Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции - Аналитическая геометрия - файл 1.doc


Лекции - Аналитическая геометрия
скачать (699.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc700kb.15.11.2011 21:35скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
КРАТКИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ


Краткий конспект лекций по аналитической геометрии предназначен для самостоятельной работы студентов очной, очно-заочной и заочной форм обучения по дисциплине «Алгебра и геометрия». Содержит теоретический материал, примеры решения и контрольные вопросы по данному разделу высшей математики.


ОГЛАВЛЕНИЕ



Введение

4

Лекция 1. Метод координат

5

Лекция 2. Прямые на плоскости

8

Лекция 3. Прямые в пространстве

12

Лекция 4. Плоскости в пространстве

14

Лекция 5. Кривые второго порядка

18

Контрольные вопросы

23


ВВЕДЕНИЕ


Краткий конспект лекций по аналитической геометрии предназначен для самостоятельной работы студентов очной, очно-заочной и заочной форм обучения по дисциплине «Алгебра и геометрия». Содержит теоретический материал, примеры решения и контрольные вопросы по данному разделу высшей математики.


Лекция 1

Метод координат

Контрольные вопросы:

1. Расстояние между двумя точками и на плоскости.

2. Нахождение координат точки М, делящей в отношении λ заданный отрезок.

3. Нахождение площади треугольника по координатам его вершин.


^ Метод координат заключается в установлении соответствия между точками прямой (плоскости, пространства) и их координатами – действительными числами при помощи системы координат.

Прямоугольная система координат Оху на плоскости задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный отрезок.

Координатами точки М в системе координат Оху называются координаты радиус-вектора .

Расстояние между двумя точками и на плоскости вычисляется по формуле

. (1)

Координаты точки М, делящей в заданном отношении λ отрезок АВ, где , , , находятся по формулам

, . (2)

Если λ = 1, т.е. точка М делит отрезок АВ пополам, получаются формулы координат середины отрезка

, . (3)

Площадь треугольника с вершинами , , вычисляется по формуле

, где . (4)

Пример 1. Отрезок AB четырьмя точками разделён на пять равных частей. Определить координату ближайшей к A точки деления, если A(-3), B(7).

Решение.

Пусть - искомая точка; тогда .

Следовательно, по формуле находим , т.е. С(-1).


Пример 2. Известны точки А(1), В(5) – концы отрезка АВ; вне этого отрезка расположена точка С, причем ее расстояние от точки А в три раза больше расстояния от точки В. Определить координату точки С.

Решение.

Отметим, что . Таким образом,

, т.е. C(7).

Пример 3. Определить расстояние между точками и .

Решение.

По формуле (1) получим



Пример 4. Даны вершины треугольника АВС: , , . Определить координаты точки пересечения медиан треугольника.

Решение.

Найдем координаты точки D – середины отрезка АВ; имеем , . Точка М, в которой пересекаются медианы, делит отрезок СD в отношении 2:1, считая от вершины С. Следовательно, координаты точки М можно определить по формулам

, ,

т.е.

, .

В результате получаем

, .


Пример 5. Определить площадь треугольника с вершинами: , , .

Решение.

Используя формулу (4), получим

(кв.ед.).

Пример 6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M(-2;-5) параллельно прямой .

Решение.

Разрешив последнее уравнение относительно y, получим . Следовательно, в силу условия параллельности угловой коэффициент искомой прямой равен -3/4. Воспользовавшись уравнением , получаем , т.е. .

Пример 7. Даны вершины треугольника: А(2; 2), В(-2; -8) и С (-6;-2). Составить уравнение медиан треугольника.

Решение.

Находим координаты середин сторон ВС, АС и АВ:

, ,

, ,

, ,

Уравнения медиан находим с помощью уравнения прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение медианы АА1:

, или , т.е. .

Находим уравнение медианы ВВ1: поскольку точки В(-2; -8) и В1(-2;0) имеют одинаковые абсциссы, медиана ВВ1 параллельна оси ординат. Ее уравнение .

Уравнение медианы СС1: , или .

Пример 8. Даны вершины треугольника: А(0; 1), В(6; 5) и С(12; -1). Составить уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины С.

Решение.

По формуле найдем угловой коэффициент стороны АВ; имеем . В силу условия перпендикулярности угловой коэффициент высоты, проведенной их вершины С, равен -3/2. уравнение этой высоты имеет вид , или .


Лекция 2

Прямые на плоскости


Контрольные вопросы:

1. Общее уравнение прямой.

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

3. Уравнение прямой в отрезках.

4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

5. Уравнение пучка прямых.

6. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

8. Полярное уравнение прямой.

9. Нормальное уравнение прямой.

10. Угол между прямыми.

11. Условие параллельности двух прямых.

12. Условие перпендикулярности двух прямых.

13. Расстояние от точки до прямой.


1. Общее уравнение прямой. Всякое уравнение первой степени с двумя неизвестными х и у, т.е. уравнение вида

(1)

(где А, В, С – постоянные коэффициенты, причем ) определяет на плоскости прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой.

^ Частные случаи общего уравнения прямой:

1) если , то уравнение приводится к виду , где (это есть уравнение прямой, параллельной оси Ох);

2) если , то уравнение прямой приводится к виду , где (прямая параллельна оси Оу);

3) если , то уравнение приводится к виду (прямая проходит через начало координат).

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Если в общем уравнении прямой , то, разрешив его относительно у, получим уравнение вида

, (2)

где , . Его называют уравнением прямой с угловым коэффициентом.

3. Уравнение прямой в отрезках. Если в общем уравнении прямой , то, разделив все его части на (– С), получим уравнение вида

, (3)

где , .

4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Если прямая проходит через точку и ее направление характеризуется угловым коэффициентом k, то уравнение прямой имеет вид

. (4)

5. Данное уравнение (4) с различными значениями коэффициента k называют также уравнениями пучка прямых с центром в точке .

6. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Если прямая проходит через точки и , то уравнение прямой имеет вид

, (5)

где , .

7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Если прямая проходит через заданную точку перпендикулярно данному ненулевому вектору , то уравнение прямой имеет вид

. (6)

Вектор , перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором этой прямой.

8. Полярное уравнение прямой. Положение прямой в полярных координатах определено, если указано расстояние р. от полюса О до данной прямой и угол α между полярной осью ОР и осью l, проходящей через полюс О перпендикулярно данной прямой (рис.1).



Рис.1

Для любой точки на данной прямой имеем

. (7)

Прямоугольные координаты (х; у) точки М и ее полярные координаты связаны соотношениями:

(*)

(**)

где - полярный радиус, - полярный угол точки М (рис. 2).





Рис.2


9. Нормальное уравнение прямой. Если прямая определяется заданием p и α (рис. 3), то уравнение (7) прямой в прямоугольной системе координат имеет вид

. (8)

Уравнение (8) можно получить из общего уравнения прямой (1), умножив обе части данного уравнения на нормирующий множитель

, (9)

учитывая, что знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена ^ С общего уравнения прямой.



Рис.3

Пример 1. Привести уравнение к нормальному виду.

Решение.

Найдем нормирующий множитель .

Умножая данное уравнение на λ, получим искомое нормальное уравнение прямой: .


10. Угол между прямыми. Если прямые и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и соответственно, то тангенс угла между этими прямыми можно вычислить по формуле

. (10)

11. Условие параллельности двух прямых. Для того чтобы прямые и , заданные уравнениями с угловыми коэффициентами и соответственно, были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы .

Для того чтобы прямые и , заданные уравнениями и соответственно, были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы .

12. Условие перпендикулярности двух прямых. Для того чтобы прямые и , заданные уравнениями с угловыми коэффициентами и соответственно, были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы .

Для того чтобы прямые и , заданные уравнениями и соответственно, были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы .

13. Расстояние от точки до прямой. Если прямая задана уравнением и точка не принадлежит данной прямой, то расстояние от точки до прямой находится по формуле

. (11)

Пример 2. Найти расстояние от точки до прямой .

Решение.

По формуле (11) получаем .


Лекция 3

Прямые в пространстве


Контрольные вопросы:

1. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки.

2. Уравнение прямой в пространстве, заданной как линия пересечения плоскостей.

3. Канонические уравнения прямой в пространстве.

4. Параметрические уравнения прямой в пространстве.

5. Угол между двумя прямыми.

6. Условие компланарности двух прямых.

7. Угол между прямой и плоскостью.

8. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.


1. Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки , имеют вид

. (1)

2. Прямая может быть задана уравнениями двух плоскостей



пересекающихся по этой прямой.

3. Канонические уравнения прямой



определяют прямую, проходящую через точку параллельно вектору .

4. Параметрические уравнения прямой



5.Угол между двумя прямыми, заданными их каноническими уравнениями и , определяется по формуле

.

6. Необходимое и достаточное условие нахождения двух прямых, заданных их каноническими уравнениями, в одной плоскости (условие компланарности двух прямых):

.

Если величины не пропорциональны величинам , то указанное соотношение является необходимым и достаточным условием пересечения двух прямых в пространстве.

7. Угол между прямой и плоскостью определяется по формуле

;

условие параллельности прямой и плоскости:

;

условие перпендикулярности прямой и плоскости:

.

Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А1(4; -3; 1), А2(5; -3; 0).

Решение.

Используя формулу (1), получим

или .

Равенство нулю второй дроби означает, что прямая принадлежит плоскости у = – 3.


Лекция 4

Плоскости в пространстве


Контрольные вопросы:

1. Общее уравнение плоскости.

2. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

3. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно данному вектору.

4. Уравнение плоскости в отрезках.

5. Нормальное уравнение плоскости.

6. Угол между двумя плоскостями.

7. Условие параллельности плоскостей.

8. Условие перпендикулярности плоскостей.

9. Расстояние от точки до прямой.


1. Общее уравнение плоскости Р имеет вид

, (1)

где – нормальный вектор плоскости (рис. 1).





Рис.1

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1.Если , то оно принимает вид Ax+By+Cz=0. Этому уравнению удовлетворяет точка О(0;0;0). Следовательно, в этом случае плоскость проходит через начало координат.

2.Если C=0, то имеем уравнение Ax+By+D=0. Нормальный вектор перпендикулярен оси Oz. Следовательно, плоскость параллельна Oz; если В=0 – параллельна оси Oy, если A=0 – параллельна оси Ox.

3.Если C=D=0, то плоскость проходит через O(0;0;0) параллельно оси Oz, т.е. плоскость Ax+By=0 проходит через ось Oz. Аналогично, уравнениям By+Cz=0 и Ax+Cz=0 отвечают плоскости, проходящие соответственно через оси Ox и Oy.

4.Если A=B=0, то уравнение (14) принимает вид Cz +D=0, т.е. . Плоскость параллельна плоскости Oxy. Аналогично, уравнениям Ax+D=0 и By+D=0 отвечают плоскости, соответственно параллельные плоскостям Oyz и Oxz.

5.Если A=B=D=0, то уравнение () примет вид Cz=0, т.е. z=0. Это уравнение плоскости Oxy. Аналогично: y=0 – уравнение плоскости Oxz; x=0 – уравнение плоскости Oyx.

2. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки и имеет вид

. (2)

3. ^ Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно данному вектору. Если в пространстве Oxyz плоскость Р задана точкой и вектором , перпендикулярным этой плоскости (рис. 2), то уравнение плоскости имеет вид

. (3)



Рис. 2

4. Уравнение плоскости в отрезках. Если плоскость отсекает на осях Ох, Оу, Oz соответственно отрезки a, b, c (рис. 3), т.е. проходит через точки и, то уравнение плоскости имеет вид

. (4)



Рис. 3

Замечание. Уравнением (4) удобно пользоваться при построении плоскостей.

5. Нормальное уравнение плоскости. Положение плоскости Р определяется заданием единичного вектора , имеющего направление перпендикуляра ОК, проведенного на плоскость из начала координат, и длиной р этого перпендикуляра (рис. 4).



Рис. 4

Если α, β, γ – это углы, образованные единичным вектором с осями Ох, Оу, Oz соответственно, то уравнение плоскости имеет вид

. (5)

Замечание. Общее уравнение плоскости (1) можно привести к нормальному уравнению (15), умножив обе части уравнения (1) на нормирующий множитель , учитывая, что знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена D общего уравнения плоскости.

6. ^ Угол между двумя плоскостями, имеющими нормальные векторы и (рис. 5), определяется как угол между и ; косинус этого угла находится по формуле



или

. (6)



Рис. 5


Пример 3. Найти угол между плоскостью Р1, проходящей через точки А1(2; -4; 1), А2(-1; 2; 0), А3(0; -2; 3), и плоскостью Р2, заданной уравнением .

Решение.

Уравнение плоскости Р1 найдем по формуле (2):

, ,

т.е. или .

По уравнениям плоскостей определим их нормальные векторы: , . Угол φ между плоскостями Р1 и Р2 найдем по формуле (6):

,

откуда .

7. Пусть заданы две плоскости Р1 и Р2 в виде общих уравнений плоскостей , соответственно.

^ Условие параллельности плоскостей. Для того чтобы плоскости Р1 и Р2 были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы .

8. ^ Условие перпендикулярности плоскостей. Для того чтобы плоскости Р1 и Р2 были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы .

9. Расстояние от точки до прямой. Если прямая задана уравнением и точка не принадлежит данной прямой, то расстояние от точки до прямой находится по формуле

. (7)


Лекция 5

Кривые второго порядка


Контрольные вопросы:

  1. Окружность.

  2. Эллипс.

  3. Гипербола.

  4. Парабола.

  5. Общее уравнение кривой второго порядка.


1. Окружность – это множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра) на данное расстояние.

Если R – радиус окружности, точка С- ее центр, то уравнение окружности имеет вид

. (8)

Пример 4. найти координаты центра и радиус окружности .

Решение.

Разделим исходное уравнение на 2, сгруппируем выражения относительно х и у:

.

Дополним выражения, стоящие в скобках до полных квадратов:

или

.

Таким образом, координаты центра окружности , радиус окружности равен .

2. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают через ), причем эта постоянная больше расстояния между фокусами.

Если оси координат расположены по отношению к эллипсу так, как на рисунке 11, а фокусы эллипса находятся на оси Ох на равных расстояниях от начала координат в точках и , то получится простейшее (каноническое) уравнение эллипса:

. (9)

Здесь а – большая, b – малая полуось, причем а, b и с (с – половина расстояния между фокусами) связаны соотношением .





Рис. 6


Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется его эксцентриситетом .

Расстояния некоторой точки эллипса М от его фокусов называются фокальными радиус-векторами этой точки. Их обычно обозначают и . Для любой точки эллипса в силу определения .

Фокальные радиус-векторы выражаются через абсциссу точки эллипса по формулам: (правый фокальный радиус-вектор), (левый фокальный радиус-вектор).

3. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают через ), причем эта постоянная меньше расстояния между фокусами.

Если поместить фокусы гиперболы в точках и , то получим каноническое уравнение гиперболы

, (10)

где . Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат. Точки и называются вершинами гиперболы. Отрезок такой, что , называется действительной осью гиперболы, а отрезок такой, что , - мнимой осью. При этом .

Прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние точки М(х;у) гиперболы этой прямой стремится к нулю при или . Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых .

На рисунке 7 указано взаимное расположение гиперболы и ее асимптот. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы.




Рис.7

Фокальные радиус-векторы правой ветви гиперболы: (правый фокальный радиус-вектор), (левый фокальный радиус-вектор).

Фокальные радиус-векторы левой ветви гиперболы: (правый фокальный радиус-вектор), (левый фокальный радиус-вектор).

4. Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Если директрисой параболы является прямая , а фокусом – точка , то уравнение параболы имеет вид

. (11)

Эта парабола расположена симметрично относительно оси абсцисс (рис. 8, где ). При ветви параболы обращены в положительную сторону.





Рис. 8

Длина фокального радиус-вектора параболы определяется по формуле ().

5. Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид

, (12)

где A, B, C, D, E, F – произвольные действительные числа. Оно определяет на плоскости Оху эллипс, гиперболу или параболу (с возможными случаями распада и вырождения этих кривых) с осями симметрии, параллельными осям координат:

1) если , тогда определяемая этим уравнением кривая есть эллипс (действительный, мнимый или выродившийся в точку);

  1. если , тогда соответствующая кривая является гиперболой;

  2. если , тогда уравнение определяет параболу.

Если кривая второго порядка задана уравнением (12) то, применив преобразование поворота осей координат с использованием формул

, , (13)

следует при соответствующем выборе α освободиться в уравнении от члена с произведением координат и свести исходное уравнение к одному из трех вышеперечисленных типов.

Пример 5. Привести к каноническому виду уравнение

.

Решение.

1. Преобразуем данное уравнение, использовав формулы поворота осей координат:



или



Найдем α из условия , т.е. приравняем к нулю коэффициент при . Получим уравнение . Отсюда , .

Заметим, что эти значения соответствуют двум взаимно перпендикулярным направлениям. Поэтому, взяв вместо , мы только меняем ролями оси и (рис. 9).





Рис. 9

Пусть , тогда , ; возьмем положительные значения sinα и cosα. Тогда уравнение принимает вид

или



2. Выражения, стоящие в скобках, дополним до полных квадратов:



или

.

Приняв за новое начало точку , применим формулы преобразования координат , получим

или (уравнение эллипса).


Контрольные вопросы


  1. Дайте определение уравнения линии на плоскости.

  2. Приведите формулы различных видов уравнения прямой на плоскости (в пространстве).

  3. Приведите формулу вычисления угла между прямыми на плоскости (в пространстве).

  4. Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости (в пространстве).

  5. Как найти расстояние от точки до прямой на плоскости (в пространстве)?

  6. Докажите, что если две прямые параллельны, то их уравнения можно представить в таком виде, что они будут отличаться только свободными членами.

  7. В чем заключается метод координат на плоскости?

  8. Как расположены точки, имеющие одну и ту же проекцию на ось Ох? на ось Оу?

  9. Как расположена точка в прямоугольной системе координат, если одна ее координата равна нулю? две ее координаты равны нулю?

  10. Докажите, что во всяком прямоугольном треугольнике длина медианы, соединяющей вершину прямого угла с серединой гипотенузы, равна половине гипотенузы.

  11. Приведите формулы уравнений плоскости в пространстве.

  12. Приведите формулу угла между плоскостями.

  13. Приведите формулу угла между прямой и плоскостью.

  14. Какие линии называются кривыми второго порядка?

  15. Дайте определение окружности, приведите ее геометрические свойства.

  16. Найдите уравнение касательной к окружности в точке .

  17. Дайте определение эллипса, приведите его геометрические свойства.

  18. Выведите условие, при котором прямая касается эллипса .

  19. Докажите, что отношение расстояний от любой точки эллипса до фокуса и соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная ɛ.

  20. Дайте определение гиперболы, приведите ее геометрические свойства.

  21. Докажите, что длина перпендикуляра, опущенного из фокуса на одну из асимптот гиперболы, равна мнимой полуоси.

  22. Выведите условие, при котором прямая касается гиперболы .

  23. Дайте определение параболы, приведите ее геометрические свойства.

  24. Сформулируйте алгоритм приведения уравнений кривых второго порядка к каноническому виду.



Скачать файл (699.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru