20. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов

[f(x,y,z) + g(x,y,z)]dx dy dz = f(x,y,z) dx dy dz +g(x,y,z) dx dy dz

т.к. такая интегральная сумма разделяется на две части.

30 . Аддитивность области интегрирования. Если V = V1 + V2 , то

f(x,y,z) dx dy dz = f(x,y,z) dx dy dz + f(x,y,z) dx dy dz

40. Интеграл от функции f(x,y,z) = 1 численно равен объему области интегрирования V
^

V = dx dy dz


50 . Теорема о среднем. f(x,y,z) dx dy dz = f() V


Тройной интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение объема, области интегрирования V , на значение функции f() в некоторой точке, т.к. любому телу с переменной плотностью всегда можно сопоставить тело с постоянной плотность f() = m/V при таком же объеме V и массе m . Точка с координатами () всегда существует в области V.


^ Вычисление интегралов.

Вычисление тройных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования.


^ Прямоугольные координаты - x, y, z .

1. V - прямоугольный параллепипед ( a x b , c y d , p z q ) , тогда


f(x,y,z) dx dy dz = dxdyf(x,y,z) dz ( 17 )


При вычислении внутренних интегралов оставшиеся переменные рассматриваются как константы. Возможен любой порядок интегрирования по х, у , z .


  1. ^ V - цилиндрический брус, который ограничен двумя гладкими поверхностями z = z1(x,y) , z = z2(x,y) и его проекция на плоскость хОу образует правильную область D, например, a x b , y1(x) y y2(x) , тогда

f(x,y,z) dx dy dz = dxdyf(x,y,z) dz =

= dxdyf(x,y,z) dz ( 18 )


r = |ON| r = |OM|

= (ON^Ox)  = (ON^Ox)

 = (OM^Oz)


Цилиндрические координаты - r, , z .

Переход к ним : x = r cos  , y = r sin  , z = z , удобен, когда область ^ D образует круг или криволинейный сектор: r = r1( ) , r = r2( ) , . Тогда

f(x,y,z) dv =rdrdf*(r,,z) dz = f*(r,,z) dz ( 19 )


Здесь f*(r,,z) = f(r cos, r sin, z) , z1* = z1(r cos, r sin) , z2* = z2(r cos, r sin) .


Сферические координаты - r, ,  .

Переход к ним : x = r cos  sin  , y = r sin  sin  , z = r cos  , удобен, когда ^ V образует шар или его телесный угол. В случае шара x2 + y2 + z2  R2 пределы интегрирования: 0    2 , 0     , 0  r  R.


f(x,y,z) dv = f(r cos sin, r sin sin, r cos) r2 sin dr d d ( 20 )


Пр.5 Вычислить J = z dv , где V: 0  x  ½ , x  y  2x , 0  z  .

J = dxdyz dz , J1 = z dz = ½ (1 – x2 – y2),

J2 = ½(1 – x2 – y2)dy = ½ [(1-x2)y – y3] |x2x =

= ½(x- x3), J = ½( x - x3)dx = 7/192



Пр. 6 Вычислить J = x2 dx dy dz , где V - шар x2 + y2 + z2  R2 .

J = { x = r cos  sin  , y = r sin  sin  , z = r cos  } = r4sin3 cos2 drdd =


= sin3 d cos2 d r4 dr

J1 = r4 dr = R5/5 ; J2 = cos2 d = ½ (1 + cos2) d =  ;

J3 = sin3 d = - (1 – cos2) d(cos) = 4/3 ; J =


Пр. 7 Вычислить J = zdx dy dz , где ^ V ограничен цилиндром x2 + y2 = 2x и

плоскостями y = 0, z = 0, z = a .

Область D : x2 + y2 = 2x  (x – 1)2 + y2 = 1 - окружность с центром в (1; 0) и R = 1. J = { x = r cos , y = r sin , z = z }. Строим полярное уравнение x2 + y2 = 2x  r = 2 cos  .

Вычисляем пределы интегрирования из условий r = 2cos  = 0 , y = 0 

J = ; J1 = z dz = ½ a2 ; J2 = r2 dr = 8/3 cos3 ;

J3 = cos3 d = (1 – sin2) d(sin) = [ sin - 1/3 sin3 ] 0/2 = 2/3


Скачать файл (1021.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru