Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Решение лабораторной работы №2 по теории вероятностей и матстатистике (Вариант 5) - файл 1.docx


Решение лабораторной работы №2 по теории вероятностей и матстатистике (Вариант 5)
скачать (170.7 kb.)

Доступные файлы (1):

1.docx171kb.16.11.2011 19:40скачать

содержание
Загрузка...

1.docx

Реклама MarketGid:
Загрузка...

Федеральное агентство по образованию




Государственное образовательное учреждение


высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный
инженерно-экономический университет»



Факультет информационных систем в экономике и управлении

Кафедра информационных систем в экономике


Отчет

по лабораторной работе №2
«Случайные одномерные величины»

Вариант №5


Выполнил:

Жибуртович Алексей

группа 3691


Преподаватель:

Блинова В.Г.


Специальность 230201 – Информационные системы и технологии


Санкт-Петербург

2010




Задача 1

В лотерее на 100 билетов разыгрывается 5 выигрышей по 200 рублей. Некто приобрел 5 билетов по 30 рублей каждый. Случайная величина Х – его чистый выигрыш.

  1. Составить таблицу распределения случайной величины Х

  2. Построить многоугольник распределения

  3. Найти функцию распределения и построить её график

  4. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х

Задание №1

Известно, что некто потратил на билеты 5*30=150р

Количество выигрышных билетов может колебаться от 0 до 5

Тогда возможные значения случайной величины:

0 выигрышных билетов: 0-150=-150

1 выигрышный билет: 200-150=50

2 выигрышных билета: 400-150=250

3 выигрышных билета: 600-150=450

4 выигрышных билета: 800-150=650

5 выигрышных билетов: 100-150=850

Найдем вероятности этих значений:


Для этого найдем вероятность того, что 1 случайно взятый билет окажется выигрышным: 5100=0.05

Далее будем использовать формулу Бернулли


Для Х=-150

PX=-150=C50(1-0.05)5×0.050=0.955=0.774

Для Х=50

PX=50=C51(1-0.05)4×0.051=5!1!×4!0.954×0.051=5×0.954×0.051=0.204

Для Х=250

PX=250=C52(1-0.05)3×0.052=5!3!×2!0.953×0.052=10×0.954×0.051=0.021

Для Х=450

PX=450=C53(1-0.05)2×0.053=5!2!×3!0.952×0.053=10×0.952×0.053=0.00113

Для Х=650

PX=650=C54(1-0.05)1×0.054=5!4!×1!0.951×0.054=5×0.951×0.054=0.00002969

Для Х=850

PX=850=C55(1-0.05)0×0.055=1×0.055=0.00000031


Таблица распределения случайной величины Х

Х

-150

50

250

450

650

850

Р

0.774

0.204

0.021

0.00113

0.00002969

0.00000031

Задание №2

Многоугольник распределения случайной величины Х




Задание №3

Функция распределения случайной величины Х:

F(X)=0; X<-1500.744;-150<X≤500.774+0.204=0,977;50<X≤250 0.774+0.204+0.021=0.99884;250<X≤4500.774+0.204+0.021+0.00113=0.99997;450<X≤6500.774+0.204+0.021+0.00113+0.00002969=0.999999688;650<X≤8500.774+0.204+0.021+0.00113+0.00002969+0.00000031=1;X>850

График функции распределения:




После Х=250 значения функции распределения очень близки к 1, поэтому на графике практически равны 1.

Задание №4

Найдем математическое ожидание:


MX=0.774×-150+0.204×50+0.021×250+0.00113×450+0.00002969××650+0.00000031×850=-100.122

Найдем дисперсию:

DX=0.774×-1502+0.204×502+0.021×2502+0.00113×4502+0.00002969×6502+0.00000031×8502-(-100.122)2=9454.691

Найдем среднеквадратическое отклонение:

σX=9454.691≈97.2

Задание №5

Найдем вероятность P(X>0)

PX>0=1-PX=-150=1-0.774=0.226


Задача 2

Непрерывная случайная величина Х задана с помощью функции распределения:

FX=Аx2+B, x≥1;0, x≤1

  1. Найти неизвестные коэффициенты;

  2. Построить график функции распределения;

  3. Найти функцию плотности вероятностей и построить её график;

  4. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х;

  5. Найти вероятность P(0<P<3)





Задание №1

Найдем неизвестные коэффициенты

Известно, что функция F(X) непрерывна во всех точках, следовательно:

F1=0F1=A+B⇒B=-A

FX=0, x≤1Ax2-A, x≥1

Найдем плотность вероятности:

fx=F'X=0, x≤1Ax2-A, x≥1


Используем свойство нормированности:

-∞+∞fxdx=1

-∞+∞fxdx=-∞10dx+1+∞-2Ax3dx=A1+∞-2x3dx=A1x21+∞=A1∞2-112=1⇒

⇒A=-1

Тогда функция распределения:

FX=0, x≤1-1x2+1, x≥1


Задание №2

Построим график функции распределения:




Задание №3

Плотность вероятности равна производной функции распределения:


fx=F'X=0, x≤12x3, x≥1

График плотности:




Задание №4

Найдем математическое ожидание:

MX=-∞+∞fx×xdx=-∞10xdx+1+∞2xx3dx=1+∞2x2dx=-2x1+∞=-2∞+21=2

Найдем дисперсию:

^ DX=-∞+∞fx×x2dx-(MX)2 -∞10x2dx+1+∞2x2x3dx-4=1+∞2xdx-4==2lnx1+∞-4=2ln∞-2ln1-4=∞-4=∞

Найдем среднеквадратическое отклонение:

σX=∞=∞


Задание №5

Найдем вероятность P(0<X<3):

P0<X<3=F3-F0=-19+1-0=89≈0.889


Задача 3

Непрерывная случайная величина Х задана с помощью функции плотности распределения:

fx=Alnx, 1<x<e;0, x≤1, x≥e

  1. Найти неизвестный коэффициент;

  2. Построить график функции плотности вероятностей;

  3. Найти функцию распределения и построить её график;

  4. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х;

  5. Найти вероятность P(2<P<3)


Задание №1

Найдем неизвестный коэффициент:

Используем свойство нормированности:

-∞+∞fxdx=1

-∞+∞fxdx=-∞10dx+1eAlnxdx+e+∞0dx=1eAlnxdx=поu=lnxdv=1частямdu=1xv=x=


=A(lnx)1e-A1e dx=Aelne-1ln1-Ax1e=Ae-Ae-1=A⇒A=1

fx=0, x≤1lnx, 1<x<e;0, x≥e


Задание №2

График плотности вероятностей:




Задание №3

Найдем функцию распределения:

FX=-∞xfxdx

  1. Если 1≤x, то
    FX=-∞xftdt=-∞x0dt=0

  2. Если 1<x<e, то



FX=-∞xftdt=-∞10dt+1xlntdt= -∞xtdt=(tlnt)1x-1xdt=


=xlnx-1ln1-t1x=xlnx-x-1=xlnx-x+1

  1. Если x≥e, то

FX=-∞xftdt=-∞10dt+1elntdt+e+∞0dt=1elntdt=tlnt1e-1edt=

=elne-1ln1-(x)1e=elne-e-1=e-e+1=1


^ Fx=0, x≤1xlnx-x+1, 1<x<e;1, x≥e

График функции распределения:




Задание №4

Найдем математическое ожидание:

MX=-∞+∞fx×xdx=-∞10dx+1exlnxdx+e+∞0dx=1exlnxdx=поu=lnxdv=xчастямdu=1xv=x22

=x22lnx1e-1ex2dx=(e2lne-122ln1)-x241e=e22lne-(e24-124)=

=e22-e24+14=e24+14≈2.097


Найдем дисперсию:

DX=-∞+∞fx×x2dx-(MX)2=-∞10x2dx+1ex2lnxdx+e+∞0x2dx-(2.097)2

=1ex2lnxdx-=(2.097)2=поu=lnxdv=xчастямdu=1xv=x22=x33lnx1e-1ex23dx-(2.097)2=

=(e33lne-133ln1)-x391e-(2.097)2=e33-e39-139-(2.097)2=



=e33-e39+139-(2.097)2=2e39+19-(2.097)2=0.178

Найдем среднеквадратическое отклонение:

σX=0.178≈0.422

Задание №5

Найдем вероятность P(2<X<3):

P2<X<3=F3-F2=1-2ln2+2-1=2-2ln2=0.614


Задача 4

Заданы функция плотности нормального распределения fx=Ae- (0.5x-1)22

И интервал (-4;8).

  1. Найти математическое ожидание m;

  2. Найти среднее квадратическое отклонение σXи дисперсию D;

  3. Найти неизвестный коэффициент А;

  4. Найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал;

  5. Построить график функции плотности и на нем отметить площадь, равную найденной вероятности.


Задание №1

Плотность вероятности нормального распределения:

fx=1σ2πe-(x-μ)22σ2

Математическое ожидание m=μ

Чтобы найти m, представим выражение степени в виде -(x-μ)22σ2

-(0.5x-1)22=-14(x-2)22=-(x-2)28=-(0.5x-1)22×(4)2=-(x-2)22×22

Из этого выражения m=μ=2


Задание №2

Среднее квадратическое отклонение σX=2 (см. уравнение выше)

Дисперсия равна D=σ2X=4


Задание №3

Коэффициент А находим по формуле плотности нормального распределения:

A=1σ2π=122π≈0.2


Задание №4

Вероятность попадания случайной величины в интервал (-4;8) найдем по формуле:

Pα≤x≤β=Фβ-μσ-Фα-μσ

Где Ф(x) – функция Лапласа (значения берутся из таблицы):

P-4≤x≤8=Ф8-22-Ф-4-22=Ф3-Ф-3=Ф3+Ф3=2Ф3=2×0.49865≈0.977



Задание №4

График функции плотности и площадь:


Задача 5

Производится серия выстрелов из орудия до первого попадания в цель. Определить вероятность попадания в цель при одном выстреле, при которой среднее число всех выстрелов будет равно 10. Использовать геометрическое распределение вероятностей. Найти также вероятность того, что будет сделано не менее 5 выстрелов.


Решение:

Для геометрического распределения математическое ожидание (среднее число всех выстрелов) равно:

Mx=1p

По условию: 1p=10⟹p=110 (p - вероятность попадания в цель при одном выстреле, при которой среднее число всех выстрелов будет равно 10)


Геометрическое распределение случайной величины х (количество выстрелов до первого попадания):

p×(1-p)x-1, где р-вероятность попадания.

Вероятность того, что будет сделано не менее 5 выстрелов (используем обратное событие, чтобы облегчить вычисление):

PX≥5=1-PX<5=1-P×X=1-P×X=2-P×X=3-P×X=4=1-0.1-0.1×0.9-0.1×0.92-0.1×0.93=0.6561


Скачать файл (170.7 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru