Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

ВМ 3 семестр - файл лРяды.doc


Загрузка...
ВМ 3 семестр
скачать (1021.5 kb.)

Доступные файлы (10):

лВекторный анализ 1.doc389kb.16.01.2011 21:15скачать
лВекторный анализ 2.doc613kb.16.01.2011 21:16скачать
лКратные интегралы.doc354kb.16.01.2011 21:35скачать
лРяды.doc469kb.16.01.2011 21:35скачать
лУравнения матфизики.doc682kb.16.01.2011 21:35скачать
практика 2 интеграл.doc322kb.16.01.2011 21:36скачать
практика 3 интеграл.doc318kb.16.01.2011 21:36скачать
практика крив ин-л.doc352kb.16.01.2011 21:37скачать
практика по УМФ.doc233kb.16.01.2011 21:37скачать
Практ.теории поля.doc601kb.16.01.2011 21:34скачать

лРяды.doc

  1   2   3
Реклама MarketGid:
Загрузка...
Кафедра «Высшей математики»


Опорные конспекты лекций.

Тема : Ряды.



Числовые ряды.

Сложную функцию f(x) часто представляют как линейную комбинацию нескольких простых функций f(x)  Pn(x). Это упрощает ее исследование. Чем больше простейших функций используется в Pn(x) , тем точнее приближение. При бесконечном росте числа слагаемых (n  ) графики f(x) и ее апраксимации Pn(x) могут совпасть полностью.

Задачу нахождения аппраксимирующих функций решает теория рядов.


^ Опр. Бесконечной числовой последовательностью наз. последовательность значений функции f(x) (определенной на всей числовой оси) при целочисленных значениях аргумента. Обозначения: un = f(n) , где n = 1, 2, 3, . . . или u1, u2, u3, . . . , un, . . .

Опр. Пределом числовой последовательности un наз. число А, такое, что разность между ним и un при n   делается бесконечно малой величиной

lim (un – A) = 0 или lim un = A при n  

Опр. Числовая последовательность наз. сходящейся если имеет конечный предел и расходящейся , если предел бесконечен.

Опр. Числовым рядом наз.сумма членов бесконечной числовой последовательности

u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . . = ( 1 )

Непосредственно просуммировать ряд нельзя, т.к. число слагаемых бесконечно. Приходится вводить специальную процедуру.

^ Опр. Частичной суммой ряда Sn наз. сумма ее первых n членов. Sn =

Частичные суммы ряда ( 1 ) образуют вспомогательную числовую последовательность

S1, S2, S3, . . . , Sn, . . . , где Sn = Sn – 1 + un , которая может сходится или расходится.

Опр. Суммой числового ряда ( 1 ) наз. предел последовательности частичных сумм ряда S = lim Sn при n   ( 2 )

Ряд наз. сходящимся, если предел ( 2 ) конечен и расходящимся, если бесконечен.


Пр.1 Геометрическая прогрессия: a + aq + aq2 + aq3 + . . . Её частичную сумму Sn умножим на (1 – q). Тогда (1 – q)а= a(1 – qn) или Sn = a(1 – qn)/(1 – q). При |q| < 1 Sn имеет конечный предел: S = aq/(1 – q), а при |q| > 1 бесконечный. Т.о. этот ряд при |q| < 1 сходится, а при |q| > 1 расходится.

Пр. 2. Гармонический ряд 1 + ½ + 1/3 + ¼ + . . . расходится (ниже докажем).


^ Основные свойства сходящихся рядов.

10 Отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость ряда.

Док-во. Имеем и. Пусть , тогда

lim Sn = lim(Sk + n – k) = Sk + lim n – k при n  

Если существует конечный предел слева, то существует предел и справа, т.е. укороченный ряд тоже сходится.

20 Если все члены ряда имеют общий множитель, то он является общим множителем для всего ряда = с = с S . Это свойство пределов.

30 Почленное сложение двух рядов приводит к сложению их сумм (Это свойство пределов) = + = S1 + S2


Необходимый признак сходимости.

Если числовой ряд ( 1 ) сходится, то общий член ряда un стремится к нулю с ростом n

lim un = lim (Sn – Sn – 1) = S – S = 0 при n  

Если lim un  0 при n   , то ряд расходится.


Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов.

1.) Признак сравнения 1. Пусть для членов рядов (а) и (b) выполняется неравенство 0  un  vn , тогда из сходимости ряда (b) следует сходимость ряда (a) и из расходимости ряда (a) следует расходимость ряда (b). Т.е., если ряд с большими членами сходится, то ряд с меньшими членами тем более будет сходится и наоборот.

Док-во. Частичные суммы ряда (а) - n и ряда (b) – Sn связаны неравенством 0n  Sn и условием сходимости ряда (b) Sn < S. Это устанавливает верхний конечный предел на n : 0  n  Sn < S , т.е. ряд (а) сходится.

Пр. Определить сходимость ряда . Введем второй ряд . Это геометрическая прогрессия сq=1/5. Она сходится. Из сравнения членов un= 1/n5n <vn=1/5n следует сходимость исходного ряда.


Признак сравнения 2. Если предел отношения общих членов двух разных рядов не совпадает с 0 или  , то оба ряда или сходятся или расходятся : при n   .

2.) ^ Признак Даламбера. Если предел отношения последующего члена ряда ( 1 ) к предыдущему меньше 1 , то ряд сходится, если больше 1, то ряд расходится

Если , то при l < 1 сход., при l > 1 расход., при l = 1 – сомнительный случай

Док-во. Отношения (un + 1 / un ) образуют вспомогательную числовую последовательность, которая может сходится или расходится. Необходимое условие сходимости : Для всякого  > 0 существует такое N , что при n > N выполняется неравенство l -  < un + 1 / un < l +  , т.е. с ростом n член последовательности оказывается в сколь угодно малой  - окрестности точки l .

Пусть l < 1,  мало и q = l + < 1 , тогда из условия uN + 1 / uN < q следует uN+1 <quN, uN+2 <q uN+1 < q2uN , uN+3 < q3uN , . . . В результате получаем две числовые последовательности : uN , uN+1 , uN+2 , . . . и uN , q uN , q2 uN, q3 uN . . . связанные неравенством uN+n < uN qn. Строим из них ряды. Т.к. ряд с большими членами (геометрическая прогрессия, q < 1) сходится, то ряд с меньшими членами также сходится по признаку сравнения и по свойству 10 сходится исходный ряд . При l > 1 аналогичным образом получаем обратный результат.


3.) Интегральный признак Коши.Cумма членов бесконечной числовой последовательности un = f(n) сходится, если сходится несобственный интеграл и расходится при расходимости интеграла.

Док-во. Ряд f(1) + f(2) + f(3) + . . . можно понимать как площадь ступенчатой фигуры, построенной вдоль кривой y=f(x), а интеграл как площадь криволинейной трапеции y = f(x) Если площадь криволинейной трапеции ограничена, то и площадь ступенчатой фигуры будет ограничена, и сумма ряда будет иметь конечное значение.

Пр. Обобщенный гармонический ряд . Вычислим интеграл J = При  = 1 J = ln x |1 =  , при   1 J = x1 - /(1-) |1 Отсюда следует, что при  > 1 обобщенный гармонический ряд сходится, а при  1 расходится.


Знакочередующиеся числовые ряды.

Опр. Знакочередующимся наз. числовой ряд вида , un > 0 ( 3 )


Признак Лейбница. Если члены ряда ( 3 ) последовательно убывают ( un > un+1 ) и стремятся к 0 ( lim un = 0 при n   ), то ряд сходится, причем, его сумма S > 0 и S < u1.

Док-во. Члены частичной суммы S2m сгруппируем двумя способами :

S2m = (u1 – u2) + (u3 – u4) + . . . +(u2m-1 – u2m) ( a )

S2m = u1 – (u2 – u3) – (u4 – u5) - . . . – (u2m-2 u2m-1) – u2m ( b )

При способе ( а ) имеем сумму положительных членов S2m > 0. При способе (b) имеем разность между u1 и суммой (m – 1) положительного слагаемого. Из этого следует, что S2m всегда ограничена S2m < u1 , а последовательность ограниченных S2m имеет предел, т.е. ряд сходится. От S2m+1 легко перейти к S2m , выделив лишний член.


Знакопеременные числовые ряды.

Опр. Знакопеременным наз. числовой ряд составленный из положительных и отрицательных членов.

^ Признак абсолютной сходимости. Если ряд, составленный из модулей элементов знакопеременного ряда, сходится, то и сам знакопеременный ряд является сходящимся ,

т.е. из сходимости ряда (a) следует сходимость ряда (b)


Док-во. В частичной сумме ряда (b) Sn выделим все положительные слагаемые Snи отрицательные слагаемые Sn’’. Тогда имеем для (b) : Sn = Sn’ - Sn’’ и для (а) :

n = Sn’ + Sn’’ ,следовательно, Sn < n . Из условия сходимости ряда (а) следует n <  или Sn < n <  , т.е. частичные суммы Sn ограничены и, следовательно, знакопеременный ряд (b) сходится.


Признак абсолютной сходимости является достаточным, но не необходимым.

Пр. Ряд сходится по признаку Лейбница ( un = 1/n > un+1 = 1/(n+1) - да,

lim un = lim 1/n = 0 - да ), а гармонический ряд является расходящимся.


Опр. Сходящийся знакопеременный ряд наз. абсолютно сходящимся, если также сходится ряд составленный из модулей его членов, и условно сходящимся, если ряд из модулей не сходится.

На абсолютно сходящиеся ряды переносятся все основные свойства конечных сумм.


^ Функциональный ряд.

Опр. Функциональным наз. ряд члены которого являются функциями от х .

= u1(x) + u2(x) + u3(x) + . . . = S(x) ( 4 )

При фиксированном x = a функциональный ряд становится числовым.

Опр. Областью сходимости функционального ряда наз. множество всех значений х при которых он сходится. В области сходимости сумма ряда S(x) является функцией от х.

Пр. т.к. члены ряда положительны применим признак Даламбера

lim un+1 / un = e-x < 1 при х (0,  ), т.е. ряд в этом интервале сходится.

Степенной ряд.

Опр. Степенным наз. функциональный ряд вида

= a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)2 + . . . ( 5 )

где х0 и коэффициенты ряда аn  R . При х0 = 0 получаем ряд по степеням х

= a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + . . . ( 6 )

Теорема Абеля Если степенной ряд ( 6 ) сходится при х = х1, то он абсолютно сходится при всех значениях х меньших х1 по модулю ( |x| < |x1| ). Если ряд ( 6 ) расходится при х = х2 , то он расходится при всех значениях х больших х2 по модулю ( |x| > |x2| ).

Док-во. Пусть при х = х1 ряд ( 6 ) сходится, т.е. и все его члены ограничены anxn < M. Преобразуем ( 6 ) к виду ( 7 )

Введем в ряд ( 7 ) модули ( 8 )

и сравним его с рядом ( 9 )

Большими оказываются члены ряда ( 9 ) : |an x1n| (|x/x1|)n < M (|x/x1|)n , который является геометрической прогрессией. При |x| < |x1| ряд ( 9 ) сходится, следовательно, сходится и ряд с меньшими членами ( 8 ) и абсолютно сходятся ряды ( 7 ) и ( 6 ).

Пусть при х = х2 ряд ( 6 ) расходится. Предположим, что существует х большее х2 по модулю (|x| > |x2|), при котором ряд ( 6 ) сходится. Но тогда он должен сходится и при x2. Это противоречие исключает предположение о сходимости ряда при |x| > |x2| .


Радиус сходимости.

Из теоремы Абеля следует, что должно существовать такое граничное значение x =R ниже которого ряд ( 6 ) сходится, а выше расходится. Величина R наз. радиусом сходимости, а интервал (-R, R) наз. интервалом сходимости степенного ряда ( 6 ).

Для определения значения радиуса сходимости введем модули для всех членов ряда ( 6 ) и исследуем его сходимость по признаку Даламбера

lim (un+1 / un) = lim |an+1 xn+1/ anxn| = |x| lim |an+1 /an|  1 при n 

Отсюда получаем R = ( 10 )

При |x| < R ряд сходится, а при |x| > R расходится.

Пр. . Найти радиус и интервал сходимости.

R = lim |an /an+1 | = lim 3(n+2)/(n+1) = 3 при n  . Исследуем границы интервала.

При х = 3 имеем 1/n - гармонический ряд. Он расходится.

При х = -3 имеем (-1)n /n - знакочередующийся ряд. По признаку Лейбница:

  1. lim 1/n = 0 n  - да ; 2) un = 1/n > un+1 = 1/(n+1) - да. Ряд сходится. Ответ [-3, 3).


Степенной ряд ( 5 ) сводится к ряду ( 6 ) заменой переменных x – x0 = t . Если ряд с переменной t абсолютно сходится для |x – x0| < R, то интервал сходимости для ряда ( 5 ) принимает вид (x0 – R, x0 + R).


Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

Теорема. Пусть функция f(x) является суммой ряда ( 5 ) на интервале (x0–R, x0+R). Тогда

  1. f(x) дифференцируема на том же интервале, причем, f `(x) = n an(x – x0)n – 1

  2. f(x) интегрируема на том же интервале, причем, для a, b  (x0 – R, x0 + R)
  1   2   3



Скачать файл (1021.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru