Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

ВМ 3 семестр - файл практика крив ин-л.doc


Загрузка...
ВМ 3 семестр
скачать (1021.5 kb.)

Доступные файлы (10):

лВекторный анализ 1.doc389kb.16.01.2011 21:15скачать
лВекторный анализ 2.doc613kb.16.01.2011 21:16скачать
лКратные интегралы.doc354kb.16.01.2011 21:35скачать
лРяды.doc469kb.16.01.2011 21:35скачать
лУравнения матфизики.doc682kb.16.01.2011 21:35скачать
практика 2 интеграл.doc322kb.16.01.2011 21:36скачать
практика 3 интеграл.doc318kb.16.01.2011 21:36скачать
практика крив ин-л.doc352kb.16.01.2011 21:37скачать
практика по УМФ.doc233kb.16.01.2011 21:37скачать
Практ.теории поля.doc601kb.16.01.2011 21:34скачать

практика крив ин-л.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Кафедра «Высшей Математики»


ПРАКТИКУМ

по теме «Криволинейный интеграл»


Задача: Кусочно-гладкая кривая линия L на плоскости соединяет точки А и В и определяется уравнением y = y(x) , [a,b] или x = x(t), y = y(t) (t1<t<t2). Вдоль кривой распределены массы с плотностью f(M) для каждой точки М. Вычислим общую массу всей системы метод интегральной суммы.

Опр. Криволинейным интегралом 1-ого рода от функции f(x,y) вдоль кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки с длиной si и постоянной плотностью f(xi, yi). Переменной интегрирования является длина кривой s.

J = lim f(xi, yi) si f(x,y) ds f(x,y) ds ( 1 )


n

Механический смысл криволинейного интеграла 1 рода : общая масса тел распределенных вдоль кривой с переменной плотностью.

Криволинейный интеграл сводится к обыкновенному определенному интегралу несколькими способами, в зависимости от способа описания кривой L.


1) Кривая L задана параметрически : x = (t) , y = (t) , t1tt2 .

Тогда, длину отдельного отрезка можно представить в виде

s == и при n

sds =dt

J =f(x,y) ds = f((t) ,(t)) dt ( 2 )


2) Кривая L задана явным уравнением : y = y(x) на [a,b] .

Тогда s = или ds = dx . В результате имеем

J = f(x,y) ds = f(x,y(x)) dx ( 3 )


Замена в f(x,y) переменной у на y(x) означает переход к значениям функции на кривой.

При f(x,y) = 1 интеграл определяет длину дуги : S = dx

Пример 1. Определить длину дуги кривой y = x2/2 - 1 , отсеченной осью Ох.

Решение.

Точки пересечения линий: (-,0), (,0)

y = x2/2 – 1 , y` = x , = , - x


S = dx = dx = + ln ()


Пр. 2 Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды x = t –sin t, y = 1 –cos t, 0 t  

Решение: Координаты центра тяжести однородной дуги кривой ^ L вычисляются по формулам : xc = , yc = , где s – длина дуги. ( 4 )

Имеем (x`t)2 + (y`t)2 = (1 – cos t)2 + (sin t)2 = 2(1 – cos t) = 4 sin2(t/2) , тогда по ( 2 )

ds = 2 sin(t/2) dt и длина дуги S = ds = 2sin(t/2) dt = - 4 cos(t/2) |0 = 4

xc = = 2/4(t – sin t) sin(t/2) dt = 8/3

yc = = 2/4(1 – cos t) sin(t/2) dt = 4/3


^ Задачи для самостоятельного решения

Определить длину кривой : 1) y = ln (sin x) от x = /3 до x = 2/3 ;

2) y = ln(1 – x2) от x = - ½ до x = ½ ; 3) x = t2 , y = t(t2 – 3) /3 между точками пересечения с осью Ох.


Опр. Криволинейным интегралом 2-ого рода от функции f(x,y,z) вдоль пространственной кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки. Переменной интегрирования является не длина кривой, а её проекции на ось Оx или Оу или Oz .

J = lim f(Mi) xi f(x,y,z) dx ; J = lim f(Mi) yi f(x,y,z) dy

J = lim f(Mi) zi f(x,y,z) dz


Объединяя эти интегралы приходим к общему виду криволинейный интеграл 2-ого рода

J =P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz Pdx + Qdy + Rdz ( 5 )


Интеграл 2-ого рода меняет знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования.


Вычисление интегралов

  1. Кривая L задана параметрически : x =(t), y = (t), z = (t), t1tt2 .

Тогда, dx = `dt , dy = `dt , dz = `dt и для плоской кривой имеем

Pdx + Qdy = [P((t),(t),(t))(t)` + Q((t),(t),(t))`(t)]dt ( 5 )

2) Кривая L задана явным уравнением : y = y(x) на [a,b] . Тогда dy = y`(x)dx и

P(x,y)dx + Q(x,y)dy =[P(x, y(x)) + Q(x,y(x)) y`(x)] dx ( 6 )

Замена переменной у на y(x) означает переход к значениям функции на кривой.


Пример 2. Вычислить, где L: y = x2 +1 от точки А(0, 1) до точки В(1, 2)

Решение. y = x2 + 1 , dy = 2x dx , 0 x 1

J = = = = [2x4/4 + 4x2/2] = 2,5


Пример 3. Вычислить J = , где L : x = t2 , y = t , 1  t  2 .

Решение. x = t2 , dx = 2t dt , y = t , dy = 1 dt , 1  t  2

J = = [ t2 t 2t + t2 1 ] dt = [ 2t5/5 + t3/3 ] = 14


^ Задачи для самостоятельного решения

1) Вычислить , где L : y = x2 + 1 от точки А(0, 1) до точки В(1, 2) .

2) Вычислить , где L : y = x2 от точки А(1, 1) до точки В(2, 4) .

3) Вычислить , где L: y = x от точки А(2, 2) до точки В(3, 3)

4) Вычислить по любому пути от точки А(2, 3) до В(5, 5) .

5) Вычислить , где L : x = 2 cos t , y = 2 sin t , t  [0, /2] .

6) Вычислить , где L : x = t2 + 1 , y = t – 4 , 1  t  2 .

7) Вычислить , где L : прямая от А(1,1) до В(3,4) .


^ Формула Грина

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = ( 7 )

позволяет криволинейный интеграл 2 рода по контуру L свести к двойному интегралу по области D , ограниченной контуром L. Во многих случаях такая замена может существенно упростить решение задачи.


Пример 4. Вычислить J = -x2y dx + xy2 dy , где L : x2 + y2 = R2 .

Решение. P = - x2y , P/y = - x2 ,

Q = xy2 , Q/x = y2 , Q/x - P/y = y2 + x2

J = (y2 + x2) dxdy = {x = r cos , y = r sin } = = 2R4/4


Пример 5. Вычислить J = , где L: y = x2 , y = 3 .

Решение. P = xey , P/y = xey

Q = 2x2 y , Q/x = 4xy , Q/x - P/y = x( 4y – ey )

D: y = x2 , y = 3 ; (-; 3) , (; 3)

Выберем коридор || Оу, его ширина -x ,

а движение по коридору от y = x2 до y = 3 .

D: -x , x2 y3

J = x( 4y – ey ) dxdy = , J1 = =

= x(2y2 – ey)= 18x – xe3 – 2x5 + x , J = [18x – xe3 – 2x5 + x] dx =

= = sh

Задачи для самостоятельного решения

По формуле Грина вычислить следующие интегралы :

1) J = , где L: y = 6 – x2 , y = 3 .

2) J = , где L: y = x2 , y = 2 , x = 0.

3) J = , где L: x2 + y2 = x.

4) J = , где L: xy = 1, x = 0, y = 1, y = 2.

5) J = , где L: x2 + y2 = 4 .


Условия независимости
^

от пути интегрирования криволинейных интегралов 2 рода вдоль кривой L от т.А до т.В :


1) если его значение по произвольному замкнутому контуру равно 0

Pdx + Qdy + Rdz = 0 (8)

2) если его подынтегральное выражение является полным дифференциалом функции трех переменных U(x,y,z)

Pdx + Qdy + Rdz = dU ( 9 )

3) если выполняются следующие равенства для частных производных от подынтегральных функций

= , = , = ( 10 )

В случае выполнения этих условий вычисляют первообразную функцию U(x,y,z) по полному дифференциалу. Для этого проводят интегрирование dU от А(x0,y0,z0) до В(x,y,z) по контуру, состоящему из прямых || координатным осям и получают сумму трех простейших определенных интегралов.

Интегрирование dU(х,у) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy

от А(x0,y0) до В(x,y) по такому контуру дает

U(x,y) = + + С ( 11 )

Пример 6. Вычислить J =

Решение. Т.к. = = 2у , то интеграл не зависит от пути.

Вычислим интеграл вдоль ломаной ОАВ, где А(1,0), В(1,2)

ОА: y = 0, dy = 0, 0x1 JOA = = - 1

AB: x = 1, dx = 0, 0y2 JAB = = 10 ; J = JOA + JAB = 9

Пример 7. Найти U(x,y), если dU = x sin 2y dx + x2cos 2y dy

Решение. Проверка на полный дифференциал = = 2x cos2y . В формуле (11) положим А(0,0). Тогда U(x,y) = + + С = ½ x2sin2y + C

Проверка : = x2cos 2y , = x sin 2y .


Скачать файл (1021.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru