Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

ВМ 3 семестр - файл лУравнения матфизики.doc


Загрузка...
ВМ 3 семестр
скачать (1021.5 kb.)

Доступные файлы (10):

лВекторный анализ 1.doc389kb.16.01.2011 21:15скачать
лВекторный анализ 2.doc613kb.16.01.2011 21:16скачать
лКратные интегралы.doc354kb.16.01.2011 21:35скачать
лРяды.doc469kb.16.01.2011 21:35скачать
лУравнения матфизики.doc682kb.16.01.2011 21:35скачать
практика 2 интеграл.doc322kb.16.01.2011 21:36скачать
практика 3 интеграл.doc318kb.16.01.2011 21:36скачать
практика крив ин-л.doc352kb.16.01.2011 21:37скачать
практика по УМФ.doc233kb.16.01.2011 21:37скачать
Практ.теории поля.doc601kb.16.01.2011 21:34скачать

лУравнения матфизики.doc

  1   2   3
Реклама MarketGid:
Загрузка...
Кафедра «Высшей математики»


Опорные конспекты лекций.

Тема : Уравнения математической физики.


Основные уравнения матфизики.

Дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция u = u(x1, . . . ,xn) зависит от нескольких аргументов наз. дифференциальным уравнением в частных производных (ДУЧП)

F(x1, . . . ,xn , u , u/x1 , . . ., u/xn , . . . , u/x1k, . . . , u/xnk, . . . ) = 0

Порядком ДУЧП наз. порядок старшей производной. Любая функция, которая обращает уравнение в верное тождество наз. решением уравнения. Уравнения, в которые производные и неизвестная функция входят в первой степени, наз. линейными.

При описании реальных процессов аргументами часто служат координаты x, y, z, время t и наиболее существенными оказываются линейные ДУЧП второго порядка, которые наз. уравнениями математической физики (УМФ). Это базовые уравнения теории электричества, квантовой механики и других разделов науки. Самый распространенный в природе процесс – колебательный и его описывает волновое уравнение u - = 0, где= - оператор Лапласа для u = u(x, y, z, t).

Пр. Простейшее уравнение . Его решение включает произвольную функцию и поэтому наз. общим решением. Общее решение ОДУ включает только произвольные константы С. Уравнение интегрируем дважды: - произвольная функция, и - общее решение с 2 произвольными функциями. Для отыскания частных решений вводят дополнительные условия.

Большинство УМФ это линейные ДУЧП 2 порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим случая двух независимых переменных.

a11 + 2a12 + a22 + b1 + b2 + cu = F(x,y) ( 1 )

где a11, a12, a22 , b1 , b2 , c – константы, F(x,y) – задана, u(x,y) – искомая функция. Пусть однородное уравнение ( 1 ) (F(x,y) = 0) имеет два линейно независимых решения u1(x,y) , u2(x,y) [u1(x,y)/u2(x,y)const], тогда их линейная комбинация С1 u1(x,y) +С2 u2(x,y) также является решением. Если однородное линейное ОДУ n – ого порядка имеет n линейно независимых решений, то ДУЧП ( 1 ) имеет бесконечное множество линейно независимых решений и любое из них нельзя представить как линейную комбинацию остальных. В решения может входить переменный параметр : u(x,y, ) или (x,y). Если только целые числа n, то решениями могут быть также бесконечные, сходящиеся в некоторой области D, ряды , где Сn константы. Их можно дважды почленно дифференцировать и интегрировать.


Рассмотрим главные методы решения трех основных уравнений математической физики.





Название

Уравнение

Начальные условия

Граничные условия

а

Волновое

уравнение

для u(x,t)

= a2

a - const

u(x,t) – амплитуда

колебаний струны

0 x  l, t > 0

lim u(x,t) = g(x)

lim = h(x)

при t

lim u(x,t) = m1(t)

lim u(x,t) = m2(t)

при xи x l - 0

- закон движения концов струны

б

Уравнение теплопроводности уравнение Фурье

= a2

a - const

lim u(x,t) = u0(x)

при t

0

lim u(x,t) = T1(t)

lim u(x,t) = T2(t)

при xи x

в

Уравнение

Лапласа

для u(x,t) в области D c границей L

+= 0

Нет

Краевая задача : в

каждой точке М границы L задано значение функции

u(M)|L =


Уравнение ( а ) описывает колебания струны, стержня, газа, электрические колебания и т.д. Уравнение (б) описывает процесс теплопроводности, фильтрации газа и т.д.(процессы распространения возмущений). Уравнение ( в ) описывает электромагнитные поля, процессы фильтрации, задачи гидромеханики. (стационарные процессы)

Начальные и граничные условия обеспечивают единственность решения и они имеют разную структуру для уравнений разных типов. При конкретных расчетах уравнения получают в самом общем виде ( 1 ) и поэтому важно сразу определить тип уравнения и правильно поставить граничные и начальные условия.


^ Классификация линейных ДУЧП 2 порядка.

Путем перехода к новым переменным в уравнении ( 1 ) можно исключить некоторые производные 2 порядка. Возникают три варианта упрощенных (канонических) уравнений в зависимости от соотношения между коэффициентами а11, а12, а22 .

Пусть даны две взаимнооднозначные системы координат xOy и pOq, связанные соотношениями x = x(p,q), y = y(p,q) и p = p(x,y), q = q(x,y). Уравнение координатной линии p = const в системе координат хОу имеет вид p(x,y) = const. Дифференциал этой функции двух переменных равен нулю

dp = dx + dy = 0 = - dy/dx ( 2 )

т.е. производные и пропорциональны друг другу в каждой точке плоскости и коэффициент пропорциональности - dy/dx = (x,y) ( 3 )

равен скорости изменения переменной у вдоль линии p = const , проходящей через данную точку. Каждая криволинейная система координат pOq имеет свою характеристику (x,y) и по ней легко определить само уравнение координатной линии

dy = -(x,y)dx y + (x,y) dx = C ( p(x,y) = const ). ( 4 )

Перейдем к новым переменным в ( 1 ) u(x,y) = u(x(p,q), y(p,q)) = u(p,q). Вычислим первые производные и во вторых производных выделим члены, содержащие и

=+; = + ; =()2 + ()2 +. = ()2 + ()2 +. . . ; = + + . . . ,

В результате, в уравнении ( 1 ) перед производными и появится множители A11 = a11()2 + 2a12 + a22()2 и A22 = a11()2 + 2a12 + a22()2

с учетом пропорциональности производных ( 2 ) они примут вид

А11 = ()2 (a112 + 2a12 + a22) = a11()2(-1)( - 2),

А22 = ()2 (a112 + 2a12 + a22) = a11()2(-1)( - 2), ( 5 )

где 1,2 = (-a12 )/ a11 - корни характеристического уравнения

a112 + 2a12 + a22 = 0 , ( 6 )

а =(x,y) - характеристика выбранной системы координат. Если наложить условие (x,y) =-const во всех точках плоскости и выбрать =1 или =2, то А11 = А22 = 0 и , из уравнения выпадают. Переход от характеристики к уравнению координатной линии ( 4 ) в этом случае дает общий интеграл y + x = C . Это решение определяет зависимость между х и y при движении вдоль координатной линии p(x,y) = С или q(x,y) = С, т.е. определяет явный вид новых координат.

Если D = a122- a11 a22 > 0 , то 12 и новые координаты p = y +1x, q = y +2x это прямые, пересекающиеся по углом  , где tg = (1 - 2) / (1 - 12).


Если D = 0 , то 1 = 2 = . Это дает только одну координату p = y +x, а выбор второй достаточно произволен.

Если D < 0 , то общий интеграл уравнения ( 2 ) имеет вид функции комплексной переменной (x,y)  i (x,y) = C1,2 и p = (x,y) , q =  (x,y)

Таким образом, в зависимости от знака ^ D возникают три варианта исключения производных второго порядка из ( 1 ) и, соответственно, 3 типа канонических уравнений


1) D > 0 Гиперболический тип уравнения. Приводится к виду

+ b1* + b2*+ c*u = F(p,q) или - + b1* + b2*+ c*u = F(p,q)


2) D = 0 Параболический тип уравнения. Приводится к виду

+ b1* + b2* = F(p,q)

3) D < 0 Эллиптический тип уравнения. Приводится к виду

+ + b1* + b2*+ c*u = F(p,q)

Различают три вида задач для этих уравнений :

  1. задача Коши, для уравнений гиперболического и параболического типов – задаются начальные условия, граничные отсутствуют, область определения уравнения и его решения – вся плоскость;

  2. краевая граничная задача, для уравнений эллиптического типа - задаются граничные условия на границе L = , области определения неизвестной функции, начальные условия отсутствуют;

  3. смешанная задача, для уравнений гиперболического и параболического типов -задаются начальные и граничные условия.


Задача Коши для волнового уравнения в свободном пространстве.

= a2 , t > 0 , xR , u(x,t)|t=+0 = (x) , |t=+0 = (x) ( 7 )

Здесь даны начальные, но нет граничных условий. Задано значение функции и её производной в каждой точке оси Ох в начальный момент. Коэффициенты а11 = 1, а12 = 0, а22 = - а2 приводят к характеристическому уравнению 2 = a2 и новым переменным

p = x – at , q = x + at ( 8 )

В этом случае = ; ( 9 )

= ; ( 10 )

Подставим ( 9 ) , ( 10 ) в уравнение ( 7 ) и получим ( 11 )

Уравнение ( 11 ) запишем в виде или , т.е. не зависит от q , а не зависит от p . Отсюда следует, что общее решение волнового уравнения в свободном пространстве имеет вид

u(p,q) = F1(p) + F2(q) = F1(x – at) + F2(x + at) ( 12 )

где F1(p) и F2(q) - произвольные функции. Это общее решение Д’Аламбера описывает две встречные плоские волны. Действительно, значение F1(p) сохраняется при x – at = const , но время t меняется непрерывно и, следовательно, должна также непрерывно меняться координата х со скоростью а . Происходит движение фронта плоской волны. В F2(q) скорость - а .

Конкретный вид функций F1(p) , F2(q) в каждом частном решении определяется начальными условиями

|t=0 = =

Проинтегрируем это равенство в пределах от 0 до х и выпишем второе условие ( 7 )

F1(x) - F2(x) = - + 2C ; F1(x) + F2(x) = (x)

Решение этой системы

F1(x) = ½ (x) - + 2C , F2(x) = ½ (x) + - C

Для перехода от u(x,0) к u(x,t) заменим х на x – at в F1(x) и х на x + at в F2(x), т.е. сформированные вдоль оси Ох в начальный момент распределения F1(x), F2(x) начнут перемещаться в пространстве со скоростью а и –а . Решение Д’Аламбера задачи Коши в общем случае

u(x,t) = ½ [(x - at) + (x + at)] + 1/2a [ + ] =

= ½ [(x - at) + (x + at)] + 1/2a ( 13 )

Пр. Найти форму струны, определяемой уравнением = a2

в момент t = /2a , если ut = 0 = sin x , t = 0 = 1.

Решение. Имеем u(x,t) = ½ [ sin (x + at) + sin (x – at) ] + 1/2a = sin x cos at + t

Если t = /2a , то u(x) = / 2a , т.е. струна параллельна оси абсцисс.


^ Вывод уравнения колебаний струны.

Пусть свободно изгибающаяся струна имеет силу натяжения на концах - T0,  - линейная плотность струны [ г/см ] , u(x,t) – амплитуда отклонения от оси Ох , F(x,t) – линейная плотность силы, действующая на струну  Ох [н/см ] .

Выделим малый элемент струны ММ`. На его концы действует сила натяжения T0 в направлении касательных. Составляющие этих сил,  оси Ох, равны T0 sin и

-T0 sin`. При их сумма есть сила, вызывающая


смещение элемента T0 sin - T0 sin` = F dx ( 14 )


Под её воздействием изменение амплитуды отклонения во времени происходит по закону Ньютона  dx = F dx (15 )

здесь  dx - масса элемента. При малых , `имеем sin   tg  = . Это скорость изменения амплитуды при перемещении вдоль струны, а сила отклонения равна приращению этой скорости F dx = T0(sin - sin`) = T0[ ()M` - ()M ]

Заменим приращение скорости на дифференциал и получим F dx T0 d() = T0dx.

Кроме силы инерции F на струну может действовать внешняя сила fВ, тогда из ( 18 ) имеем

= T0 + fВ или = a2 + f ( 16 )

где a2 = T0/  , f = fВ/ . Это уравнение вынужденных поперечных колебаний струны.

При f = 0 получаем уравнение свободных колебаний струны

= a2 ( 17 )


Метод Фурье.

Суть метода – разделение переменных u(x,y) = X(x) Y(y) сводит каждое из основных уравнений матфизики к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям.


^ Смешанная задача для уравнения колебания струны.

Колебания струны конечной длины l с закрепленными концами описывает волновое уравнение ( 20 ) , где а - const , 0 , t > 0 , при следующих граничных и начальных условиях

u(0,t) = 0 , u(l,t) = 0 ( 18 )

u(x,0) = f(x) , ( 19 )

Пусть амплитуда смещения точек струны u(x,t) = X(x)T(t) , тогда из ( 20 ) имеем

X(x)T``(t) = a2X``(x)T(t) или T``(t) / a2T(t) = X``(x) / X(x) ( 20 )


Из равенства разнотипных функций следует, что каждая из них равна некоторой константе ( - h ). Пусть h > 0 , тогда из ( 20 ) получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

X``(x) + hX(x) = 0 ( 21 )

T``(t) + ha2T(t) = 0 ( 22 )


Их характеристические уравнения k2 + h = 0 и r2 + ha2 = 0 имеют мнимые корни

k1,2 =  i , r1,2 =  i a и приводят к общим решениям

X(x) = A cosx + B sinx , T(t) = C cos at + D sin at ( 23 )


Определим константы А, В из условия жесткого закрепления концов струны ( 18 )
  1   2   3



Скачать файл (1021.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru