Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Адамадзиев К.Р., Джаватов Д.К. Эконометрика. Краткий курс - файл n1.doc


Адамадзиев К.Р., Джаватов Д.К. Эконометрика. Краткий курс
скачать (429.5 kb.)

Доступные файлы (1):

n1.doc1313kb.16.11.2010 16:11скачать

Загрузка...

n1.doc

  1   2   3   4   5   6
Реклама MarketGid:
Загрузка...
 

 

 

 

 

 

К.Р. Адамадзиев

Д.К. Джаватов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эконометрика.

Краткий курс

 

 

 

 
 

 

 

 

Учебное пособие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Махачкала 2003

 

 

УДК 330.43

 
Адамадзиев К.Р., Джаватов Д.К. Эконометрика. Краткий курс: Учебное пособие - Махачкала: Издательско-полиграфический центр ДГУ, 2003. – 83 с.

 

 

 

 

Рыночная экономика требует от специалиста знаний основ эконометрических методов, так как без таких знаний трудно изучить уже известные эмпирические зависимости и строить новые, получить сколь-нибудь надежный прогноз, а значит - под вопросом успех в экономической сфере (банковском деле, финансах, бизнесе и др.).

В связи с чем, курс эконометрики стал одним из основных в подготовке современных экономистов.

Изучение эконометрики предполагает приобретение студентами знаний и навыков в построении эконометрических моделей и их анализа, поэтому в пособии приводится много решенных примеров и задач.

Предлагаемое учебное пособие призвано восполнить пробел в необходимой литературе по эконометрике. Учебное пособие ориентировано, в первую очередь, на студентов экономических специальностей вузов, но оно будет полезно и научным работником, аспирантам и всем тем, кто интересуется вопросами моделирования и прогнозирования экономических процессов. 

 

 

 

 

 

Рецензенты:

 

Петросянц В.З. - зав.лаб. ИСЭИ ДНЦ РАН, д.э.н.

Шейхов М.А - д.э.н., профессор Дагсельхозакадемии

 

 

 

 

 

 

 

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Даггосуниверситета

 

Содержание
Введение.. 5

Тема 1. Предмет, задачи, критерии и принципы  эконометрики.. 8

1.1. Предмет и задачи курса.. 8

1.2. Особенности эконометрического анализа.. 9

1.3. Измерения в экономике.. 10

Тема 2. Корреляционный и регрессионный анализ – математический      метод оценки взаимосвязей экономических явлений.. 11

2.1. Парная регрессия и корреляция в эконометрических  исследованиях.. 11

2.1.1. Модель парной регрессии. Спецификация модели.. 11

2.1.2. Линейная  регрессия сущность, оценка параметров. 14

2.1.3. Определение тесноты связи и оценка существенности уравнения   регрессии   15

2.2. Нелинейная регрессия  в экономике и ее линеаризация.. 18

2.2.1. Виды нелинейных регрессионных моделей, расчет их параметров. 18

2.2.2. Оценка корреляции для нелинейной регрессии.. 20

2.3.  Множественная регрессия и корреляция.. 23

2.3.1. Множественная  регрессия. Отбор факторов при  построении ее модели. 23

2.3.2. Расчет параметров и характеристик модели множественной   регрессии   25

2.3.3. Частные уравнения множественной регрессии. Индексы множественной и частной корреляции и их расчет... 28

2.3.4. Обобщённый метод наименьших квадратов. Гомоскедастичность и  гетероскедастичность. 32

Тема 3. Информационные технологии в эконометрических исследованиях   36

Тема 4. Системы эконометрических уравнений.. 41

4.1. Понятие о системах эконометрических уравнений.. 41

4.2. Проблема идентификации  модели.. 43

4.3. Методы оценки параметров одновременных уравнений.. 44

Тема 5.  Методы и модели анализа динамики экономических процессов.. 47

5.1. Понятие экономических рядов динамики. Сглаживание временных рядов   47

5.2. Автокорреляционная функция. Коррелограмма.. 51

5.3. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона.. 52

5.4. Моделирование тенденций временного ряда. Адаптивные модели     прогнозирования.. 55

Тема 6. Макро- и региональные эконометрические модели.. 58

6.1. Макроэконометрические модели.. 58

6.2. Сущность и особенности региональных эконометрических моделей.. 60

6.3. Филадельфийская  модель региональной экономики.. 62

Тема 7. Моделирование динамических процессов.. 64

7.1. Характеристика моделей с распределенным лагом и моделей авторегрессии.. 64

7.2. Выбор вида модели с распределительным лагом... 66

7.3. Модели адаптивных ожиданий и неполной корректировки.. 69

Приложения.. 72

1. Базовые   понятия теории  вероятностей.. 72

1.1. Вероятность. Случайная величина.. 72

1.2.  Числовые  характеристики  случайных  величин.. 74

1.3. Законы  распределений  случайных величин.. 75

2. Базовые  понятия статистики.. 76

2.1. Генеральная  совокупность и выборка.. 76

2.2. Вычисление  выборочных  характеристик.. 77

3.Статистические  выводы: оценки  и  проверка  гипотез. 78

4. Статистическая  проверка  гипотез. 80

Литература.. 82

 

Введение

 

Современная  экономическая теория, как на микро, так и на макро уровне,  постоянно усложняющиеся  экономические  процессы привели к необходимости создания  и совершенствования  особых   методов изучения  и анализа. При этом широкое распространение  получило использование  моделирования  и количественного анализа. На базе  последних  выделилось и сформировалось  одно из направлений экономических исследований – эконометрика.

  Эконометрика как наука расположена  где–то  между  экономикой, статистикой и математикой, но ни одно  из этих наук  неспособна  в отдельности,  заменить  эконометрику.

К основным задачам  эконометрики  можно отнести следующие:

- построение  эконометрических моделей,  то есть представление  экономических моделей в математической  форме.  Данную проблему принято называть проблемой спецификации.

- оценка параметров построенной модели. Это этап параметризации.

- проверка  качества найденных параметров модели и самой модели  в целом. Иногда этот этап называют верификаций.

- использование построенных моделей для объяснения поведения исследуемых экономических показателей, прогнозирования и предсказания.

Эконометрические  модели  и методы сейчас – это не только мощный инструментарий  для  получения  новых  знаний  в экономике, но и широко применяемый аппарат  для  принятия  практических  решений в прогнозировании, банковском деле, бизнесе. Развитие информационных  технологий  и специальных прикладных программ, совершенствование  методов  анализа сделали эконометрику  мощнейшим инструментом экономических  исследований.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                           

 

Модели

 

Одно из определений эконометрики может звучать так:  это наука,  связанная с эмпирическим  выводом  экономических  законов.  То есть  мы  используем наблюдаемые  значения  или  данные для того, чтобы  получить  количественные  зависимости  для  экономических   соотношений.

Но  это – только  малая часть  задач,  решаемых  эконометрикой. Она также позволяет формулировать  экономические  модели, основываясь на эмпирических  данных, оценивать неизвестные  величины (параметры)  в этих  моделях,  делать  прогнозы  и дает рекомендации по экономической политике.

В эконометрических  исследованных существенным  является   использование  моделей. Модели  должны  быть “настолько  простыми, насколько возможно, но не  проще”,  сказал Эйнштейн.

Рассмотрим пример.

Пусть  необходимо проанализировать  зависимость  спроса Q на  некоторый  товар  от цены P  на этот  товар. На  основе экономической  теории известно, что с ростом цены объем спроса  сокращается.  Опираясь  на это утверждение можно предложить несколько  математических  зависимостей,  отражающих этот факт. Например,

 

       Необходимо  отметить, что любая  из моделей  будет лишь  упрощением  реальности и  всегда   содержит определенную  погрешность. Поэтому  из всех предлагаемых  моделей  с помощью статистических  методов  отбирается та,  которая  в наибольшей  степени  соответствует реальным  эмпирическим  данным и характеру  зависимости.

  Далее идет этап параметризации, то есть оценка  параметров  (в нашем случае  ? и ? ) так как  эта оценка осуществляется на  основе   имеющихся  статистических  данных,  то вопрос  точности (качества )  статистической  информации  является  одним  из  ключевых при  построении модели.

Затем  проверяется  качество  найденных оценок, а  также соответствие модели   эмпирическим данным и теоретическим предпосылкам  (этап  верификации ).  Данный  анализ  в основном осуществляется  по схеме  проверки  статистических   гипотез. На этом  этапе совершенствуется  не только  форма  модели, но и уточняется  состав ее объясняющих  переменных (возможно спрос на товар определяется  не только  его  ценой,  но  и  другими   факторами, например, располагаемым  доходом).

Если модель удовлетворяет  требованиям  качества,  то  она  может быть использована  для  прогнозирования, либо для  анализа  внутреннего   механизма  исследуемых  процессов.

 Математические  модели  широко  применяются  в  бизнесе,  экономике, общественных  науках,  исследовании  экономической  активности.

 Математические  модели  позволяют  более  полно  исследовать  и  понимать  сущность  происходящих  процессов,   анализировать их.

 В  эконометрических  исследованиях  используют  разные  типы  моделей. Но можно  выделить  три  основных  класса  моделей,  которые  применяются  в эконометрике:  модели  временных  рядов,  регрессионные  модели  (  с одним  уравнением)  и системы  одновременных  уравнений.

 

Типы данных

 

В эконометрических  исследованиях  используют  два  типа  данных:  пространственные  данные  (cross – sectional  data) и  временные ряды(time – seriesdata).

 Пространственные данные – это  данные, по  какому- либо экономическому  показателю,  полученные для  разных  однотипных объектов (фирм, компаний,  регионов ).

 Временные  ряды – это  данные,  характеризующие один и тот же объект, но  в различные  моменты  времени. 

Примерами  пространственных  данных  являются, например, объем  производства,  количество работников,  прибыль и т.д.  по разным  предприятиям в один  и тот же  момент времени (пространственный срез).

Примерами  временных  рядов  могут  быть,  например,  ежеквартальные  данные  по  прибыльности,  объему   выпускаемой  продукции,  средней  заработной плате  и т.д.   для   отдельного  предприятия.   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 1. Предмет, задачи, критерии и принципы  эконометрики

 

1.1. Предмет и задачи курса

 

На современном этапе экономического развития - деятельность в любой сфере  (управлении, финансово-кредитной сфере, маркетинге, учете, аудите) требует от специалиста умения применить  современные  методы работы, знания достижений мировой экономической мысли, понимания научного языка. Большинство новых методов основано на эконометрических моделях, концепциях, приемах. Без глубоких знаний экономики научиться их использовать невозможно. Хорошая эконометрическая подготовка необходима также и для чтения современной экономической литературы.

Специфической особенностью деятельности экономиста является работа в условиях неопределенности: недостатка информации и неполноты исходных данных. Для анализа такой информации требуются специальные методы, составляющие один из аспектов эконометрики. Центральной проблемой эконометрики является построение экономической модели и определение возможностей ее использования для описания, анализа и прогнозирования реальных экономических процессов.

Известный экономист Цви Гриллихес (1929-1999) писал: « Эконометрика является одновременно нашим телескопом и нашим микроскопом для изучения окружающего экономического мира».

Свидетельством всемирного признания эконометрики является присуждение Нобелевских премий за разработки в эконометрической области в  1969 г. Р.Фришу и  Я.Тинбергену за разработку математических методов анализа экономических процессов; в 1980 – Л. Клейну за создание эконометрических моделей и их применение к анализу экономических колебаний и экономической политике; в 1989 г. – Т. Хаавельмо за прояснение вероятностных основ эконометрики и анализ одновременных экономических структур; в 2000 г.– Дж. Хекману за развитие теории и методов анализа селективных выборок и

Д. Макфаддену за развитие теории и методов анализа моделей дискретного выбора.

Эконометрика – быстроразвивающаяся отрасль науки, цель которой состоит в том, чтобы придать количественные меры экономическим отношениям.

Термин «эконометрика» был впервые введен бухгалтером П. Цьемпой (Австро-Венгрия, 1910 г.) («эконометрия» - у Цьемпы).

Слово «эконометрика» представляет собой комбинацию двух слов: «экономика» и «метрика», выражая таким образом, специфику, содержание эконометрики как науки: количественное выражение тех связей и соотношений, которые раскрыты и обоснованны экономической теорией.

Это новое научное направление возникло на стыке трех наук: экономической теории, статистики  и математики. На дальнейшее развитие эконометрики большое воздействие оказывают новые информационные технологии.

Эконометрика входит в комплекс дисциплин «Экономико - математические методы». Ёе предметом является количественное выражение взаимосвязей и зависимостей  экономических явлений и процессов, закономерностей экономики.

Первые  попытки количественных исследований в экономике относятся к 17 веку. Однако эконометрика как наука сформировалась лишь в 20 – веке.

29 декабря 1930 г. по инициативе И. Фишера, Р.Фицера, Я. Тинбергена и др. на заседании Американской ассоциации развития науки было создано эконометрическое общество, на котором новой науке дали название – «эконометрика». В 1941 году появился первый учебник по эконометрике, который был создан Я.Тинбергеном.

 

1.2. Особенности эконометрического анализа

 

Становление и развитие эконометрического метода происходило на основе так называемой, высшей статистики – на методах парной и множественной регрессии, парной, частной и множественной корреляции, выделения тренда и других компонент временного ряда.

   В 30-е гг. ХХ века повсеместное увлечение множественной регрессией сменилось разочарованием. Строя уравнение множественной регрессии и, стремясь включить как можно больше объясняющих переменных, исследователи все чаще сталкивались с бессмысленными результатами. Причина заключалась в том, что изолированно взятое уравнение регрессии есть не что иное, как модель «черного ящика», поскольку в ней не раскрыт механизм зависимости выходной переменной Y от входных переменных Хi , а лишь констатируется факт наличия такой зависимости.

Для проведения правильного анализа нужно знать всю совокупность связей между переменными. Одним из первых подходов к решению этой задачи является конфлюэнтный анализ, разработанный в 1934 г. Р. Фришем. Он предложил изучать целую иерархию регрессий между всеми сочетаниями переменных.

На основе изменения коэффициентов регрессии bi и множественного коэффициента детерминации  R2 он разделил все переменные на полезные, лишние и вредные. Переменная считалась полезной, если ее включение значительно повышало R2; когда этого не происходило, она рассматривалась как лишняя. Если добавляемая переменная сильно изменяла коэффициенты  регрессии bi без заметного изменения R2, то переменная относилась к  вредным.

Эконометрика позволяет преодолеть искажающие воздействия ассимметричности, мультиколлинеарности, гетероскедастичности, автокорреляции, временных лагов и др.  при исследовании экономических связей, зависимостей, закономерностей и тенденций.

Эконометрическое исследование включает решение следующих проблем:

­                     качественный анализ связей экономических переменных – выделение зависимых и независимых переменных;

­         подбор данных;

­         спецификация формы связи между показателями и факторами;

­         оценка параметров модели;

­         анализ мультиколлинеарности объясняющих переменных;

­         введение фиктивных переменных;

­         выявление автокорреляции, лагов;

­         выявление тренда, циклической и случайной компонент;

­         проверка остатков на гетероскедастичность;

­         анализ структуры связей и построение системы одновременных уравнений;

­         проверка условия идентификации;

­         оценивание параметров системы одновременных уравнений;

­         моделирование на основе системы временных рядов;

­         построение реккурсивных моделей и т.д.

Эконометрическое моделирование  включает следующие этапы:

­         постановка проблемы;

­         получение данных, анализ их качества;

­         спецификация модели;

­         оценка параметров;

­         интерпретация результатов.

 

1.3. Измерения в экономике

 

Понятие «эконометрика» включает экономические измерения.

Признаками измерения называют, прежде всего, получение, сравнение и упорядочение информации. Это определение исходит из того, что измерение предполагает выделение некоторого свойства, по которому производится сравнение объектов в определенном отношении.

Другое понимание измерения исходит из числового выражения результата, т.е. измерение трактуется как операция, в результате которой получается численное значение величины.

Третий подход к измерению связан с обязательным наличием единицы измерения (эталона).

Любому измерению предшествует качественный анализ, учитывающий цели исследования качественный анализ необходим и после выполнения измерения.

Специфика экономических измерений состоит в наличии большого числа разнородных данных – разнородных ресурсов, разнородных результатов (например, товаров и услуг).

Нередко в экономических измерениях возникает задача отражения иерархии измерителей, которая выражается в выделении интегрального и частных показателей.

Точность измерения – это его адекватность.

Для социально экономических измерений характерны специфические представления о точности. Экономику относят к неточным наукам, т.к. невозможно провести измерение с произвольно малой погрешностью.

По объективным причинам для социально-экономических измерений характерна низкая контролируемость их точности.

            Основной базой данных для эконометрических исследований служат данные официальной статистики либо данные бухгалтерского учета. Т. о., проблемы экономического измерения – это проблемы статистики и учета.

 

Тема 2. Корреляционный и регрессионный анализ – математический      метод оценки взаимосвязей экономических явлений

 

2.1. Парная регрессия и корреляция в эконометрических  исследованиях

 

2.1.1. Модель парной регрессии. Спецификация модели

 

 Любой  экономический   показатель  практически  зависит от  бесконечного  количества факторов. Однако лишь  ограниченное количество факторов  действительно   существенно  воздействуют  на исследуемый  экономический  показатель. Доля   влияния  остальных   факторов  столь  незначительно,  что их  игнорирование   не может  привести к существенным   отклонениям  в поведении исследуемого объекта.  Выделение  и учет в модели лишь  ограниченного числа  реально  доминирующих  факторов  является  важной  задачей  качественного  анализа,  прогнозирования и управления  экономической   ситуаций.

Если  в естественных  науках  большей частью  имеют  дело со строгими (функциональными)  зависимостями,  при  которых  каждому  значению  одной  переменной  соответствует   единственное  значение   другой, то  между  экономическими переменными, в  большинстве случаев,  таких  зависимостей нет.  Поэтому  в экономике имеют  дело с  корреляционными  зависимостями.

В зависимости от количества факторов, включенных в уравнение регрессии, принято различать простую (парную) и множественную регрессии.

Простая регрессия представляет собой регрессию между двумя переменными y и x, т.е. модель вида

                                                    y = f(x),

где у – зависимая переменная (результативный признак); х – независимая, или объясняющая, переменная, (признак – фактор).

Строится   простая (парная)  регрессия в  случае, когда  среди  факторов,   влияющих  на  результативный  показатель,  есть   явно  доминирующий фактор.

Множественная регрессия соответственно представляет собой модель вида:

                                                     y=f(x1, x2,…,xk)

где хi– признак – факторы.

Рассмотрим простейшую линейную модель парной регрессии:

y = a+bx+?                     (2.1)

Величина y, рассматриваемая  как зависимая переменная, состоит из двух составляющих: неслучайной составляющей, а+bх и случайного члена ?.

Случайная величина ? называется также возмущением. Она включает влияние не учтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения.

Причин существования  случайной составляющей несколько.

1. Не включение объясняющих переменных. Соотношение между y и x является упрощением. В действительности существуют и другие факторы, влияющие на y, которые не учтены в (2.1). Влияние этих факторов приводит к тому, что наблюдаемые точки лежат вне прямой у = а+bх.

Часто встречаются факторы, которых следовало бы включить в регрессионное уравнение, но невозможно этого сделать в силу их количественной неизмеримости. Возможно, что существуют также и другие факторы, которые оказывают такое слабое влияние, что их в отдельности не целесообразно учитывать, а совокупное их влияние может быть уже существенным. Кроме того, могут быть факторы, которые являются существенными, но которые  из-за  отсутствия опыта таковыми не считаются. Совокупность всех этих составляющих и обозначено в (2.1) через ?.

2. Агрегирование переменных. Рассматриваемая зависимость (2.1) – это попытка объединить вместе некоторое число микроэкономических соотношений. Так как отдельные соотношения,  имеют разные параметры, попытка объединить их является аппроксимацией. Наблюдаемое расхождение приписывается наличию случайного члена ?.

3. Выборочный характер исходных данных.  Поскольку исследователи чаще всего имеет дело с выборочными данными при установлении связи между у и х, то возможны ошибки и в силу неоднородности данных в исходной статистической совокупности. Для получения хорошего результата обычно исключают из совокупности наблюдения с аномальными значениями исследуемых признаков. И в этом случае результаты регрессии представляют собой выборочные характеристики.

4. Неправильная функциональная спецификация. Функциональное соотношение между у и х математически может быть определено неправильно. Например, истинная зависимость может не являться линейной, а быть более сложной. Следует стремиться избегать возникновения этой проблемы, используя подходящую математическую формулу, но любая формула является лишь приближением истинной связи у и  х  и существующее расхождение вносит вклад в остаточный член.

5. Возможные ошибки  измерения.

В парной регрессии выбор вида математической функции yх=f(x), может быть осуществлен графическим, аналитическим, экспериментальным методами.

Наиболее наглядным методом является графический. Он основан на поле корреляции.

Основные типы кривых, используемых при количественной оценке связей, представлены на рис. 2.1.

Кроме уже указанных используют также и другие типы кривых, например:



Значительный интерес представляет аналитический метод выбора типа уравнения регрессии, который основан на изучении материальной природы связи исследуемых признаков.

Пусть, например, изучается потребность предприятия в электроэнергии y в зависимости от объема выпускаемой продукции x.

Общее  потребление электроэнергии y можно подразделить на две части:

-             не связанное с производством продукции а;

-             непосредственно связанное с объемом выпускаемой продукции, пропорционально возрастающее с увеличением объема выпуска (bx).

 












 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис 2.1. Основные типы кривых, используемые при количественной оценке связей

между двумя  переменными

 

Тогда зависимость потребления электроэнергии от объема продукции можно выразить уравнением регрессии вида.

y = a+bx

Если разделим обе части  уравнения на величину объема  выпускаемой продукции (х), то получим выражение зависимости удельного расхода электроэнергии на единицу продукции (z = y/x) от объема выпущенной продукции (х) в виде уравнения гиперболы:

z = b+a/x

При обработке информации на компьютере выбор вида уравнения регрессии осуществляется экспериментальным методом, т.е. путем сравнения величины остаточной дисперсии  Dост, рассчитанный при разных моделях.

  В реальных условиях, как правило, всегда имеет место некоторое отклонение  точек результативного признака относительно линии регрессии, обусловленное, присутствием случайного члена ?.













Поэтому для уравнения регрессии  вычисляется величина суммы отклонений (y-yx):

где   y – фактические значения результативного  признака,

         yx – расчетные значения, полученные по уравнению регрессии

Чем меньше величина Dост, тем лучше уравнение регрессии описывает рассматриваемую корреляционную связь. Из разных математических функций выбирается та, для которой Dост является min.

В случае, когда Dост оказывается примерно одинаковой для нескольких функций, то предпочтение отдается более простым видам функций.

Обычно число наблюдений должно в 6-7 и более раз превышать число рассчитываемых параметров при переменной х.

 

2.1.2. Линейная  регрессия сущность, оценка параметров

 

Линейная регрессия сводится к построению  уравнения вида y=a+bx

Построение уравнения регрессии сводится в первую очередь к расчету его параметров - а и b. Они могут быть определены разными методами. Наиболее распространенным методом, является метод наименьших квадратов (МНК).

Допустим, что заданы n наблюдаемых значений результативного признака (у) и признака-фактора (х).                                                                     

Следует отметить, что рассчитываются не истинные значения a и b, а только  оценки, которые могут быть хорошими или плохими.

Возникает вопрос: существует ли способ достаточно точной оценки а и b алгебраическим путем?

Вначале на поле корреляции построим точки соответствующие наблюдаемым значениям х и у и прямую, выражающую линейную регрессию     (рис.2.2).













 Первым шагом является определение остатка для каждого наблюдения. Разность между фактическим и расчетным значением, соответствующим xi, описывается как остаток в  i-м приближении:












 

 

 

 

 

 

Рис.2.2  Точки рассеивания и прямая, выражающая линейную регрессию 

Очевидно, что нужно построить такую линию регрессии, чтобы остатки были минимальными. Необходимо выбрать какой-то критерий подбора, который будет одновременно учитывать величину всех остатков.

Критерий минимизации суммы квадратов отклонений, фактических значений результативного признака (у) от расчетных (теоретических)  :













заложен в основу МНК.

 















Обозначим           через S, тогда













Чтобы найти min (2.4), надо вычислить частные производные по каждому из параметров а и bи приравнять их к нулю:













Преобразуя систему (2.5), получаем следующую систему нормальных уравнений для оценки параметров a и b:

Решая систему (2.6), получим

,

 ,                                                (2.7)

где           

Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает, насколько единиц изменится результат с изменением фактора на одну единицу.

Параметр a, вообще говоря, не имеет экономической интерпретации. Например, если a<0, то попытка его экономической интерпретации приводят к абсурду.

Зато можно интерпретировать знак при параметре а. Если, а>0, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора.

 

2.1.3. Определение тесноты связи и оценка существенности уравнения регрессии

 













 Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такового показателя выступает линейный коэффициент корреляции r. Одна из формул линейного коэффициента корреляции имеет вид:

 













Коэффициент корреляции находится в пределах: . Если b>0,  то 0<r<1,  и, наоборот,  при b<0,   -1< r<0.

Линейный коэффициент корреляции оценивает тесноту связи рассматриваемых признаков в ее линейной форме. Поэтому близость абсолютного значения линейного коэффициента корреляции к нулю еще не означает отсутствие связи между признаками. При нелинейном виде  модели связь может оказаться достаточно тесной.

Квадрат линейного коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации. Он характеризует долю дисперсии результативного показателя y, объясняемую регрессией.

Соответственно величина 1-r2  характеризует долю дисперсии у, вызванную влиянием остальных, неучтенных в модели, факторов.

После того как построено  уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных ее параметров.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится с помощью F-критерия Фишера.

С F-критерием  тесно связана характеристика, называемая  числом степеней свободы, которая применительно к исследуемой проблеме  показывает, сколько независимых отклонений из n-возможных  

требуется для образования данной суммы квадратов.

Существует равенство между числом степеней свободы общей, факторной   и остаточной суммы квадратов.

Число степеней  свободы для факторной суммы квадратов равно 1, для общей суммы квадратов равно (n-1), для остаточной суммы квадратов составляет  (n-2).













Разделив каждую сумму квадратов на соответствующее ей число степеней свободы, получаем дисперсию на одну степень свободы:













Сопоставляя факторную и остаточную дисперсию на одну степень свободы, получим величину  F- отношения  (F - критерий):

Величина F- критерия связана с коэффициентом  детерминации r2 :













F -  критерий для проверки нулевой  гипотезы H0:  Dфакт = Dост.

Т.е. если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Это  дает  основание  считать, что  влияние объясняющей  переменной  х  модели       несущественно, а,  следовательно,   общее   качество  модели  невысоко.

Английским статистиком Снедекором разработаны  таблицы критических значений  F – отношений при разных уровнях существенности нулевой гипотезы и  различном числе степеней свободы. Табличное значение  F – критерия – это максимальная величина отношения дисперсии, которая может иметь место при случайном  их расхождении для данного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы.

Если Fфакт > Fтабл, то нулевая гипотеза  об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи.

Если  F факт < Fтабл, то H0 не отклоняется и уравнение регрессии считается статистически незначимым.

































В линейной регрессии обычно оценивается значимость  не только  уравнения в целом, но и отдельных его параметров. Для этого по каждому из параметров определяется его стандартная ошибка: mb  и ma

Для оценки  существенности коэффициента регрессии его величина сравнивается с его стандартной ошибкой, т. е. определяется фактическое значение t -  критерия Стьюдента:

  , которое затем сравнивается с табличным значением при заданном уровне значимости   и числе степеней свободы (n-2)

Имеет место равенство:

.

Для оценивания существенности параметра   определяется

   и его величина  сравнивается с табличным  значением.

Если табличное значение t – критерия превышает фактическое, то делается вывод о несущественности данного коэффициента, а если наоборот, табличное значение меньше фактического  - вывод о существенности данного коэффициента.

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе величины ошибки коэффициента корреляции:



Фактическое значение t – критерия Стьюдента  определяется как

 



Т.о. проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

B прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое (ур) значение как точечный прогноз ух при хр = хк т.е. путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего значения х. Точечный прогноз явно не реален, поэтому он всегда дополняется расчетом стандартной ошибки   , т.е. , и соответственно интервальной оценкой прогнозного значения:

                      (2.13)

Стандартная ошибка предсказываемого среднего значения у, при заданном значении х, определяется по формуле:

   ,         (2.14)

где  .

При прогнозировании на основе уравнения регрессии следует помнить, что величина прогноза зависит не только от стандартной ошибки индивидуального значения у, но и от точности прогноза значения фактора х.

Доверительные интервалы прогноза индивидуальных значений у при фиксированных значениях х с различными вероятностями имеют вид:

;

где       t=1 при 68% вероятности

  t=2,0 при 95% вероятности  

  t=2,58 при 99% вероятности

Для экономических расчетов степень вероятности обычно принимается равной 95%.

 

2.2. Нелинейная регрессия  в экономике и ее линеаризация

 

2.2.1. Виды нелинейных регрессионных моделей, расчет их параметров

 

 Хотя  во  многих   практических  случаях моделирование  экономических  зависимостей  линейными  уравнениями  дает  вполне  удовлетворительный   результат, однако ограничиться   рассмотрением  лишь   линейных  регрессионных   моделей  невозможно.  Так   близость линейного коэффициента   корреляции  к нулю  еще  не   значит, что связь между  соответствующими  экономическими  переменными   отсутствует.  При слабой линейной связи  может быть очень  тесной, например, не линейная  связь. Поэтому  необходимо  рассмотреть и нелинейные регрессии, построение  и анализ  которых   имеют  свою специфику.

В случае, когда между экономическими явлениями существует нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных эконометрических моделей.

Различает две группы  нелинейных регрессионных моделей:

­    модели, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

­    модели  нелинейные по оцениваемым параметрам.

К первой группе  относятся, например, следующие виды функций:

 - полином 2-й степени;

 - полином 3-й степени;

 - гипербола.

Ко второй группе  относятся:

 - степенная;

 - показательная;

 - экспоненциальная и др. виды функций.

Классическим примером функций, относящихся  к первой группе,  являются кривые Филипса и Энгеля:

 и    , соответственно.

Первая функция характеризует нелинейные соотношения между нормой безработицы x и процентом прироста заработной платы у. Из данной зависимости следует, что с ростом уровня безработицы темпы роста заработной платы в пределе стремится к нулю.

Вторая функция устанавливает закономерность – с ростом дохода доля  расходов на продовольствие - уменьшается. Здесь у, обозначает - долю расходов на непродовольственные товары; х – доходы.

 Первая группа нелинейных функций легко может быть линеаризована (приведены к линейному виду). Например, для полинома к-го порядка

 производя замену:

, , ,…,

получим линейную модель вида

.

Аналогично могут быть линеаризованы и другие виды нелинейных функций 1-й группы, производя соответствующие замены.

Для оценки параметров нелинейных функций первой группы  можно  использовать, обычный   МНК, аналогично, как и в случае линейных функций.

Иначе обстоит дело с группой регрессионных, нелинейных функций  по оцениваемым параметрам. Данную группу функций можно разбить  на две подгруппы:

­             нелинейные модели внутренне линейные;

­             нелинейные модели внутренне нелинейные.

Рассмотрим степенную функцию . Она нелинейна относительно параметров  и b. Однако ее можно считать внутренне линейной, так как, прологарифмировав ее можно привести к линейному виду:

.

Следовательно, ее параметры могут быть найдены обычным МНК.

Если модель представить в виде:

, то модель становится внутренне нелинейной, т.к. ее невозможно преобразовать  в линейный вид.

Внутренне нелинейной будет и модель вида

 

В эконометрических исследованиях, часто к нелинейным относят модели, только внутренне нелинейные по оцениваемым параметрам, а все другие модели, которые легко преобразуются в линейный вид, относятся к группе линейных моделей. Например, к линейным относят модель:

,  так как

.

Если, модель внутренне нелинейна по параметрам, то для оценки параметров используются итеративные методы, успешность которых зависит от вида функции и особенностей применяемого итеративного подхода.

МНК в случае нелинейных функций, рассмотрим на примере оценки параметров степенной функции .

Прологарифмировав данную функцию, получим:

 или, производя обозначения:

, где

; ; ; .

Применив МНК к полученному уравнению:

, или



Параметр b определяется непосредственно из системы, а параметр а – косвенным путем:

 

2.2.2. Оценка корреляции для нелинейной регрессии

 

Оценка тесноты корреляционной зависимости в случае нелинейной  регрессии производится с помощью  индекса корреляции (R):

                                                                       

где    , ,

 значения результативного признака, рассчитанные по уравнению регрессии.

Величина данного показателя находится в границах: , чем она ближе к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем надежнее найденное уравнение регрессии.

Следует помнить, что если для линейной зависимости имеет место равенство: , то при криволинейной зависимости    не равен .

Величина R2 называется индексом детерминации.

Оценка существенности индекса корреляции проводится, так же как и оценка надежности коэффициента корреляции. Индекс детерминации используется для проверки существенности в целом уравнения нелинейной регрессии по F-критерию Фишера:



где R2- индекс детерминации;

  n - число наблюдений;

 m - число параметров при переменных х.

Индекс детерминации  можно сравнивать с коэффициентом детерминации  для обоснования возможности применения линейной функции.

Если величина  не превышает 0,1, то предположение о линейной форме связи считается оправданным. В противном случае проводится оценка существенности различия междуи r2yx, вычисленных по одним и тем же исходным данным, через t - критерий Стьюдента:



где

Если , то различия между  и  существенны и замена нелинейной регрессии линейной - невозможна. Практически, если , то различия между  и  несущественны, и, следовательно, возможно применение линейной регрессии.

Фактические значения результативного признака отличаются от теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии, т.е.  и . Чем меньше это отличие, тем ближе теоретические значения подходят к эмпирическим данным, лучше качество модели. Чтобы иметь общее представление о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации:

  

 Существует и другая формула определения средней ошибки аппроксимации:

,       где .

Ошибка аппроксимации в пределах 5-7% свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным.

Возможность  построения  нелинейных  моделей,  как с  помощью их  приведения к  линейному  виду,  так и путем  использования   нелинейной  регрессии,  значительно   повышает универсальность  регрессионного  анализа,  но и  усложняет  задачу  исследователя.

Возникает вопрос: с чего  начать -  с  линейной  зависимости  или с  нелинейной, и если с  последней,  то,    какого типа.

Если  ограничиться   парной  регрессией,  то  можно  построить  график наблюдений у и х  и принять   решение.  Однако  очень  часто  несколько  разных  нелинейных  функцией   приблизительно   соответствуют  наблюдениям,  если  они  лежать  на  некоторой  кривой. А в случае  множествен6ной   регрессии  невозможно  даже построить  график.

При рассмотрении  альтернативных  моделей с одним  и тем   же  определением  зависимой  переменной  процедура  выбора достаточно  проста. Наиболее разумным является  оценивание  регрессии   на основе  всех  вероятных функций, и выбор   функции,   в наибольшей  степени объясняющей    изменения  зависимой  переменной. Если  для одной  модели  коэффициент  R2  значительно   больше, чем для другой, то вы сможете  сделать оправданный выбор  без  особых  раздумий,    однако, если  значения R2 для двух  моделей  приблизительно  равны, то   проблема  выбора  существенно  усложняется.

В этом  случае  следует  использовать  стандартную  процедуру,  известную  под  названием  теста  Бокса – Кокса.

Если   необходимо сравнить  модели с  использованием у и lny  в качестве   зависимой   переменной, то  можно  использовать  вариант  теста,  разработанный  Полом  Зарембкой.  Процедура  включает  следующие  шаги:

1. Вычисляется среднее   геометрическое  значений у  в  выборке, (оно  совпадает с экспонентой   среднего  арифметического lny):

                                        

2. Пересчитываются  наблюдения у, т.е. они  делятся  на  это  значение, то есть

                                                    

3. Оценивается   регрессия для  линейной  модели  с  использованием  у*i  вместе yi  и для  логарифмической  модели  с использованием ln(y*i)  вместо  ln(yi). Теперь  значения  суммы  квадратов отклонений  для двух  регрессий  сравнимы, и, следовательно, модель с  меньшей  суммой  квадратов  отклонений обеспечивает лучшее  соответствие.   

 

2.3.  Множественная регрессия и корреляция

 

2.3.1. Множественная  регрессия. Отбор факторов при  построении ее модели

 
  1   2   3   4   5   6



Скачать файл (429.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru