Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Контрольная работа - Анализ зависимости объема потребления домохозяйства от располагаемого дохода - файл n1.rtf


Контрольная работа - Анализ зависимости объема потребления домохозяйства от располагаемого дохода
скачать (1196.1 kb.)

Доступные файлы (1):

n1.rtf1197kb.06.01.2013 15:30скачать

Загрузка...

n1.rtf

Реклама MarketGid:
Загрузка...
ВАРИАНТ № 4.

Для анализа зависимости объема потребления y (д.е.) домохозяйства от располагаемого дохода х (д.е.)отобрана выборка n = 10.


у

120

112

133

123

126

140

131

133

114

120

х

88

87

110

101

93

118

93

111

93

102



  1. Оценить силу линейной зависимости между х и y.

Оценить значимость коэффициента линейной корреляции при уровне значимости б = 10%.
Для оценки тесноты линейной зависимости между х и y вычислим коэффициент корреляции по формуле:




Представим исходные данные и расчетные показатели в виде расчетной таблицы.

Таблица 1

п/п

х

y

x2

xy

y2

1

88

120

7744

10560

14400

2

87

112

7569

9744

12544

3

110

133

12100

14630

17689

4

101

123

10201

12423

15129

5

93

126

8649

11718

15876

6

118

140

13924

16520

19600

7

93

131

8649

12183

17161

8

111

133

12321

14763

17689

9

93

114

8649

10602

12996

10

102

120

10404

12240

14400

Сумма

996

1252

100210

125383

157484

Среднее

99,6

125,2

10021

12538,3

1574,84


















Имеем:
уx2 = - = 10021 – 99,62 = 100,84;

уy2 = - = 15748,4 – 125,22 = 73,36



Значение коэффициента корреляции позволяет сделать вывод о достаточно тесной (прямой) линейной зависимости х и y.

Для проверки значимости коэффициента корреляции вычислим наблюдаемое значение статистики.




При б = 0,1, k = n – 2 = 8 по таблицам критических точек распределения Стьюдента находим t кр. = 1,86. Поскольку > t кр, то коэффициент корреляции rхy статистически значим, то есть имеется линейная зависимость между переменными x и y.



  1. Построить линейную регрессионную модель: предварительно расположить значения y в порядке возрастания значений x.

По методу МНК на основе имеющихся данных

рассчитать оценки параметров модели.
Согласно МНК для определения параметров a и b линейной регрессии ŷ = а + bх решаем систему нормальных уравнений вида:




Решение системы:

Представим исходные и расчетные данные в виде таблицы, предварительно расположив значения y в порядке возрастания значений х.
Таблица 2.

п/п

x

y

x2

xy

y2

ŷ

y - ŷ

(y–ŷ)2

A

(y-)2

1

87

112

7569

9744

12544

116,656

-4,656

21,68

4,16

174,24

2

88

120

7744

10560

14400

117,334

2,666

7,11

2,22

27,04

3

93

126

8649

11718

15876

120,724

5,276

27,84

4,19

0,64

4

93

131

8649

12183

17161

120,724

10,276

105,60

7,84

33,64

5

93

114

8649

10602

12996

120,724

-6,724

45,21

5,90

125,44

6

101

123

10201

12423

15129

126,149

-3,149

9,92

2,56

4,84

7

102

120

1044

12240

14400

126,827

-6,827

46,61

5,69

27,04

8

110

133

12100

14630

17689

132,252

0,748

0,56

0,56

60,84

9

111

133

12321

14763

17689

132,930

0,070

0,005

0,05

60,84

10

118

140

13924

16520

19600

137,677

2,323

5,40

1,66

219,04

Сумма

996

1252

100210

125383

157484

1252

0,00

269,94

34,83

733,6

Среднее

99,6

125,2

10021

12538,3

15748,4

125,2

0,00

26,994

3,48

73,36


Находим:
b = = 0,6781;

a = 125,2 – 0,6781·99,6 = 57,661

Уравнение парной линейной регрессии имеет вид:
ŷ = 57,661 + 0,6781х.
Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения ŷ (Таблица 2).
3. На одном чертеже отобразить график модели

и наблюдаемые значения.
Нанесем точки наблюдений (хi ; yi ), (где i = 1, 2, … 10) на декартову систему координат и отобразим график модели:

ŷ = 57,661 + 0,6781х. (рис. 1)

Рис. 1

4. Оценить качество уравнения регрессии:
а) Мерой общего качества уравнения регрессии является коэффициент детерминации R2 . В случае парной линейной регрессии
R2 =
Получим: R2 = 0,7952 = 0,632
Таким образом, вариация зависимой переменной у – объема потребления – на 63,2% объясняется изменчивостью объясняющей переменной х – располагаемым доходом домохозяйства.

Значение коэффициента детерминации свидетельствует о достаточно хорошем общем качестве построенного уравнения регрессии.
б) Оценим на уровне б = 0,05 значимость уравнения регрессии.

Уравнение регрессии значимо, если наблюдаемое значение статистики
F = > Fб; k1; k2 ;
где Fб; k1; k2 - табличное значение F – критерия Фишера, определенное на уровне значимости б при k1 = m и k2 =n – m -1 степенях свободы (n – число наблюдений, m – число параметров при переменных x).

Вычислим необходимые суммы квадратов. В таблице 2 найдены:
У(у - ŷ)2 = 269,94

У(у - )2 = 733,6

У(ŷ - )2 = 733,6 – 269,94 = 463,66

Получим:

F = 13,74

По таблице F – распределения F0,05;1;8 = 5,32.
Так как F > F0,05; 1; 8, то уравнение регрессии значимо, то есть достаточно качественно отражает динамику изменения зависимой переменной.

в) Рассчитаем величину средней ошибки аппроксимации по формуле:

(Расчет представлен в Таблице 2)
То есть в среднем расчетные значения ŷ отклоняются от фактических у на 3,48%.

Величина не превышает 5%, что говорит о хорошем подборе модели к исходным данным.

5. Проверить выполнимость предпосылок МНК.

Предпосылки МНК.
I. Случайное отклонение Еi есть величина случайная, а объясняющая переменная хi – величина не случайная. (i=1,2,…n).

II. Математическое ожидание случайного отклонения Еi равно нулю: М(Еi) = 0.

III. Дисперсия случайного отклонения постоянна для всех наблюдений: D(Еi) = D(Еj) = у2.

IV. Случайные отклонения Еi и Еj некоррелированы.

V. Случайное отклонение Еi - есть нормально распределенная случайная величина.
После оценки параметров модели разность фактических и теоретических значений зависимой переменной, то есть еi = уi - ŷ, определяет оценки случайного отклонение Еi (или остаток регрессии).
I. Проверим случайный характер остатков.

С этой целью строится график зависимости остатков еi от теоретических значений зависимой переменной ŷi. (рис. 2).


Рис. 2

На рисунке 2 остатки представляют собой случайные величины.

II. Вторая предпосылка МНК означает, что У (у - ŷ) = У еi = 0.

По данным таблицы 2, У (у - ŷ) = 0, то есть вторая предпосылка выполнена.
III. Дисперсия случайных отклонений Еi должна быть постоянной для всех наблюдений, то есть D(Еi) = D(Еj) = у2.

Выполнимость данного условия называется гомоскедастичностью, невыполняемость – гетероскедастичностью.

Наличие гетероскедастичности можно наглядно видеть из поля корреляции.

Поле корреляции представлено на рис. 1, на котором приведена зависимость переменной у от х, упорядоченных по возрастанию.

Представленная на рис. 1 диаграмма имеет пики, в целом подобный рисунок может соответствовать как гомо-, так и гетероскедастичной выборке. Чтобы определить, какая же именно ситуация имеет место, будем использовать тест ранговой корреляции Спирмена.

В качестве нулевой гипотезы H0 будем использовать гипотезу об отсутствии гетероскедастичности. Предполагается, что дисперсия случайного отклонения будет либо увеличиваться, либо уменьшаться с увеличением значений х, поэтому для регрессии, абсолютные величины остатков еi и значении хi будут коррелированны.

Значенияеi и хi ранжируются (упорядочиваются по величинам) и определяется коэффициент ранговой корреляции:
схе=1 -
где di – разность между рангами еi и хi.

Представим исходные данные и расчетные показатели в виде таблицы.
Таблица 3.

п/п

хi.




Ранг хi.

Ранг еi

d

1

87

4,656

1

6

25

2

88

2,666

2

4

4

3

93

5,276

4

7

9

4

93

10,276

4

10

36

5

93

6,724

4

8

16

6

101

3,149

6

5

1

7

102

6,827

7

9

4

8

110

0,748

8

2

36

9

111

0,070

9

1

64

10

118

2,323

10

3

49

Сумма

-

-

-

-

244


Находим: схе = 1 -

Оценим значимость схе:

t =

tkp (при б = 0,05; k = 8) = 2,31

Так как = 1,55 < tkp = 2,31, то схе – незначим, в этом случае гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается (III предпосылка выполнена).
IV. Предпосылка – отсутствие автокорреляции остатков.

Оценим наличие автокорреляции с помощью статистики DW Дарбина – Уотсона:
DW = ;

Составим расчетную таблицу.

Таблица 4.

п/п

еi

ei-1

(еi - ei-1)2

1

-4,66

-

-

2

2,67

-4,66

53,73

3

5,28

2,67

6,81

4

10,28

5,28

25

5

-6,72

10,28

289

6

-3,15

-6,72

12,74

7

-6,83

-3,15

13,54

8

0,75

-6,83

57,46

9

0,07

0,75

0,46

10

2,32

0,07

5,06

Сумма

-

-

463,8



Получим: DW =
По таблице критических точек Дарбина – Уотсона при n = 10 и уровне значимости б = 0,05 критические значения dн = 0,879 и dВ = 1,32. То есть фактически найденное DW = 1,718 находится в пределах от dВ до 4 - dВ (1,32 < 1,718 < 2,68). В этом случае гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется, то есть имеются основания считать, что автокорреляция остатков отсутствует.

6. Дать точечный прогноз потребления при доходе 100 д.е.
При доходе хр = 100 д.е. объем потребления у составит:
ŷхр = 100 = 57,661 + 0,6781 · 100 = 125,471 (д.е.)

7. Определить 95 % доверительный интервал

для полученного прогноза.
Для нахождения интервальной оценки прогноза рассчитаем ошибку прогнозируемого значения:

myp = S ;
Найдем:

S = ;

;

myp = 5.8 ;

Учитывая величину стандартной ошибки (myp = 6,084) и табличное значение t – критерия Стьюдента (tкр = 2.31 при б = 0,05; k = 8), вычислим интервальную оценку прогноза:
125,471 – 2,31·6,084 ? ухр ? 125,471 + 2,31·6,084
или
111,4 ? ухр ? 139,5
Таким образом, объем потребления для домохозяйств с располагаемым доходом 100 д.е. с надежностью 0,95 находится в пределах от 111,4 до 139,5 д.е.
8. Рассчитать коэффициент эластичности.
Коэффициент эластичности находится по формуле:
;

Для линейной регрессии

;
В силу того, что для линейной функции коэффициент зависит от значения переменной х, рассчитаем средний коэффициент эластичности:
;



  1. Построить степенную модель.

Оценить качество модели.
Построению степенной модели у = ахb предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:
lgy = lga + b lgx;
После замены переменных: Y = lgy; Х = lgx; С = lga, получаем линейное уравнение вида: Y = C + bX.
Для расчетов используем данные таблицы 5 (Приложение 1).
Рассчитаем:

;

;

Получим линейное уравнений:
;
Выполнив его потенцирование, получим степенную модель:

или

Подставляя в данное уравнение фактические значения переменной х, получим теоретические значения результата . (Таблица 5).
Оценим качество степенной модели.

а) Найдем коэффициент детерминации по формуле:

;

то есть вариация результата Y на 62,8% объясняется вариацией фактора Х.

Значение говорит о достаточно хорошем качестве уравнения регрессии.
б) Рассчитаем - критерий по формуле:

;

По таблице - распределения: . Так как > , то уравнение регрессии значимо.
в) Величина средней ошибки аппроксимации составит (расчет представлен в таблице 5, что говорит о хорошем качестве уравнения регрессии.



  1. Выбрать лучшую.

Сделать экономические выводы по построенной модели.
Выберем лучшую из рассмотренных моделей, сравнив основные показатели этих моделей.

Таблица 6.

Вид уравнения

Уравнение

Коэф - т детермина - ции

F – критерий Фишера

Средняя ошибка аппроксимации

Линейное




0,632

13,74

3,48

Степенное




0,628

13,5

3,53


Характеристики линейной модели указывают, что она несколько лучше степенной описывает взаимосвязь переменных Х и Y (При более высоком коэффициенте R2 имеет меньшую ошибку аппроксимации ). Поэтому предпочтение отдаем линейной модели:



Коэффициент b = 0,6781 показывает, что при увеличении располагаемого дохода Х на 1 д.е. объем потребления Y домохозяйства увеличится в среднем на 0,678 д.е.

Параметр а = 57,661 не имеет реального смысла в данном уравнении.







Скачать файл (1196.1 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru