Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Аксютин В.А. Лекции по ТОЭ - файл lk 06.doc


Загрузка...
Аксютин В.А. Лекции по ТОЭ
скачать (953.7 kb.)

Доступные файлы (14):

lk 01.doc331kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 02.doc497kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 04.doc95kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 05.doc346kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 06.doc157kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 07.doc267kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 08.doc251kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 09.doc420kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 10.docскачать
lk 11.doc101kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 12.doc491kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 13.doc428kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 14.doc316kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 15.doc190kb.21.11.2009 07:54скачать

lk 06.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...




VI. ЦЕПИ НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
6.1. Введение

В электротехнике, а особенно в радиотехнике, автоматике, измерительной и вычислительной технике режим, когда в обычной линейной цепи R – L – C действуют ЭДС разной частоты и протекают несинусоидальные токи, является достаточно обычным.


Например, в цепях после выпрямителя всегда присутствуют составляющие постоянного и переменного тока. В автоматике и телемеханике используются генераторы сигналов, отличных от синусоид (рис. 6.1). Даже в промышленной сети ~ тока всегда есть источники не только 50Гц, но и более высоких частот.

В принципе несинусоидальные токи в цепи возникают в следующих случаях:

- когда сам источник вырабатывает несинусоидальные ЭДС;

- когда в цепи есть нелинейные элементы;

- когда в цепи есть элементы с медленно изменяющимися параметрами R(t), L(t), C(t).

Ограничимся рассмотрением первого случая.

Явления в линейной цепи под действием несинусоидальных ЭДС исследуют, разложив несинусоидальную ЭДС на сумму постоянной составляющей и синусоидальных (гармонических) составляющих кратных частот.
6.2. Разложение несинусоидальных функций в ряд Эйлера-Фурье

Токи, напряжения, ЭДС, магнитные потоки, исследуемые в электротехнике, по своей природе являются функциями непрерывными, имеют ограниченное число минимумов или максимумов, то есть удовлетворяют условиям Дирихле. Если же они являются и периодическими, то могут быть представлены в виде дискретного гармонического ряда Фурье-Эйлера:

f(t) = A0 + A1m sin (t+ 1) + A2m sin (2t+ 2) + …

или в виде f(t) = A0 + Bkm sin(kt) + Ckm cos (kt),

где коэффициенты ряда определяются как интегральные величины:

A0 = (t)dt = (t)d(t),

Bkm = (t)sin(kt)dt = (t) sin(kt)d(t),

Ckm = (t)cos(kt)dt = (t) cos(kt)d(t),

Akm = , k = arctg .

Первая гармоника называется основной, так как имеет период, равный периоду исследуемого сигнала. Остальные гармоники имеют частоту, кратную основной.

Несинусоидальные функции могут иметь геометрически правильную форму, тогда их нетрудно описать аналитическими выражениями. Но чаще это кривые сложной формы, получаемые в виде осциллограмм или задаваемые таблично.

В этом случае их разложение в ряд выполняется графоаналитическим способом с использованием замены интегралов суммой конечного числа слагаемых. Период при этом разбивают на 18 –24 –36 интервалов и коэффициенты ряда находят по приближённым выражениям:

A0 = , Bkm = sin(kxq), Ckm = cos(kxq).

Если функция обладает каким-либо видом симметрии, то её разложение в ряд облегчается, так как или отсутствуют некоторые составляющие или можно исследовать не весь период, а лишь полпериода или даже его четверть.

Например, если периодическая функция симметрична относительно начала координат, отсутствуют косинусные составляющие; у функции, симметричной относительно оси ординат, равны нулю синусные составляющие; а функция, симметричная относительно оси абсцисс, не содержит чётных гармоник.

Разложение некоторых характерных функций приводится в справочниках по математике и электротехнике.
6.3. Характеристики несинусоидальных функций

Периодическую несинусоидальную функцию характеризуют: мгновенным значением a=f(t), максимальным Amax, средним по модулю Aср = |f(t)|dt и действующим или средним квадратичным за период A = ; а также коэффициентами

- формы Кф = А/Аср (для sin - 1,11 ),

- амплитуды Ка = Amax/A (для sin - ),

- искажения Ки = А(1)/А (для sin - 1).

Наиболее важной характеристикой является действующее значение.

A2=a2(t)dt, где a2(t) = [A0 + A1m sin (t+ 1) + A2m sin (2t+ 2) + … ]2 =

= A + + 2.

Интеграл от слагаемых последней суммы, выводится в математике, за период даёт нуль, а остальное представляет собой сумму квадратов действующих значений по всем гармоникам, включая нулевую, так что: A =

Таким образом, действующее значение несинусоидальной функции равно квадратному корню из суммы квадратов действующих значений всех гармоник, включая нулевую, причём это не зависит от начальных фаз гармонических составляющих.
6.4. Постановка задачи, методика расчёта

Традиционная постановка задачи расчёта цепей несинусоидального тока: по заданным несинусоидальным ЭДС и параметрам R – L – C элементов необходимо рассчитать мгновенные i(t) и действующие I значения токов, определить P, Q, S цепи.

Методика расчёта предполагает выполнение трёх этапов:

- представление заданного несинусоидального напряжения в виде набора гармоник;

- расчёт цепи по каждой из гармоник, включая нулевую;

- запись результирующих мгновенных значений i(t), u(t) или определение их действующих значений с построением графиков.

Основной этап – это расчёт цепи по каждой из гармоник. Он выполняется как обычный расчёт цепей постоянного или синусоидального тока. Особенностью является лишь то, что сопротивление xL и xC для разных гармоник будут различны:

x= L = 0, x= kL = k x, x, x.

Результирующие действующие значения токов и напряжений рассчитываются по полученной выше формуле, а мгновенные значения записываются в виде ряда Эйлера-Фурье. При построении графиков i(t), u(t) на одном периоде 1-й гармоники должны учитываться два периода второй гармоники и т.д.
6.5. Мощность цепи несинусоидального тока. Коэффициент мощности. Понятие об эквивалентных синусоидах.

По определению активная мощность цепи любого переменного тока – это среднее за период значение мгновенной мощности: P = (t)i(t)dt.

Записывая u(t) и i(t) как наборы кратных гармоник и памятуя, что произведения u(t) и i(t) разных частот за период дают нуль, получим:

P = P(0) + P(1) + P(2) + … + P(k) +…= U(0) I(0) + U(1) I(1)cos (1) + … + U(k) I(k)cos (k) + …

Реактивная мощность по постоянному току всегда равна нулю:

Q = x(I(0))2 = 0, Q = x02 = 0, поэтому

Q = Q(1) + Q(2) + … + Q(k) + … = U(1) I(1) sin (1) + … + U(k) I(k) sin (k) + …

Полная мощность: S= U I =

В отличие от цепей синусоидального тока здесь S> P2 + Q2 !!

Их разность называется мощностью искажения T2 = S2 – (P2 + Q2).

Для цепей несинусоидального тока, тем не менее, тоже существует понятие коэффициента мощности. Только в этом случае его обозначают K, а определяют как отношение K ==cos.

Угол  - это условный угол сдвига по фазе между током и напряжением. Он имеет смысл только при одинаковой частоте u(t) и i(t). Например, для эквивалентных синусоид тока и напряжения.

Под эквивалентной синусоидой несинусоидальной функции понимают синусоиду, действующее значение которой равно действующему значению несинусоидальной функции, а частота равна частоте основной гармоники. Начальная фаза выбирается произвольно, а для тока – определяется с учётом .

Примечание. Конечно, не всякую несинусоидальную функцию целесообразно представлять эквивалентной синусоидой. Это допустимо, если коэффициент формы близок к величине, характерной для синусоиды (1,11). Мы будем пользоваться этим приёмом для приближённого расчёта цепей с нелинейной индуктивностью. Это упрощает расчёт, позволяет вести его в комплексной форме, строить ВД и т.д.
6.6. Влияние параметров цепи на форму кривой тока

Если к зажимам цепи с активным сопротивлением приложено несинусоидальное напряжение, то форма кривой тока не отличается от формы кривой напряжения, так как активное сопротивление от частоты практически не зависит. В результате соотношение между амплитудами гармоник тока остаётся аналогичным соотношению между амплитудами гармоник несинусоидального напряжения. Если же такое напряжение подано на зажимы цепи с индуктивным или ёмкостным сопротивлением, то форма кривой тока изменяется и может значительно отличаться от формы кривой напряжения.

Рассмотрим влияние индуктивности. Пусть к зажимам цепи с индуктивностью приложено напряжение, состоящее из первой и третьей гармоник (рис. 6.2а). Индуктивное сопротивление гармоникам: xL, xL L = 3 x.

Следовательно, если, например, соотношение амплитуд третьей и первой гармоник напряжения 1:3, то соотношение этих гармоник в токе 1:9, так как из-за большего сопротивления xамплитуда тока третьей гармоники резко уменьшается и кривая тока будет сглажена (рис. 6.2б). Следует иметь в виду, что кривая несинусоидального тока, как и токи гармоник, отстаёт по фазе от кривой напряжения.

Вывод. Индуктивность подавляет высшие гармоники, входящие в состав несинусоидального тока, и приближает форму его кривой к синусоиде.

Если то же напряжение приложить к зажимам с ёмкостью, то конденсатор окажет току первой гармоники в 3 раза большее сопротивление, чем току третьей гармоники. Следовательно, наличие конденсатора усиливает амплитуду третьей гармоники по сравнению с амплитудой тока первой гармоники и кривая тока становится более несинусоидальной, чем кривая напряжения (рис. 6.2в). Кроме того, кривая несинусоидального тока так же, как и токи гармоник, опережает по фазе кривую напряжения и его гармоник.

Вывод. Ёмкость исключает в составе несинусоидального тока постоянную составляющую, а также подавляет первую гармонику, одновременно усиливая высшие гармоники. В результате кривая тока делается более несинусоидальной по сравнению с кривой напряжения.
6.7. О резонансах в цепях несинусоидального тока

Если приложить к зажимам цепи с последовательным соединением ёмкости и индуктивности несинусоидальное напряжение, то в такой цепи возможен резонанс напряжений на частоте той гармоники напряжения, которая равна частоте свободных колебаний данного контура, и тогда амплитуда тока этой гармоники может стать больше амплитуд токов остальных гармоник. На практике это можно применить для выделения одной из гармоник ряда и подавления других гармоник. Если же данное напряжение приложить к зажимам цепи с параллельным соединением L и C, в этом случае возможен резонанс токов на частоте одной из гармоник. При наличии в цепи переменной индуктивности или ёмкости можно изменять величины L и C и настроить контур на частоту любой из гармоник, входящих в состав несинусоидального напряжения источника.

Пусть к цепи с последовательным соединением катушки и конденсатора переменной ёмкости приложено следующее напряжение:

u(t) = U+ U+ U.

Допустим, что на конденсаторе установлена малая ёмкость C1. Тогда частота свободных колебаний этого контура будет больше частоты третьей гармоники приложенного напряжения. Допустим, что x < x и Z(3) = велико. Ток в цепи I(3) = U(3) / Z(3) мал. Также малы токи второй и первой гармоник.

Если увеличить ёмкость конденсатора, то частота свободных колебаний контура уменьшится и, допустим, при ёмкости С2 станет равной частоте третьей гармоники 0 = 31. При этом в цепи возникает резонанс напряжений на частоте 31 и ток третьей гармоники возрастёт до максимума, поэтому возрастёт и действующее значение несинусоидального тока (рис. 6.3) и амперметр увеличит показание. 31

Если продолжать увеличивать ёмкость, то 0 становится меньше 31 и резонанс на третьей гармонике нарушается, ток третьей гармоники и показание амперметра уменьшатся. При дальнейшем увеличении ёмкости до значения С3 частота собственных колебаний контура уменьшится, например, до величины 21. Следовательно, возникает резонанс напряжений на частоте второй гармоники. При дальнейшем увеличении ёмкости до величины С4 может возникнуть резонанс на частоте первой гармоники.

Вывод. В колебательном контуре, подключенном к несинусоидальному напряжению, можно получить столько случаев резонанса, сколько гармоник содержится в составе данного напряжения.
6.8. Биение. Модулированные колебания.

Биениями называют колебательный процесс, возникающий в результате сложения двух синусоид с равными амплитудами и близкими, но не равными частотами. Процессы типа биения используются, например, в измерительной технике для того, чтобы установить, что сравниваемые сигналы имеют неодинаковую частоту.

Известно, что синусоиду можно характеризовать амплитудой Аm, угловой частотой  и начальной фазой . Для заданной синусоиды они постоянны, от времени не зависят.

Но для передачи различной информации (сигналы управления, речь, музыка) применяются генераторы, в которых одна из этих величин медленно изменяется во времени по заданному закону. Такое явление носит называние модуляции. Различают амплитудную, фазовую и частотную модуляции.

Колебания типа биений и модулированные колебания являются разновидностью несинусоидальных функций, к ним применима вся изложенная методика расчёта цепей несинусоидального тока.

6.9. Показания приборов различных систем в цепи несинусоидального тока

Стрелочные и им подобные приборы не способны фиксировать мгновенные значения измеряемых величин в силу своей инертности. Они применяются для измерения средних и действующих значений величин в цепях постоянного или периодического тока.

Ваттметры бывают только электродинамической системы, измеряют среднее за период значение подаваемой на них мгновенной мощности p = ui.

Амперметры и вольтметры магнитоэлектрической системы реагируют на постоянную составляющую измеряемой величины. Используются в цепях постоянного и несинусоидального тока для измерения постоянной составляющей.

Приборы электродинамической, электромагнитной и электростатической систем измеряют действующее значение величины. Используются как в цепях постоянного, так и переменного тока.

Если с вольтметром такой системы последовательно соединить конденсатор, можно измерять действующее значение только переменной составляющей напряжения.


Скачать файл (953.7 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru