Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

ВМ 3 семестр - файл практика 2 интеграл.doc


Загрузка...
ВМ 3 семестр
скачать (1021.5 kb.)

Доступные файлы (10):

лВекторный анализ 1.doc389kb.16.01.2011 21:15скачать
лВекторный анализ 2.doc613kb.16.01.2011 21:16скачать
лКратные интегралы.doc354kb.16.01.2011 21:35скачать
лРяды.doc469kb.16.01.2011 21:35скачать
лУравнения матфизики.doc682kb.16.01.2011 21:35скачать
практика 2 интеграл.doc322kb.16.01.2011 21:36скачать
практика 3 интеграл.doc318kb.16.01.2011 21:36скачать
практика крив ин-л.doc352kb.16.01.2011 21:37скачать
практика по УМФ.doc233kb.16.01.2011 21:37скачать
Практ.теории поля.doc601kb.16.01.2011 21:34скачать

практика 2 интеграл.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
ПРАКТИКУМ

по теме «Двойной интеграл»


Имеем на плоскости хОу область D, ограниченную контуром D и функцию z = f(x,y)0, которая определяет некоторую поверхность над D . Объем пространства, расположенный над D и ограниченный сверху поверхностью z = f(x,y) наз. цилиндрическим брусом. Его боковую поверхность образуют перпендикуляры,

восстановленные из всех точек контура D. Вычисление объема такого бруса методом интегральной суммы приводит к понятию двойного интеграла.

V = lim f()si = f(x,y) dx dy при n (1)


^ Опр. Двойным интегралом от функции f(x,y) по области D на плоскости хОу наз. предел интегральной суммы, полученный разделением области D на малые участки. Переменные интегрирования определяют площади этих участков - si = xiyi , а f() - высоту каждого элемента бруса.

Геометрический смысл двойного интеграла - объем цилиндрического бруса.


Вычисление двойных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования.

1. D - прямоугольник ( a x b , c y d ) , тогда


f(x,y) dx dy = dxf(x,y) dy


При вычислении внутреннего интеграла по переменной у величина х рассматривается, как константа, а затем во внешнем интеграле как переменная интегрирования. Возможен обратный порядок интегрирования для х и у .

2. D - ограничивают две прямые | | оси Оу и две кривые (a x b , y1(x) yy2(x) )

Это область правильная в направлении Оу . (Коридор вдоль Оу.)


f(x,y) dx dy = {f(x,y) dy } dx


3. D - ограничивают две прямые | | оси Ох и две кривые (c y d, x1(y)xx2(y) )

Это область правильная в направлении Оx. (Коридор вдоль Ох.)


f(x,y) dx dy = {f(x,y) dx } dy


4. D - произвольная фигура. Она разбивается прямыми | | осям на несколько правильных областей и по каждой из них вычисляется свой интеграл.


Пример 1. Изменить порядок интегрирования J = .

Пределы внешнего интеграла задают коридор || Oy. Надо перейти к коридору || Ox.

Решение.

1. D: 0 x 4 , x2/2 y 2x - Пределы интеграла означают неравенства.

2. D: x = 0, x = 4, y = x2/2, y = 2x - Переход к равенствам.

Они определяют линии, ограничивающие область D.

  1. Находим их точки пересечения из решения систем уравнений

(4;8) ,(4;8) , (0;0)

Обозначим коридор || Oy пунктиром и строим кривые

y = x2/2, y = 2x , пересекающие коридор. Это перегородки.

4. Обозначим новый коридор || Oх пунктиром, 0 y 8 . В уравнениях перегородок

перейдем к обратным функциям : y = 2x x = y/2, y = x2/2 x =

5. D: 0 y 8 , y/2 x

Ответ. J =

Пример 2. Изменить порядок интегрирования J =

Решение.

  1. D: 1 x 2 , x y 2x

  2. D: x = 1, x = 2, y = x, y = 2x

  3. Точки пересечения: (1;1), (1;2), (2;2), (2;4)

Движение вдоль коридора || Oy (1x 2) идет от прямой

y = x до прямой у = 2х . Движение вдоль коридора || Ox

начинается либо на прямой х = 1, либо на прямой y = 2x

и завершается соответственно на прямых y = x, x = 2.

Поэтому D приходится разделять на два коридора || Oх :

D = D1 + D2

  1. D1 : 1 y 2 , 1 x y

  2. D2 : 2 y 4 , y/2 x 2

Ответ. J = +


Задачи для самостоятельного решения

Задание 1. Изменить порядок интегрирования

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) ,

7) , 8) , 9) ,

10) , 11) , 12) ,

13) , 14) , 15)

Пример 3. Вычислить интеграл J = , где D: y = x , y = 2x , x = 2 .

Решение.

  1. Вычислим точки пересечения линий 2. Построение рис. области D.

(2;2), (2;4), (0;0)

  1. Выберем коридор || Оу , его ширина 0 x 2 ,

а движение по коридору от y = x до y = 2x.

  1. D: 0 x 2, x y 2x . 5. J =

  1. Вычислим внутренний интеграл: J1 = x= x siny |x2x = x(sin 2x – sin x)

  2. J = . Проводим интегрирование по частям и получаем

J = cos 2 – cos 4 +1/4 sin4 – sin 2


Пример 4. Вычислить интеграл J = , где : y = 2 – x2 , y = -1 .

Решение.

  1. Вычислим точки пересечения линий 2. Построение рис. области D.

x2 = 3 (-;-1) , (;-1)

3. Выберем коридор || Оу, его ширина -x ,

а движение по коридору от y = -1 до y = 2 – x2.

4. D: -x , -1 y 2 – x2 , 5. J =

6. Вычислим внутренний интеграл: J1 == (½ x2y2 + xy )=

= ½ [x6 -4x4 -2x3 –4x2 +2x +4]. 7. J = ½ =

= ½ [ x7/7 - 4x5/5 – 2x4/4 – 4x3/3 + 2x2/2 + 4x ] =


Задачи для самостоятельного решения

Задание 2. Вычислить интегралы :

1) , где : y = x2 + 1 , x = 1 , x = 0 , y = 0 .

2) , где : y = x2 , y = - , x = 1 .

3) , где : y = x3, y = 3, x = 0.

4) , где : y = x , y = 2x , x = 2 .

5) , где : y = x2 – 2 , y = 2 .

6) , где : y = x2 , y = 2 – x2 , x  0 .

7) , где : y = /4, y = /2, x = 1, x = 2 .

Преобразования плоских областей.

Замена переменных в двойных интегралах связана с переходом от прямоугольной системы координат хОу к криволинейной системе координат uOv , где элементу площади dxdy будут соответствовать элемент площади |J| dudv. Якобиан J - коэффициент искажения плоскости. В полярной системе координат dxdy r d dr.

Применять переход к полярным координатам удобно в случаях, когда D является кругом с центром в начале координат или его сектором – круговым или криволинейным, а также, если в функцию f(x,y) переменные входят в виде x2 + y2 .

D – круг радиуса R f(x,y) dxdy =

D – круговой сектор f(x,y) dx dy =



Dкриволинейный сектор, замкнутый одной линией с полярным уравнением

r = r( ) ,

f(x,y) dx dy =

D – криволинейный сектор, замкнутый двумя линиями с полярными уравнениями

r = r1( ) , r = r2( ) ,

f(x,y) dx dy =


Пример 5. Вычислить интеграл J = , где : x2 + y2 = 2x .

Решение.

1. x2 + y2 = 2x x2 – 2x + 1 + y2 = 1 (x – 1)2 + y2 = 1

Переход к каноническому уравнению

окружности, центр (1;0), R = 1.

Построение рис. области D.

2. J = { x = r cos, y = r sin } - переход к полярной

системе координат и построение полярного уравнения

x2 + y2 = 2x r2cos2 + r2sin2 = 2r cos r = 2 cos

3. Пределы изменения угла находим из значения r в начале координат

r = 2 cos  = 0  = /2 , - /2 /2 , кроме того, = r

4. J = . 5. Вычислим внутренний интеграл

J1 = = r3/3 = 8/3 cos3 , J = 8/3 = 32/9


Задание 3. Вычислить интегралы :

1) , где: x2 + y2 = 9. 2), где : x2 + y2 = 4у

3) , где : x2 + y2 = 4 , x2 + y2 = 9 .


Скачать файл (1021.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru