Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Задачник и решебник по теории вероятностей - файл TV1.doc


Задачник и решебник по теории вероятностей
скачать (412.3 kb.)

Доступные файлы (2):

TV1.doc450kb.05.09.2006 11:28скачать
TV2.docскачать

содержание
Загрузка...

TV1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет информатики







Учебно-методическое пособие


Составитель: Ю.В. Потапов


Пособие рассмотрено и одобрено методической

комиссией факультета информатики.


Декан факультета информатики,

доцент Б.А. Гладких


Председатель методической

комиссии, профессор В.В. Поддубный


Методическое пособие предназначено в помощь освоению простейших понятий классической теории вероятностей и ориентировано на студентов факультета информатики. По учебному плану специальности не предусмотрено аудиторных практических занятий. В поддержку курса предлагается домашняя контрольная в форме вариантов практических задач по основным разделам теории. Каждому студенту свой вариант предлагается случайным образом.

Задачи должны быть решены в течение семестра. С зачётной недели ответы на них «выкладываются» в сеть факультета. Но студенты, не решившие задач, решают подобные им теперь уже непосредственно на экзамене.

Реализовано пособие в печатном и электронном виде. При работе с электронным вариантом для быстрого листания по разделам документа можно использовать механизм гиперссылок, заложенный в оглавлении. Места ссылок выделены там жёлтой заливкой. Вернуться на начало документа всегда можно с помощью клавиш клавиатуры Ctrl + Home.


©.Потапов Ю.В: 2002

Оглавление

Приложение 23

Рекомендуемая литература 26



вариант № 1

I.
В урне 2 белых и 4 чёрных шара. Двое поочерёдно наугад вынимают по шару (без возвращения). С какой вероятностью первый вынет белый шар первым?

II. Бросается правильная игральная кость. И пусть событие заключается в выпадении числа очков меньше 6, а событие состоит в выпадении числа очков больше 2. Тогда что представляет из себя условное событие и какова его вероятность?

III. (Задача А.Н. Колмогорова, приводящая к логнормальному распределению). Найти плотность распределения новой НСВ , когда старая СВ распределена нормально, т.е. .

вариант № 2

I. Два игрока по очереди бросают уравновешенную игральную кость. Выигрывает тот, у кого очков больше. С какой вероятностью выиграет первый?

II. По данным переписи (1891 г.) Англии и Уэльса было установлено, что тёмноглазые отцы и тёмноглазые сыновья составили 5% обследованных, тёмноглазые отцы и светлоглазые сыновья составили 8% обследованных, светлоглазые отцы и тёмноглазые сыновья составили 9% обследованных, а светлоглазые отцы и светлоглазые сыновья составили 78% обследованных. Определить, какова вероятность рождения светлоглазого сына у тёмноглазого отца?

III. (Правило трёх сигма Е.С. Вентцель). С точностью до 5-ти значащих цифр вычислить вероятность, с которой значения нормальной СВ оказываются в пределах от до . /В расчётах можно воспользоваться значением интеграла вероятностей /.

вариант № 3

I. Пять студентов наугад рассаживают за круглый стол. Какова вероятность, что определённая пара окажется рядом?

II. Бросается правильная игральная кость. И пусть событие заключается в выпадении числа очков меньше 6, а событие состоит в выпадении числа очков больше 2. Тогда что представляет из себя условное событие и какова его вероятность?

III. Пусть у системы НСВ совместная ФР имеет вид, показанный значениями на рисунке. Каковы безусловные и условные ФР компонент в этой системе? Зависимы ли между собой компоненты? Как выглядит совместная плотность распределения системы?

вариант № 4

I. Бросается две уравновешенные игральные кости. Какова вероятность, что на них выпадут различные числа?

II. По данным переписи (1891 г.) Англии и Уэльса было установлено, что тёмноглазые отцы и тёмноглазые сыновья составили 5% обследованных, тёмноглазые отцы и светлоглазые сыновья составили 8% обследованных, светлоглазые отцы и тёмноглазые сыновья составили 9% обследованных, а светлоглазые отцы и светлоглазые сыновья составили 78% обследованных. Определить, какова вероятность рождения тёмноглазого сына у светлоглазого отца?

III. Каким должно быть преобразование , чтобы по значениям равномерной в [0,1] НСВ можно было смоделировать значения новой НСВ с плотностью экспоненциального закона распределения: ? (Зачастую так бывает распределено время ожидания определённого события).

вариант № 5

I. Уравновешенная монета бросается раз. Какова вероятность выпадения нечётного числа гербов?

II. Для оповещения об аварии установлено два сигнализатора, работающих независимо. Первый срабатывает на аварию с вероятностью 0.9, а второй – с вероятностью 0.8. Найти вероятность того, что при аварии сработают оба сигнализатора.

III. (Задача, приводящая к показательно – степенному распределению). Найти плотность распределения новой НСВ , когда слагаемые стохастически независимы и каждое распределено по экспоненциальному закону с плотностью . /Воспользоваться вспомогательным невырожденным преобразованием /.

вариант № 6

I. Четырёхтомное сочинение расположено на полке в произвольном порядке. Какова вероятность, что номера томов идут подряд?

II. Пусть в каждом цикле обзора радиолокатора цель может быть обнаружена с вероятностью 0.5. И пусть обнаружение в каждом цикле происходит независимо от других циклов. Определить с какой вероятностью цель будет обнаружена за 3 цикла.

III. Уравновешенная игральная кость бросается до первого появления "6-ки". Рассчитать вероятность появления этого события при -том бросании для . Результаты свести в таблицу. Как выглядит графически этот ряд распределения, называемый геометрическим?

вариант № 7

I. Какова вероятность, что выбранное наугад целое число при возведении в квадрат даст число, оканчивающееся на 1 ?

II. Для оповещения об аварии установлено два сигнализатора, работающих независимо. Первый срабатывает на аварию с вероятностью 0.9, а второй – с вероятностью 0.8. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

III


















. Пусть некоторая система ДСВ со значениями имеет совместный ряд распределения , представленный в таблице. Построить безусловные и условные ряды распределений компонент и . Зависимы ли между собой эти компоненты?

вариант № 8

I. На отрезок длины наугад ставится две точки. Какова вероятность, что из трёх получившихся частей отрезка можно построить треугольник?

II. В лотерее разыгрывается 100 билетов, среди которых 10 – выигрышные. Студент купил 2 билета. Какова вероятность, что он выиграл хотя бы на один билет?

III




























. Пусть ДСВ имеет ряд распределения , представленный в таблице. Каков ряд распределения у новой ДСВ ?

вариант № 9

I. Коэффициенты и квадратного уравнения выбираются наугад из сегмента . Какова вероятность, что корни этого уравнения будут действительными?

II. Для оповещения об аварии установлено два сигнализатора, работающих независимо. Первый срабатывает на аварию с вероятностью 0.9, а второй – с вероятностью 0.8. Найти вероятность того, что при аварии сработает хотя бы один сигнализатор.

III. (Распределение старшей порядковой статистики). Какую ФР и плотность распределения имеет новая СВ , если старые НСВ все одинаково и независимо распределены с ФР и плотностью ?

вариант № 10

I.

На отрезок (см. рис.) наугад поставлены точки и (пусть левее ). Какова вероятность, что длина отрезка будет меньше длины отрезка ?

II. В урну, содержащую 2 шара, опущен 1 белый шар; после чего из урны наудачу вынут 1 шар. Какова вероятность, что это будет белый шар, если равновозможен любой первоначальный состав урны?

III. (Распределение младшей порядковой статистики). Какую ФР и плотность распределения имеет новая СВ , если старые НСВ все одинаково и независимо распределены с ФР и плотностью ?

вариант № 11

I. В студенческой лотерее на 100 билетов приходится 5 денежных и 5 вещевых выигрышей. Студент приобрёл 2 билета. Какова вероятность, что он выиграл и вещь и деньги?

II. Из наблюдений установлено, что вероятности произойти сбою во время работы ЭВМ в процессоре, в оперативной памяти или в периферийных устройствах соотносятся между собой как 3:2:5. И пусть условные вероятности обнаружения сбоя в названных местах ЭВМ есть соответственно 0.8, 0.9 и 0.9. Найти безусловную вероятность того, что возникший где-то сбой будет обнаружен системой контроля.

III. Одновременно бросается две уравновешенных игральных кости и подсчитывается произведение выпавших очков. Показать, что это определяет дискретную случайную величину, обладающую измеримым отображением. Построить ряд распределения этой ДСВ.

вариант № 12

I. В урне находится 3 белых и 4 чёрных шара. Из урны наугад выбирается 3 шара. Какова вероятность, что 2 из них будут чёрными, а 1 – белым?

II. Прибор состоит из двух дублирующих блоков и остаётся работоспособным, если исправен хотя бы один из них. Случайным образом прибор может находиться в одном из двух режимов: благоприятном – с вероятностью 0.9 и неблагоприятном – с вероятностью 0.1. В благоприятном режиме надёжность (т.е. вероятность безотказной работы) каждого из блоков есть 0.95, а в неблагоприятном – 0.80. Учитывая всё это найти безусловную (полную) надёжность прибора.

III. Уравновешенная монета бросается раз. Рассчитать вероятность выпадения "герба" раз для . Результаты свести в таблицу. Как выглядит графически этот ряд распределения, называемый биномиальным?

вариант № 13

I. Студент купил карточку Спортлото и наугад отметил 6 из 49-ти номеров. Какова вероятность, что он угадал 3 выигрышных номера?

II. Пусть вероятность поражения цели при бомбометании с самолёта есть 0.35. И пусть независимо бросаются 10 бомб. Какова вероятность, что цель поразят ровно 3 (наивероятное число) бомбы?

III. (Расчёт точности стрельбы при круговом рассеянии, приводящий к распределению Рэлея). Для системы нормальных СВ




найти вероятность попадания значений СВ в круг радиуса : . /При вычислении интеграла удобно перейти в полярную систему координат/.

вариант № 14

I. В лотерее разыгрывается 100 билетов, среди которых 10 – выигрышные. Студент купил 2 билета. Какова вероятность, что он ничего не выиграл?

II. Большая партия изделий содержит 1% брака. Каков должен быть объём случайной и независимой контрольной выборки, чтобы вероятность встретить в ней хотя бы одно бракованное изделие была как минимум 0.95 ?

III. Астроном в благоприятную ночь наблюдает метеорный поток на определённом участке неба, регистрируя количество пролетевших метеоритов за каждые 15 минут.


Полагая, что поток метеоритов пуассоновский (закон редких событий), и что в среднем можно наблюдать метеорита, рассчитать вероятность наблюдать метеоритов за данные 15 минут для . Результаты свести в таблицу и отобразить графически.

вариант № 15

I. Студент пришёл на экзамен, зная лишь 20 вопросов из 25-ти. Преподаватель наугад дал 2 вопроса. Какова вероятность, что студент получил вопросы, которые он выучил?

II. Какова вероятность, что при многократном независимом бросании правильной игральной кости первая шестёрка выпадет при 3-ем бросании?

III. (Суммирование ошибок округления, приводящее к треугольному распределению Симпсона). Найти плотность распределения новой НСВ , когда слагаемые стохастически независимы и каждое распределено по равномерному закону: . /Воспользоваться вспомогательным невырожденным преобразованием /.

вариант № 16

I. В урне находится 7 шаров, среди которых 3 белых. Наугад вынимается 2 шара. Какова вероятность, что оба они белые?

II. Изделия некоторого производства содержат 10% брака. Какова вероятность, что среди трёх наугад взятых изделий одно окажется бракованным?

III. Пусть некоторая случайная величина обладает ФР , показанной на рисунке. В каких точках числовой оси находятся спектральные значения этой СВ и каков её тип? Каково значение вероятности следующего события с СВ: ?

вариант № 17

I. В урне имеется 3 белых и 2 чёрных шара. ^ Все шары наугад по одному вынимаются. Какова вероятность, что последним будет чёрный шар?

II. Пусть на РЛС (радиолокационную станцию) равновозможно поступает либо только шум (нет цели), либо смесь сигнала с шумом (есть цель). Известно, что решающее устройство РЛС при наличие только шума может ошибиться и зарегистрировать цель (ошибка ложной тревоги) с вероятностью 0.1; а при наличие сигнала с шумом цель правильно регистрируется (нет ошибки пропуска цели) с вероятностью 0.7. И пусть решающее устройство зарегистрировало цель. Какова вероятность, что РЛС не ошиблась?

III. (Квадратичная ФР) Точка бросается наугад в круг радиуса . При этом вероятность попасть в любую область в круге пропорциональна площади области. Найти ФР и плотность расстояния точки от центра круга. Нарисовать графики.

вариант № 18

I. Какова вероятность того, что 3 определённые книги на полке будут стоять рядом, если наугад расставляется 10 книг?

II. Пусть некоторая система (цепь Маркова) случайным образом может переходить в одно из трёх состояний , и с вероятностями, указанными на графе переходов (см. рис.). Считая, что изначально система находится в состоянии , определить вероятность того, что за 2 перехода она так и останется в этом же состоянии.

III. (Закон арксинуса). Какими являются ФР и плотность у новой СВ , если старая НСВ распределена равномерно в ? Нарисовать графики.

вариант № 19

I. В ящике находится 10 карточек с различными номерами. Из ящика по очереди наугад вынимается с возвращением 3 карточки. Какова вероятность, что у них будут разные номера?

II. Солдат получает зачёт по стрельбе при условии, что в течение отведённого времени он поразит не менее трёх мишеней из пяти. Каждую мишень не зависимо от других солдат может поразить с вероятностью . Какова вероятность, что он сдаст зачёт?

III. (Распределение Коши). Какими являются ФР и плотность у новой СВ , если старая НСВ распределена равномерно в ? Нарисовать графики.

вариант № 20

I. Бросаются две правильных игральных кости. Какова вероятность, что сумма выпавших очков окажется больше их произведения?

II. Группа в 30 студентов поровну состоит из отличников, хорошистов и троечников. Отличник на экзамене обязательно получит 5; хорошист – равновозможно 5 или 4; а троечник – равновозможно 4, 3 или 2. Новый преподаватель наугад вызывает незнакомого студента. Какова вероятность, что студент получит 4 или 5 ?

III. Для экспоненциальной НСВ с плотностью распределения найти вероятность выполнения события: . /Содержательно это можно трактовать как вероятность, с которой случайное время ожидания в очереди не превысит среднего значения/.

вариант № 21

I. Бросаются две правильных игральных кости. Какова вероятность, что произведение выпавших очков равно 8 ?

II. Рабочий производит с вероятностью 0.9 годное изделие и с вероятностью 0.09 – изделие с устранимым браком. Произведено 5 деталей. Какова вероятность, что среди них будет 4 годных и одна с устранимым браком, но не будет деталей с неустранимым браком?

III. (Суммирование нормальных ошибок измерений). Найти плотность распределения новой НСВ , когда слагаемые стохастически независимы и каждое распределено по нормальному закону с плотностью . /Воспользоваться невырожденным преобразованием . Учесть, что: /.

вариант № 22

I. Бросаются две правильных игральных кости. Какова вероятность, что сумма выпавших очков равна 8 ?

II. Группа в 30 студентов поровну состоит из отличников, хорошистов и троечников. Отличник на экзамене обязательно получит 5; хорошист – равновозможно 5 или 4; а троечник – равновозможно 4, 3 или 2. Новый преподаватель наугад вызывает незнакомого студента, и он получает 4. Какова вероятность, что этот студент из подгруппы троечников?

III. Каким должно быть преобразование , чтобы по значениям равномерной в [0,1] НСВ можно было смоделировать значения новой НСВ с плотностью , имеющей график:

вариант № 23

I. На склад поступила партия из 10-ти изделий, 3 из которых дефектные. Для контроля наугад выбрано 5 изделий. Какова вероятность, что среди них 2 дефектных?

II. Вероятность попадания стрелком в десятку равна 0.7, а в девятку – 0.2. Какова вероятность, что за 3 выстрела стрелок наберёт как минимум 29 очков?

III. Пусть плотность распределения НСВ имеет вид, показанный на рисунке. Какова вероятность следующего события с такой НСВ: ?

вариант № 24

I. Абонент забыл три последние цифры номера телефона и, помня лишь, что они разные, набрал их наугад. Какова вероятность, что он набрал правильный номер?

II. Имеется 3 партии деталей. В одной из них треть деталей – брак, а в остальных все детали качественные. Деталь, взятая наугад из какой-то партии, оказалась качественной. Какова вероятность, что деталь взята из партии с браком?

III. (Закон распределения ). Если старая СВ распределена по стандартному нормальному закону, т.е. , то каков вид плотности у новой СВ ? Как эта плотность выглядит графически?

вариант № 25

I. В барабане револьвера 7 гнёзд и вставлено 5 патронов. ^ Дважды барабан наугад прокручивается, и каждый раз нажимается курок. Какова вероятность, что выстрела не будет?

II. Уравновешенная монета бросается 6 раз. Какова вероятность, что выпадет больше гербов, чем решек?

III. Пусть имеется протяжённая цель, в которую стреляют снарядом. При этом пусть снаряд полностью попадает в цель с вероятностью 0.25 и тогда площадь поражения максимальная . Далее, пусть снаряд вообще не попадает в цель с вероятностью 0.05 и тогда площадь поражения нулевая. Во всех прочих ситуациях площадь поражения может быть любой из интервала , причём каждое значение равновозможно.


Как выглядит функция распределения площади поражения как СВ ? Нарисовать график ФР , назвать тип СВ.

вариант № 26

I. Из букв разрезной азбуки составлено слово АНАНАС. Ребёнок рассыпал эти буквы, а затем наугад их составил. Какова вероятность, что вновь получится исходное слово?

II. На курсе 40 студентов – юношей. Какова (приближённо по Муавру – Лапласу) вероятность того, что хотя бы двое из них носят имя Александр, если частота встречи такого имени у юношей есть ?

III. Проводится игра в орлянку с 3-хкратным независимым подбрасыванием неуравновешенной монеты, у которой "герб" выпадает с вероятностью , а "решка" с вероятностью . За каждый "герб" игрок получает 1 рубль, а за каждую "решку" платит 1 рубль.


Показать, что сумма выигрыша представляет из себя дискретную случайную величину, обладающую измеримым отображением. Построить ряд распределения этой ДСВ.

вариант № 27

I. Из букв разрезной азбуки составлено слово КНИГА. Ребёнок рассыпал эти буквы, а затем наугад их составил. Какова вероятность, что вновь получится исходное слово?

II. Вероятность сбить самолёт одиночным винтовочным выстрелом весьма мала и составляет порядка 0.004. Какова (приближённо по Пуассону) вероятность сбить самолёт при одновременной независимой стрельбе из 250-ти винтовок?

III. Пусть старая НСВ имеет квадратичную ФР при , оставаясь равной 0 при и оставаясь равной 1 при . И пусть новая СВ получается из старой в результате операции усечения: , причём при и при . Как в итоге выглядит ФР новой СВ и каков тип СВ ?


Приложение


^ ВОПРОСНИК ПО ТЕОРИИ

Случайное событие и его вероятность

  • Понятие случайного события в схеме испытаний (содержательная и формальная трактовка). Привести примеры.

  • Какими двумя практическими качествами обязательно должна обладать схема испытаний в ТВ? Пояснить на примере.

  • Отношения между случайными событиями (дать примеры). Что такое класс случайных событий.

  • Что такое полная группа попарно несовместных событий? Дать формальное определение и привести пример.

  • Определения вероятности случайного события Бернулли – Лапласа и Бюффона. Для каких схем испытаний они годятся (привести примеры).

  • Физическая трактовка вероятности по Н.Бернулли и её фундаментальные свойства.

  • Что такое практически невозможное и практически достоверное случайное событие? Дать пример.

  • Современное понятие вероятности по Колмогорову (аксиоматика для вероятностной меры, вероятностное пространство).

Исчисление вероятностей

  • Формулы сложения вероятностей. Зависимость событий по вероятности. Формулы умножения вероятностей.

  • Понятие зависимости и независимости событий по вероятности. Основные свойства независимых событий.

  • Схема гипотез и формула полной вероятности. Априорные и апостериорные вероятности гипотез и формула Байеса.

  • Биномиальная схема и формула Бернулли (дать пример биномиальной схемы).

  • Почему формулу Бернулли называют биномиальной? В чём заключаются условия нормировки на биномиальные вероятности?

  • Полиномиальное обобщение формулы Бернулли (дать пример полиномиальной схемы).

Случайная величина
и её функция распределения


  • Понятие случайной величины (простейшие представления и формальная трактовка по Колмогорову).

  • Задание векторной случайной величины на примере игры в орлянку двумя монетами.

  • Представление об условных и безусловных СВ в системе на примере игры в орлянку двумя монетами.

  • Пояснить на словах смысл стохастической зависимости между двумя СВ. Чем она отличается от детерминированной?

  • Формальные соотношения для функций распределения условных и безусловных СВ в системе через совместную ФР.

  • Как устроена совместная функция распределения системы СВ, если её компоненты стохастически независимы?

  • Фундаментальные свойства функции распределения. Вероятности событий со случайной величиной и интеграл Стилтьеса.

  • В чём смысл приращения функции распределения случайной величины? В каких областях сосредоточены спектральные значения СВ?

  • В силу каких свойств функцию распределения называют ещё кумулятивным (т.е. накапливаемым) распределением СВ?

  • Возможные типы случайных величин и общая структура функции распределения.

  • Что такое сингулярная случайная величина? (Объяснить одной фразой).

  • Как выглядит причинное распределение и что оно описывает в ТВ?

Практическое описание
распределений случайных величин


  • Практическое описание непрерывных /абсолютно/ случайных величин. Дать примеры одномерных и многомерных НСВ.

  • Как выглядит интеграл вероятностей, и что он описывает в ТВ?

  • Записать формулу плотности равномерного на сегменте распределения НСВ и на графике пояснить характерное свойство этого закона.

  • Соотношения для плотностей распределения условных и безусловных НСВ в системе через совместную плотность.

  • Практическое описание дискретных случайных величин. Дать примеры одномерных и многомерных ДСВ.

  • Смена закона распределения при преобразовании СВ (общие представления для ФР, пример с преобразованием Мизеса).

  • Смена плотности распределения при преобразовании НСВ. Пример с невырожденным линейным преобразованием.

  • Как выглядит формула свёртки плотностей и в чём её смысл?

  • Общий вид плотности многомерного нормального распределения (дать обоснование формуле).

Числовые характеристики
случайных величин


  • Понятие математического ожидания случайной величины (простейшие представления и формальное определение по Колмогорову). Вычислительные формулы для матожидания ДСВ и НСВ.

  • Пояснить на графике функции распределения случайной величины геометрический смысл матожидания. Что означает при этом несуммируемость СВ?

  • Фундаментальные свойства математического ожидания. Матожидание биномиальной ДСВ. Неравенство Маркова и трактовка матожидания как характеристики положения СВ.

  • Дисперсия и среднеквадратическое отклонение у СВ и их фундаментальные свойства. Дисперсия биномиальной ДСВ. Неравенство Чебышева и трактовка СКО как характеристики рассеяния СВ.

  • Записать конкретный вид неравенства Чебышева для биномиальной ДСВ.

  • Записать формулу плотности нормального распределения и на графике объяснить вероятностный смысл параметров.

  • Записать формулу пуассоновского ряда распределения и назвать вероятностный смысл параметра.

  • Квантильные характеристики положения и рассеяния у несуммируемых СВ. Пояснить на примере СВ, распределённой по закону Коши.

  • Начальные и центральные моменты случайной величины. Связь между ними. Асимметрия и эксцесс у СВ и их геометрический смысл; пояснить на примере нормальной СВ.

  • Числовые характеристики системы СВ (вектор средних, ковариационная матрица). Эллипсоид рассеяния и обобщённая дисперсия. Пояснить на примере многомерного нормального распределения.

  • Ковариация и коэффициент корреляции между двумя СВ, свойства этих характеристик. Понятие функции среднеквадратической регрессии, её вид у нормального распределения.

Последовательности случайных величин

  • Стохастическая сходимость последовательности СВ. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.

  • Почему ряд распределения Пуассона именуют ещё законом редких событий? (Вспомнить пуассоновское приближение для формулы Бернулли).

  • Какой факт в ТВ называют локальной предельной теоремой Муавра – Лапласа?

Рекомендуемая литература


  1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей, изд. 4-е, стереотип. – М.: Наука, 1969.

  2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. – М.: Наука, 1988.

  3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей (задачи и упражнения). – М.: Наука, 1988.



____________________________________________________________________Томский государственный университет, пр. Ленина, 36, факультет информатики

Тираж 100 экз.

Томск – 2002




Скачать файл (412.3 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации