Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Софарова И.С. Лекции по математической теории вероятностей (2 курс) - файл n1.doc


Софарова И.С. Лекции по математической теории вероятностей (2 курс)
скачать (1035.5 kb.)

Доступные файлы (1):

n1.doc1036kb.25.12.2012 07:42скачать

Загрузка...

n1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Глава 2. Теорема сложения и умножения вероятностей

§1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящие в появлении события А, или событии В, или обоих этих событий.

Пример. Если из орудия произведены два выстрела и А – попадание при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле, то А + В – попадание при первом выстреле, или при втором выстреле, или в обоих выстрелах.

Суммой нескольких событий называется событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких парно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А1 + А2 + … + Аn) = Р(А1) + Р(А2) + … + Р(Аn).



Пример. В урне 20 шаров: 8 красных, 6 синих, 6 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Вероятность появления красного Р(А) = 8/20 = 2/5, синего Р(В) = 6/20 = 3/10. События А и В несовместимы, по теореме сложения

Р(А + В) = 2/5 + 3/10 = 7/10.



Пример. В лотерее 1000 билетов: из них на один билет падает выигрыш 500 руб, на 10 билетов – выигрыш по 100 руб, на 80 билетов – 20 руб, на 100 билетов – 8 руб, остальные невыигрышные. Найти вероятность выигрыша не менее 20 руб при покупке 1 билета.

Решение. Событие А – выиграть не менее 20 руб. Событие A может осуществиться, если наступит одно из несовместных событий: А1 – выигрыш 20 руб, А2 – 100 руб, А3 – 500 руб. События несовместимы, следовательно, А = А1 + А2 + А3. По теореме сложения вероятностей несовместных событий

Р(А) = Р(А1) + Р(А2) + Р(А3) = 50/1000 + 10/1000 + 1/1000 = 0,061.
Теорема. Сумма вероятностей событий А1, А2, … , Аn образующих полную группу, равна единице:

Р(А1) + Р(А2) + … + Р(Аn) = 1.
Пример. Круговая мишень состоит из трех зон: I, II, III. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле – 0,15, во вторую – 0,23, в третью – 0,17. Найти вероятность промаха.

Решение. Событие А – промах, противоположное событие Ā – попадание.

Событие Ā может осуществиться, если наступит одно из несовместных событий: А1 – попадание в первую зону, А2 – во вторую, А3 – в третью. События несовместимы, следовательно Ā = А1 + А2 + А3. По теореме сложения:

Р(Ā) = 0,15 + 0,23 + 0,17 = 0,55.

Событие А и Ā образуют полную группу, следовательно, Р(А) = 1 – Р(Ā) = 0,45.
Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р(А) + Р(Ā) = 1.



§2. Теорема умножения вероятностей
Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий.
Пример. Если А – деталь годная, В – деталь стальная, то АВ – деталь годная и стальная.
Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Пример. Если А, В и С – появление ''герба'' в первом, во втором и третьем бросаниях монеты, то АВС – выпадение ''герба'' во всех трех испытаниях.
Условной вероятностью РА(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило и выражается по формуле

РА(В) = Р(АВ)/Р(А).

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(AB) = Р(А)РА(В).

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

Р(А1А2…Аn) = Р(А1)РА1(А2)Р А1А2(А3)…РА1А2…Аn-1(Аn).

Для трех событий Р(АВС) = Р(А)РА(В)РАВ(С). Порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым

Р(АВС) = Р(А)РА(В)РАВ(С) = Р(B)РB(A)РВA(С) = Р(C)РC(В)Р(A).
Пример. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Событие А1 – извлечение белого шара при первом испытании, А2 – извлечение белого шара при втором испытании. Эти события совместны, следовательно извлечение двух белых шаров А = А1А2. Всего в урне 5 шаров. Вероятность извлечение белого шара при первом испытании Р(А1) = 2/5, вероятность извлечение белого шара при втором испытании при условии, что при первом испытании был извлечен белый шар РА1(А2) = 1/4. По теореме умножения совместных событий Р(А) = Р(А1А2) = Р(А1)РА1(А2) = (2/5)(1/4) = 0,1.
§3. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий
Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.е.

РА(В) = Р(В)

Если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В.

Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВ) = Р(А)Р(В).

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы.

События А, В, С попарно независимы, если А и В, А и С, В и С независимы.

Несколько событий называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Следствие 1. Вероятность совместного появления нескольких независимых событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Р(А1А2…Аn) = Р(А1)Р(А2)…Р(Аn).

Следствие 2. Если события А1, А2, … , Аn независимы, то противоположные им события Ā1, Ā2, …, Ān так же независимы.
Пример. Производится три выстрела по одной и той же мишени. Вероятность попадания при первом, втором и третьем выстрелах равна Р1 = 0,4; Р2 = 0,5; Р3 = 0,7. Найти вероятность того, что в результате этих трех выстрелов произойдет ровно одно попадание.

Решение. Событие А – ровно одно попадание в мишень; А1, А2, А3 – попадание при первом, втором и третьем выстрелах соответствено; Ā1, Ā2, Ā3 – промах при первом, втором и третьем выстрелах соответствено. Событие А может наступить, если первый стрелок попал, а второй и третий не попали А1 Ā2 Ā3; если второй стрелок попал, а первый и третий не попали Ā1 А2 Ā3; если третий стрелок попал, а первый и второй не попали Ā1 Ā2 А3:

А = А1 Ā2 Ā3 + Ā1 А2 Ā3 + Ā1 Ā2 А3.

Искомая вероятность


Р(А) = Р(А1 Ā2 Ā3) + Р(Ā1 А2 Ā3 ) + Р(Ā1 Ā2 А3);

Р(А) = Р(А1)Р(Ā2)Р(Ā3) + Р(Ā1)Р(А2)Р(Ā3) + Р(Ā1)Р(Ā2)Р(А3);

Р(А) = 0,40,90,3 + 0,60,90,3 + 0,60,90,7 = 0,06 + 0,09 + 0,21 = 0,36.
§4. Вероятность появления хотя бы одного события
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий А1, А2, … , Аn, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий Ā1, Ā2,…, Ān:

Р(А) = 1 – Р(Ā1)Р(Ā2)…Р(Ān).

Следствие. Если событие А1, А2, … , Аn имеют одинаковую вероятность, равную p, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий:


Р(А) = 1 – qn,

где q – вероятность противоположного события.
Пример. В типографии имеется 3 машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина.

Решение. Событие А – машина работает, противоположное событие Ā – машина не работает. Эти события образуют полную группу.

p + q = 1, q = 1 – p = 0,2, Р(А) = 1 – qn = 1 – 0,23 = 0,992.
§5. Теорема сложения вероятностей совместных событий
Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же опыте.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).

Замечание 1. Если два события независимы, то:

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A)P(B).

Замечание 2. Если два события зависимы, то:

P(A + B)=P(A) + P(B) – P(A)PA(B).

Замечание 3. Если два события несовместимы, то:

P(A + B) = P(A) + P(B).
Пример. Вероятность попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны P1 = 0,8, P2 = 0,9. Найти вероятность попадания при одновременном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение. Рассмотрим два способа решения.

  1. По условию события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) совместны и независимы. Вероятность того, что оба орудия попали

P(AB) = P(A)P(B) = 0,80,9 = 0,72.

Вероятность попадания при одновременном залпе хотя бы одним из орудий

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,8 + 0,9 – 0,72 = 1,7 – 0,72 = 0,98.

  1. Так как события А и В независимы, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий вычислим по формуле

P = 1 – q1q2,

где q1 и q2 вероятности событий, противоположных событиям А и В

q1 = 1 – 0,8 = 0,2, q2 = 1 – 0,9 = 0,1.

Вероятность появления хотя бы одного события:

P = 1 – q1q2 = 1 – 0,20,1 = 1 – 0,02 = 0,98.
§6. Формула полной вероятности
Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, …, Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

P(A) = P(B1)PB1 (A) + P(B2)PB2(A) + ... + P(Bn)PBn(A).
Пример. Имеется две группы людей. Вероятность того, что человек из первой группы будет партийный, равна 0,4, а второй – 0,6. Найти вероятность того, что выбранный наудачу человек является партийным.

Решение. Человек может быть выбран либо из первой группы (событие B1), либо из второй группы (событие B2). Вероятность того, что человек выбран из первого группы P(B1) = 0,5, из второй – P(B2) = 0,5.

Условная вероятность выбора из первой группы партийного PB1(A) = 0,4, из второй – PB1(A) = 0,6.

Вероятность выбора на удачу партийного человека вычислим по формуле полной вероятности:

P(A) = P(B1)PB1(A) + P(B2)PB2(A) = 0,50,4 + 0,50,6 = 0,2 + 0,3 = 0,5.
§7. Вероятность гипотез. Формулы Бейса
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий B1, B2, ..., Bn , образующих полную группу.

Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами.

Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности:

P(A) = P(B1)PB1(A) + P(B2)PB2(A) + ... + P(Bn)PBn(A).

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Выясним, как изменились вероятности гипотез после того, как появилось событие А.

По теореме умножения имеем P(AB1) = P(A)PA(B1) = P(B1)PB1(A). Выражая PA(B1), получим PA(B1) = P(B1)PB1(A)/P(A). Используя формулу полной вероятности, получим

PA(B1) = P(B1)PB1(A)/{P(B1)PB1(A) + P(B2)PB2(A) + ... + P(Bn)PBn(A)}.

По аналогии

PA(Bi) = P(Bi)PBi(A)/{P(B1)PB1(A) + P(B2)PB2(A) + ... + P(Bn)PBn(A)}.

Полученные формулы называют формулами Бейса (по имени английского математика).

Формулы Бейса позволяют переоценить вероятность гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.
Пример. Для участия в спортивных студенческих соревнованиях, выделено из первой группы – 4, из второй – 6, из третьей – 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадёт в сборную института, равны соответственно 0,9, 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. Какой группе вероятнее всего принадлежит этот студент?

Решение. Всего 15 студентов. Вероятность выбора из первой группы P(B1) равна 4/15; из второй группы P(B2) равна 6/15; из третьей группы P(B3) равна 5/15.

Вероятность попадания в сборную P(A) вычислим по формуле полной вероятности:

P(A) = P(B1)PB1(A) + P(B2)PB2(A) + P(B3)PB3(A);

P(A) = (4/15)0,9 + (6/15)0,7 + (5/15)0,8 = 11,8/15 = 59/75.

Найдём вероятность того, что выбранный студент попал в сборную из первой группы: PA(B1) = P(AB1)/P(A) = P(B1)PB1(A)/P(A) = (4/15)0,9/(59/75) = 18/59;

из второй PA(B2) = (6/15)0,7/(59/75) = (4,2/15)(75/59) = 21/59;

из третьей PA(B3) = (5/15)0,8(75/59) = 20/59.

Ответ: вероятнее всего студент принадлежит второй группе.




Глава 3. Повторение испытаний

§1. Формула Бернулли
Если происходит несколько испытаний, причем вероятность события A в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события A.

Пусть производиться n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться либо не появиться. Вероятность события в каждом испытании одна и та же, равная p. Вероятность ненаступления события в каждом испытании q = 1 – p.

Вычислим вероятность Pn(k) того, что при n испытаниях событие A осуществляется ровно k раз и не осуществляется nk раз по формуле Бернулли:

,

где pk qn - k – умножение вероятностей независимых событий; – столько можно составить сочетаний из n элементов и k элементов.

Пример. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включено 4 мотора; б) включены все моторы; в) выключены все моторы.

Решение.


1) ;

2) ;

3) .
§2. Локальная теорема Лапласа
Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, т.к. формула требует выполнения действий над очень большими числами.

Пример. Если p = 0,1, q = 0,9, n = 40, k = 20, то вероятность того, что при n испытаниях событие A осуществляется ровно k раз и не осуществляется nk раз . При вычислении можно пользоваться специальными таблицами логарифмов факториалов, но из-за округлений в итоге окончательный результат может значительно отличаться от истинного.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(k) того, что событие A появиться в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции:

, при , где .

Функция (x) четная: (–x) = (x).

Пример. Найти вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.

Решение. По условию k = 104, n = 400, p = 0,2, q = 1 – 0,2 = 0,8. Тогда

,


.
§3. Интегральная теорема Лапласа
Теорема. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(k1, k2) того, что событие A появится в n испытаниях от k1 до k2 раз (k1mk2), приближенно равна определенному интегралу:

, где ; .

Интегральную теорему Лапласа иногда записывают в форме

.

При решении используют таблицу для функции .



= Ф(x2) – Ф(x1), где ; .

Функция Ф(x) нечетная: Ф(–x) = –Ф(x).

Пример. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена:

а) не менее 70 и не более 80 раз; б) не более 70 раз.

Решение.

а) По условию k1 = 70, k2 = 80. Тогда

, ,

.

Значение функции Лапласа находим по таблице приложения 2. В таблице даны значения Ф(1,15) = 0,3749 и Ф(1,16) = 0,3770. В качестве ответа можно взять любое из этих значений или их среднеарифметическое:

P100(70;80)  2Ф(1,1547)  2(Ф(1,15) + Ф(1,16))/2 = 0,7519.

б) По условию k1 = 0, k2 = 70. Тогда

, x2  –1,1547,

P100(0;70)  Ф(x2) – Ф(x1) = Ф(–1,1547) – Ф(–17,32) = Ф(17,32) – Ф(1,1547).

Значение функции Лапласа находим по таблице приложения 2:

P100(0;70)  0,5 – 0,37595 = 0,12405.
§4. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
Найдем вероятность того, что отклонения относительной частоты m/n от постоянной вероятности p по абсолютной величине не превышает заданного числа > 0, т.е. найдем вероятность того, что осуществляется неравенство: .

Раскроем модуль или . Умножим эти неравенства на множитель : .

Используя теорему Лапласа, получим:

.
Пример. Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний p = 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,001.

Решение. = 0,001, p = 0,75,

.
Пример. Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью 0,6 можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появлений герба от вероятности p = 0,5 окажется по абсолютной величине не более 0,01?

Решение.

, , . По таблице находим

, , n 1764 раза.

Глава 4. Случайные величины

§ 1. Случайная величина. Дискретные и непрерывные

случайные величины
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, неизвестное заранее какое именно.

Будем обозначать случайные величины прописными буквами X, Y, Z, и их возможные значения – соответствующими строчным буквами – x, y, z.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, возможные значения с определенной вероятностью. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.
Пример.

1). Число появлений герба при трех бросаниях монеты: возможно 0; 1; 2; 3

2). Число самолетов, сбитых в воздушном бою: 0; 1; 2; …. N, где N – общее число самолетов.
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.
Пример.

1) Абсцисса точки попадания при выстреле.

2) Время безотказной работы лампы.
§ 2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Способы задания: таблично, аналитически, графически.

1).

X


x1

x2



xn

- возможные значения

P


p1

p2



pn

- вероятность возможных значений


События x1, x2, …, xn - образуют полную группу, т.е. р1 + р2 + … + рn = 1.

Такую таблицу называют рядом распределения случайной величины X.

2). Графическое изображение.

Для наглядности точки соединяются отрезками прямых. Такая фигура называется многоугольником распределения.
Пример. Игральная кость брошена 3 раза. Написать закон распределения числа появлений шестерки.

Решение. Вероятность появления шестерки при одном бросании p = 1/6, вероятность непоявления шестерки q = 1 – p = 5/6.

При трех бросаниях игральной кости шестерка может появиться либо 3 раза, либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения X таковы: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3. Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли: .

, ,

, .

Искомый закон распределения:

X


x1

x2

x2

x3

P


125/216

75/216

15/216

1/216


§ 3. Биноминальное распределение
Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появится либо не появиться, причем вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и равна p, то закон распределения вероятностей определяется формулой Бернулли: , которое называют биноминальным распределением вероятностей.

Запишем биноминальный закон в виде таблицы:

X

n

n – 1



k



0

P


pn

npn-1q



pkqn-k



qn


Пример. См. предыдущий.
§ 4. Распределение Пуассона
Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равно p и n велико, то закон распределения вероятностей массовых (n велико) и редких (p мало) событий определяется:

Pn(k) = ke/k!, где ? = рn.

Эта формула выражает закон распределения Пуассона.
Пример. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение 1 минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.

Решение. По условию n = 1000, р = 0,004, k = 5. Найдем ?: ? = рn = 4.

По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна

P1000(5) = 45e4/5!  0,15.
Рассмотрим события, которые наступают в случайные моменты времени.

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступаю в случайные моменты времени.

Интенсивность потока ? называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время длительностью t определяется формулой Пуассона

Pt(k) = (t)k/k!.

Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка и не зависит от начала его отсчета; при этом промежутки времени предполагаются непересекающимися.

Свойство отсутствия последствия характеризуется тем, что вероятность появления k событий за промежуток времени длительности t есть функция, зависящая только от k и t.

Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно, т.е. за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события.
Пример. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в 1 минуту, равно 5. найти вероятность того, что за две минуты поступит:

а) три вызова; б) менее трех вызовов.

Решение. Будем предполагать, что поток вызовов является простейшим.

а) По условию ? = 5, t = 2, k = 3. Вероятность того, что за две минуты поступит два вызова найдем по формуле Пуассона:

P2(3) = 103e10 /3!  0,0076.

б) События не поступило ни одного вызова, поступил один вызов и поступило два вызова несовместны, поэтому по теореме сложения искомая вероятность того, что за две минуты поступит менее трех вызовов, равна

P2(k < 3) = P2(0) + P2(1) + P2(2) = e10 + 10e10 + 102e10/2!  0,0028.
Глава. 5. Математическое ожидание дискретной случайной величины

§ 1. Числовые характеристики дискретных случайных величин
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина X задана законом распределения вероятностей:

X


x1

x2



xn

P


p1

p2



pn

Тогда математическое ожидание M(X) определяется равенством

M(X) = x1p1 + x2p2 + … + xnpn.

Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная величина (постоянная).

Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины:

.

На числовой оси возможные значения расположены слева и справа от математического ожидания. Поэтому его часто называют центром распределения.

X


x1

x2



xn



Р


p1

p2



pn



Р


p1

p2



pn

§ 2. Свойства математического ожидания


  1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

М(С) = С.

  1. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ) = С·М(Х).

  1. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

М(Х·Y) = М(ХМ(Y).

  1. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М(Х + Y) = М(Х) + М(Y).

Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытания при условии, что в каждом испытании вероятность появления события А равна р:

М(Х) = р·n.
Пример. Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.

Решение. Число независимых испытаний n = 20. В каждом испытании вероятность выигрыша р = 0,3. Искомая математическое ожидание

М(Х) = 20·0,3 = 6.
Пример. Найти математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.

Решение. Обозначим число очков, которое может выпасть на первой кости, через X и на второй – через Y. Запишем закон распределения числа очков для первой игральной кости

X


1

2

3

4

5

6

P


1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

Найдем математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на первой кости:

М(Х) = ·(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = = 3,5.

Очевидно, что и M(Y) = 3,5.

Искомое математическое ожидание

М(ХХ2) = М(Х1) ·М(Х2) = 3,5·3,5 = 12,25.
ГЛАВА 6. ДИСПЕРСИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
§1. Отклонение случайной величины от её математического ожидания.

Дисперсия дискретной, случайной величины



Для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг её математического ожидания, пользуются числовой характеристикой, которую называют дисперсией.

Пусть закон распределения случайной величины X известен:

Рассмотрим отклонение случайной величины Х от её математического ожидания Х - М(X). Это отклонение имеет следующий закон распределения:


XM(X)

x1 M(X)

x2 M(X)



xn M(X)


Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

М (Х М(X)) = 0.



Поскольку математическое ожидание отклонения равно нулю, то для определения степени рассеивания случайной величины вокруг её математического ожидания выделяют среднее значение квадрата отклонения.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

D(X) = M [(x - M(X))2].

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом её математического ожидания:

D(X) = M(X2) - (M(X))2.

§2. Свойства дисперсии
1) Дисперсия постоянной величины С равна 0:

D(С) = 0.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(CX) = С2D(X).

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсии этих величин:

D(X + Y) = D(X) + D(Y).

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсии этих величин:

D(X - Y) = D(X) + D(Y).
Пример. Найти дисперсию случайных величин, зная закон её распределения:

Х


0,1

2

10

20

Р

0,4

0,2

0,15

0,25

Решение. Найдем математическое ожидание случайной величины X:

М(X) = 0,10,4 + 20,2 + 100,15 + 200,25 = 0,04 + 0,4 + 1,5 + 5 = 6,94.

Найдем математическое ожидание случайной величины X2:

М(X2) = 0,120,4 + 220,2 + 1020,15 + 2020,25 = 0,004 + 0,8 + 15 + 100 = 115,804.

Найдем дисперсию:

D(X) = M(X2) – (M(X))2 = 115,804 – (6,94)2 = 67,6404.
Теорема. Дисперсия числа появление события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна

D(X) = nqp.



§3. Среднее квадратическое отклонение
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии:



размерность (X) совпадает с размерностью Х.

Теорема. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно:

.
Пример. Испытывается устройство, состоящее из трёх независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов таковы: p1 = 0,4, p2 = 0,5, p3 = 0,6. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение числа отказавших приборов.

Решение. Вероятность того, что ни один прибор не откажет:

Р(0) = q1q2q3 = 0,60,50,4 = 0,12.

Вероятность того, что один прибор откажет:

Р(1) = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3;

Р(1) = 0,40,50,4 + 0,50,60,4 + 0,60,50,6 = 0,08 + 0,12 + 0,18 = 0,38.

Вероятность того, что два прибора откажут:

P(2) = p1p2q3 + p1q2p3 + q1p2p3;

P(2) = 0,40,50,4 + 0,50,60,4 + 0,50,50,6 = 0,08 + 0,12 + 0,18 = 0,38

Вероятность того, что три прибора откажут:

P(3) = p1p2p3 = 0,50,60,4 = 0,12.

Проверка: P = 0,12 + 0,38 + 0,38 + 0,12 = 1.

Запишем закон распределения числа отказавших приборов:

Х


0

1

2

3

Р


0,12

0,38

0,38

0,12

Найдем математическое ожидание случайной величины X:

М(X) = 0 + 0,38 + 0,76 + 0,36 = 1,5.

Найдем математическое ожидание случайной величины X2:

М(X2) = 0 + 0,38 + 1,52 + 1,08 = 2,98.

Найдем дисперсию:

D(X) = M(X2) - (M(X))2 = 2,98 – 2,25 = 0,73.

ГЛАВА 7. Функция распределения вероятностей
случайной величины


§1. Определение функции распределения
Функцией распределения называют функцию F(х), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньше x, т.е.

F(x) = P(X < x).

Геометрически: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки x.

Иногда вместо термина "Функция распределения" используют термин "Интегральная функция".

Случайную величину называют непрерывной, если её функция распределения есть непрерывная, кусочно - дифференцируемая функция с непрерывной производной.
§2. Свойства функции распределения


  1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1]:

0  F(x)  1.

2) F(x) – неубывающая функция, т.е. F(x2)F(x1), если x2 > x1.

  1. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключённое в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(a ? X < b) = F(b) - F(a).

  1. Вероятность того, что непрерывная, случайная величина Х примет одно определённое значение, равна нулю. Тем самым имеет смысл рассматривать вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал, пусть даже сколько угодно малый.

  2. Если возможное значение случайной величины Х принадлежит интервалу (a, b) ,то:

F(x) = 0, при x ? a;

F(x) = 1, при xb.

6) Если возможное значение непрерывной случайной величины расположены на всей оси, то

; .
§3. График функции распределения
График функции распределения непрерывной случайной величины, возможные значения которой принадлежат интервалу (a, b) изображен на рис. 1.


График функции распределения дискретной случайной величины X, возможные значения которой заданы таблицей
X

1

2

3
P

0,3

0,3

0,4

изображен на рис. 2.






Пример. Построить график функции

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (2; 3).

Решение. График функции изображен на рис. 3. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключённое в интервале (2, 3), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(2 ? X < 3) = F(3) – F(2) = 1/2.



Пример. Построить график функции распределения дискретной случайной величины X заданной таблицей:
X

2

6

10
P

0,3

0,6

0,1




§4. Плотность распределения вероятностей непрерывной

случайной величины
Плотностью распределения вероятностей непрерывной, случайной величины Х называют функцию f(x) - первую производную от функции распределения F(x):

f(x) = F (x),

т.е. функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Для дискретной, случайной величины плотность распределения неприменима.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b) равна:

P(a < x < b) = .

Если f(x) - чётная функция, то P(- a < x < а) = P(|x| < a) .

Зная плотность распределения f(x), можно найти функцию распределения:

F(x) =.
Свойства плотности распределения

1) Плотность распределения неотрицательная функция: f(x)  0.

2) Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -? до +? равен единице:

.

3) Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b) , то .

Функция f(x) определяет плотность распределения вероятности для каждой точки Х, аналогично плотности массы в точки.
§5. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Математическим ожиданием непрерывной, случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b], называют:

М(x) = .

Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то М(x) = .

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата её отклонения:

D(x) = ; D(x) = .


Скачать файл (1035.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации