Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Ответы - Державний екзамен з методики викладання математики Часть 2 (питання+відповіді) - файл n1.doc


Ответы - Державний екзамен з методики викладання математики Часть 2 (питання+відповіді)
скачать (1041 kb.)

Доступные файлы (1):

n1.doc1041kb.23.01.2013 19:59скачать

Загрузка...

n1.doc

  1   2   3
Реклама MarketGid:
Загрузка...
Методики навчання математики

  1. Теореми і аксіоми. Види теорем. Методи доведення теорем. Геометричні і алгебраїчні задачі на доведення і дослідження.

  2. Тригонометричні функції, їх властивості і графіки. Методика вивчення тригонометричних функцій.

  3. Геометрія як навчальний предмет, цілі і задачі навчання геометрії, вимоги до математичної підготовки учнів з геометрії.

  4. Показникові функції і їх графіки. Методика вивчення показникових функцій в курсі алгебри і початків аналізу.

  5. Логарифмічні функції і їх графіки. Методика вивчення логарифмічної функції в курсі алгебри і початків аналізу.

  6. Методика вивчення тотожних перетворень тригонометричних, логарифмічних і показникових виразів.

  7. Похідна і її властивості. Методика вивчення похідної в шкільному курсі математики.

  8. Методика вивчення застосувань похідної в шкільному курсі математики.

  9. Методика вивчення первісної та інтегралу в шкільному курсі математики.

  10. Методика вивчення векторів на площині і у просторі.

  11. Геометричні перетворення площини. Використання геометричних перетворень площини для розв’язання конструктивних задач.

  12. Алгебраїчний метод розв’язання конструктивних задач і його застосування.

  13. Метод геометричних місць точок і його застосування до розв’язання конструктивних задач.

  14. Стереометрія як навчальний предмет, пропедевтика вивчення стереометрії в основній школі.

  15. Методика проведення перших уроків стереометрії.

  16. Методика вивчення паралельності прямих і площин.

  17. Методика вивчення перпендикулярності прямих і площин.

  18. Методика вивчення теми «Призма» в курсі стереометрії.

  19. Методика вивчення теми «Піраміда» в курсі стереометрії.

  20. Методика вивчення теми «Многогранники». Теорема Ейлера і правильні многогранники.

  21. Методика вивчення тіл обертання в шкільному курсі геометрії.

  22. Координатний метод і його застосування для розв’язування задач.

  23. Методика вивчення елементів комбінаторики.

  24. Методика вивчення початків теорії ймовірностей і елементів статистики.

  25. Методика вивчення тригонометричних рівнянь і нерівностей.

  26. Методика вивчення показникових рівнянь і нерівностей.

  27. Методика вивчення логарифмічних рівнянь і нерівностей.

  28. Методика вивчення рівнянь і нерівностей в курсі алгебри і початків аналізу.

  29. Формування графічних вмінь і навичок при вивченні математики.

  30. Нестандартні задачі і теореми елементарної геометрії. Принцип Діріхле. Теореми Чеви і Менелая.

1. Теореми і аксіоми. Види теорем. Методи доведення теорем. Геометричні і алгебраїчні задачі на доведення і дослідження.
У математицi доводиться мати справу з висловленнями (або твердженнями), якi доводяться (теореми, задачi на доведення), i такими, що їх домовляються приймати без доведення (аксiоми).

Введення аксiом, як i первiсних (неозначуваних) понять, пов’язане з дедуктивним характером побудови мат-ки. Справдi, доведения будь-якого твердження скл. з тверджень, iстиннiсть яких обгрунтовується ранiше доведеними iстинними твердженнями. Оскiльки низка ранiше доведених тверджень не м.б. нескiнченною, виникає потреба домовитись прийняти без довед. дек-ка iстинних тверджень. Їх назвали аксiомами, що в перекл. з грец. означ. «повага», «авторитет». На осн. аксiом, доведених ранiше тверджень i означень доводять новi твердження (теореми, задачi на доведення).

Загальні прийоми роботи з теоремою. При індуктивному введенні теореми можна умовно виділити наступні етапи її вивчення: 1.Мотивація вивчення теореми і розкриття її змісту (формулювання теореми); 2.Робота над ст.-рою теореми; 3.Мотивація необхідності доведення теореми; 4.Побудова креслення і короткий запис теореми; 5.Пошук доведення; 6.Доведення і його запис; 7.Закріплення теореми; 8.Застос. теореми. Прийоми: узагальнення спостережуваних в житті фактів і явищ і переклад мат-ною мовою, для вирішення практичних завдань, для вирішення завдань і доведення ін. теорем; виконання побудов, вирішення завдань на відшукання залежностей, практичні і лабораторні роботи і т.д.

Порядок роботи над формулюванням теореми: а)прочитати; б)виділити умову і висновок; в)замінити терміни їх визначеннями; г)все, що можливо, виразити за допом. креслення; д)доповнити креслення коротким записом. Доведення теорем в навч. посібниках викладені суцільним текстом, тому необх. його розчленув. на логічні кроки. Доцільно відокремити результати кроків доведення від їх обгрунтувань або дати структурну схему доведення.

Прийоми ознайомлення з доведенням теореми.

1.Вчитель висловлює доведення теореми і для активізації класу використовує евристичну бесіду.

2.Вчитель висловлює доведення теореми у вигляді короткої розповіді, не перериваючи її питаннями. Це можливо, коли доведення не громіздке, коли спосіб доведення новий для учнів і їх важко підвести до здогадки або коли окремі частини доведення теореми розбираються при виконанні підготовчих вправ.

3.Після роботи над теоремою вона перетворюється на завдання по готовому малюнку, якщо це завдання посильне учневі, то пропонується для самостійної роботи, самостійне доведення теореми полегшується, якщо вчитель дасть готовий план.

4.Доведення пропонується вивчити самостійно по навч. посібнику, потім один з учнів тут же на уроці доводить теорему.

5. У вигляді лекції висловлюється доведення, коли воно громіздке.

Методи доведення теорем: 1)аналітичний; 2)синтетичний; 3)метод доведення від супротивного; 4)координатний; 5)векторний; 6)метод геометричних перетворень; 7)метод геометричних місць точок; 8)метод повної індукції; 9)метод мат. індукції.

2. Тригонометричні функції, їх властивості і графіки. Методика вивчення тригонометричних функцій.

y=sin(x) D(sin x) = R, y = sin x – непарна функція, графік симетричний відносно початку координат, 3) періодичність: T = 2?,4) sin x = O при х = ?n, nZ (нулі функції)

5)проміжки знакосталості:sin x > 0 при 0 + 2?n < x < ?+ 2?n, nZ

sin x < 0 при ? + 2?n < x < 2?+ 2?n, nZ

6. проміжки монотонності: x [- ? /2 + 2?n; ? /2 + 2?n], nZ – зростає

x [ ? /2 + 2?n; 3? /2 + 2?n], nZ– спадає

7. екстремуми: y max = 1 при х = ? /2 + 2?n, nZ

y min = - 1 при х = - ? /2 + 2?n, nZ

8. E(sin x) = [- 1 ; 1] 9. похідна: (sin x )ґ = cos x

y=cos(x) D(cos x) = R, y = cos x –парна функція,

графік симетричний відносно осі ординат

3. періодичність: T = 2? 4. cos x = 0 при х = ? /2 + ?n, nZ (нулі функції)

5. проміжки знакосталості cos x > 0 при - ? /2 + 2?n < x < ? /2 + 2?n, nZ

cos x < 0 при ? /2 + 2?n < x < 3? /2 + 2?n, nZ

6. проміжки монотонності: x [ ?+ 2?n; 2?+ 2?n], nZ –зростає x [0 + 2?n; ?+ 2?n], nZ– спадає

7. екстремуми: y max = 1 при х = 2?n, nZ y min = - 1 при х = ?+ 2?n, nZ

8. E(cos x) = [- 1 ; 1] 9. похідна: (cos x )ґ = - sin x

y=tg(x) D(tg x) = x R/ ? /2 + ?n, nZ , y = tg x – непарна функція графік симетричний відносно початку координат

3. періодичніть: T = ? 4. tg x = 0 при х = ?n, nZ (нулі функції)

5. проміжки знакосталості: tg x > 0 при 0 + ?n < x < ? /2 + ?n, nZ

tg x < 0 при - ? /2 + ?n < x < 0 + ?n, nZ

6. проміжки монотонності: x [- ? /2 + ?n; ? /2 + ?n], nZ –зростає эестремумів немає

E(tg x) = R 9. похідна: (tg x )ґ = 1/cos 2 x

y=ctg(x)

D(ctg x) = x R / ?n, nZ ,y = ctg x –непарна функція графік симетричний відносно початку координат 3. періодичність: T = ? 4. ctg x = 0 при х = ? /2 + ?n, nZ (нулі функції) 5. проміжки знакосталості: ctg x > 0 при 0 + ?n < x < ? /2 + ?n, nZ

ctg x < 0 при ? /2 + ?n < x < ? + ?n, nZ

6. проміжки монотонності: x [0+ ?n; ?+ ?n], nZ – спадає екстремумів немає

E(ctg x) = R 9. похідна: (ctg x )ґ = - 1/sin 2 x

Традиційна методична схема вивчення тригонометричних функцій:

На початку визначаються тригонометричні функції для гострого кута прямокутного трикутника; Потім введені поняття узагальнюються для кутів від до ; Тригонометричні функції визначаються для довільних кутових величин та дійсних чисел. У курсі алгебри і початки аналізу здійснюється заключний етап вивчення, який включає: a) Закріплення уявлень учнів про радіанної мірою кута; відпрацювання навичок переходу від градусної міри до радіанної і навпаки; b) Формування уявлень про кутах з градусної мірою, більшою ; Формування уявлень про кути з позитивною і негативною градусними заходами;переклад цих градусних заходів у радіани (позитивні і негативні дійсні числа); c) Опис тригонометричних функцій на мові радіанної міри кута; d)Затвердження функціональної точки зору на , , І (Трактування , , І як функцій дійсного аргументу, встановлення області визначення, області значень, побудова графіка функції, встановлення проміжків монотонності, знакопостоянства і т.д.); e) Повторення відомих та ознайомлення з новими тригонометричними тотожністю, ключем яких є тотожність ;f) Застосування тригонометричних тотожностей в тотожних перетвореннях і при вирішенні завдань по стереометрії. У курсі "Алгебра 9" учні знайомляться з функціональної точкою зору. Вирази і определіми при , Т.к кута повороту можна знайти відповідне значення дробів і . Вираз має сенс при , Крім кутів повороту , , ..., Тому що має сенс дріб . Кожному допустимого значення відповідає єдине значення , , і . Тому , , і є функціями кута . Їх називають тригонометричними функціями.

Введення радіанної міри кута ґрунтується на тому факті, що відносини довжини кола до її радіусу постійно для даного центрального кута і не залежить від вибору концентричних кіл. З цієї причини міру центрального кута можна охарактеризувати дійсним числом . Якщо покласти рівним 1, то Радіанна міра центрального кута дорівнює 1, тобто . Тоді для кожного кута, заданого в градусах, достатньо обчислити відповідну дугу одиничному колі. Довжина такої дуги буде висловлювати міру даного кута в радіанах. Радіанна міра кута дозволяє будь-якому дійсному числу поставити у відповідність певну градусну міру кута за формулою: , Де . Перехід від радіанної міри кута до дійсного числа здійснюється на підставі того, що . Учням слід показати зміну величин кутів по координатним кутках.

Визначення тригонометричної функції: Опр. Окружність радіуса 1 з центром у початку координат називають одиничною колом. Нехай точка одиничному колі отримана при повороті точки на кут в радіан. Ордината точки - Це синус кута . Числова функція, задана формулою , Називається синусом числа, кожному числу ставиться у відповідність число . Встановлюються області визначення і значення функцій, нагадуються властивості: ; . Можна побудувати схему, що дозволяє зобразити графік тригонометричних функцій:

1) Накреслити одиничну окружність, горизонтальний діаметр якої служить продовженням осі . Розділити її на рівні частини (наприклад, 16).

2) Для функції вибираємо відрізок , Для функції - і ділимо їх на той же рівне число частин.

3) По колу знаходимо відповідне число значень цих функцій.

4) Точки перетину горизонтальних ліній, що відповідають значенням функцій і вертикальних ліній, що відповідають значенням аргументу, являють собою точки графіка.

3. Геометрія як навчальний предмет в основній школі, цілі і задачі навчання геометрії, вимоги до математичної підготовки учнів.

Мета викладання геом. в 7-9 кл.: систематич. вивч. вл-тей геом. фігур на площині, формув. пр-рових уявлень, розв. логіч. мислення, засвоєння апарату, потрібного для вивч. суміжних дисциплін.

Навч. матеріал курсу групується навколо 5-ти змістовних ліній:

1)геом. фігури та їх вл-ті;

2)геом. побудови;

3)геом. перетворення;

4)геом. величини, їх вимірюв. і обчислення;

5)координати і вектори.

Геом. як наука - частина мат-ки, початковим предм. якої є пр-рові віднош. і форми тіл, без урахув. ін. їх вл-тей (густини, маси).

Виникнення геом. з давніх-давен було зумовлене практич­ними потребами людей. Найпрост. геом. твердж. і поняття були відомі ще в Старод. Єгипті. Бл. 300р. до н.е. вже з'явились порівняно строгі логічні доведення, які були зібрані в «Началах» Евкліда. Новий підхід до розв'язування геом. фактів за­пропонував у Іпол. XVIIст. Декарт. Він відкрив м-д координат, чим було закладено основи аналітичної геом. У 1826 р. Лобачевський запропонував с-му аксіом, відмінну від аксіом Евкліда, - була відкрита можливість існуван­ня неевклідової геометрії.

У ШК до 60-х рр. XX ст. в основу логічної побу­дови підручників геометрії у всіх кр. було покладено аксіо­матику Евкліда (підручник Кисельова). З 70-х рр. у республіках ко­лишнього СРСР протягом кількох років планіметрія викладалась за посібником, створеним з безпосередньою участю Колмогорова. Однак посібник зазнав гострої критики через занадто високий його теоретичний рівень, заформалізованість термінологією і символікою множин, недоско­налість системи задач. З 1982-1983н.р. 6 класи всіх шкіл України і кількох областей Білорусі, Росії почали працювати за четвертим виданням навчального посібника Погорєлова. Після кількох перевидань і перемоги на Всесоюзному конкур­сі 1990 р. цей посібник разом з книжкою Атанасяна та ін. було введено як паралельні підручники для 7-11 класів сер. школи.

Підручник Погорєлова побудовано за традиційною схемою, на дедуктивній основі, хоч і не строго аксіоматичним. Виклад теоретич. матеріалу ґрунтується на 7-ми первіс­них (неозначуваних) поняттях. 6 з них - планіметричні (точка, пряма, довжина відрізка, гра­дусна міра кута, відношення «належати» для точок і прямих і «лежить між» для 3-х точок прямої), і одне вводиться в сте­реометрії - поняття «площина». Осн. вл-ті неозначуваних понять описуються 9-ма аксіомами планіметрії і 3-ма аксіомами стереометрії: IV.Пряма, що належить площині, розбиває цю площину на дві півплощини. VII.Від півпрямої на площині, яка її містить, в задану півплощину можна відкласти кут з даною градусною мірою, меншою 180°, і тільки один. VIII.Хоча б яким був трикутник, існує рівний йому трикутник
у даній площині в заданому розташуванні стосовно даної півпряімої в цій площині.

За рахунок зміни послідовності викладу теорем традиційного курсу вдалося стисло викласти теоретичний матеріал і доповнити курс новими темами: декартові координати, вектори, геометричні перетворення.

Уже в § 1, де вводяться всі первісні поняття й аксіоми, почи­нає послідовно розвиватися ідея аксіоматичної побудови геомет­рії. Аксіоми і теореми широко використовуються для доведення теорем і розв'язування задач.

У підручнику Погорєлова є 3 класи понять: 1)пер­вісні, які не означуються; 2)ті, що вводяться описово, без строго­го означення; 3)поняття, які означаються за до­помогою первісних понять або означених раніше.

Координати і вектори на площині і в просторі та геометричні перетворення введено радше із загальноосвітньою метою, ніжяк апарат для доведення теорем і розв'язування задач. У підручнику Погорєлова значно менше місця і уваги приділено геометричнимпобудовам. Означення тригонометричних функцій вводиться вже у8кл. спочатку через відношення сторін в прямокутному трикутнику, а пізніше координатним способом. Апарат тригонометріїзастосовується для розв'язування прямокутних і косокутних трикутників і в теоретичному матеріалі.

Методичні особливості підручника Погорєлова визна­чаються 3-ма факторами. По-перше, підручник призначений для учнів. По-друге, автор ви­ходить з того, що головне завдання викладання геометрії в школі - навчити учня логічно міркувати, аргументувати свої твердження, доводити. По-третє, основним засобом навчання геометрії вважається розв'язування задач.

Організації самостійної роботи сприяють наведені після кож­ного параграфа запитання для повторення. Запитання складено так, що на кожне з них учень може знайти відповідь в тексті під­ручника.

Показникові функції і їх графіки. Методика вивчення показникових функцій в курсі алгебри і початків аналізу.

Означення. Функція виду де a>0, а?1, яка містить у показнику аргумент х,

називається показниковою за основою а.



, 0<а<1

, а>1

  1. Область визначення:

Множина дійсних чисел хО(-Ґ;Ґ)

  1. Область визначення:

Множина дійсних чисел хО(-Ґ;Ґ)

  1. Область значень:

Множина додатних чисел уО[0;Ґ)

2. Область значень:

Множина додатних чисел уО[0;Ґ)

  1. Функція спадає на всій

області визначення

3. Функція зростає на всій

області визначення

  1. Графік функції перетинає

вісь Оу в точці (0;1).

4. Графік функції перетинає

вісь Оу в точці (0;1).

  1. Для х<0, у>1; для х>0, у<1.

5. Для х<0, у<1; для х>0, у>1.


1) .Щоб побудувати графік функції , треба виконати паралельне перенесення графіка функції на 1 одиницю вправо вздовж вісі Ох, або побудувати допоміжну систему координат перенесенням осі Оу на 1 одиницю вправо вздовж вісі Ох і побудувати в новій системі координат хОўуў графік функції.

2) . Виконаємо перетворення =. Побудову графіка виконуємо паралельним перенесенням графіка функції на 1 одиницю вправо вздовж вісі Ох.

3) . Щоб побудувати графік функції , треба побудувати частину графіка для хі0 і цю частину симетрично відобразити відносно осі Оу.

4) .Щоб побудувати графік функції , треба 1) побудувати графік функції (див. приклад1.) для хі1; 2) симетрично відобразити побудовану частину графіка відносно осі Оўуў.

5) . Щоб побудувати графік функції , треба 1) побудувати графік функції (див. приклад1.) для хі0; 2) симетрично відобразити побудовану частину графіка відносно осі Оу.

6) .Щоб побудувати графік функції , треба виконати паралельне перенесення графіка функції на 3 одиницю вниз вздовж вісі Оу, або побудувати допоміжну систему координат перенесенням осі Ох на 3 одиниці вниз вздовж вісі Оу і побудувати в новій системі координат графік функції.
7) .

Щоб побудувати графік функції , треба 1) побудувати графік функції (див. приклад5.) для уі0 (вище вісі Ох); 2) частину графіка, яка нище вісі Ох симетрично відобразити відносно осі Ох.
Вивчення показникової функції. Введення поняття показникової функції доцільно здійснювати за тією самою методичною схемою, за якою вивчалися всі попередні функції .

На етапі мотивації доцільно навести приклади залежностей, які виражаються через показникову функцію.

Приклад 1. При радіоактивному розпаді маса т речовини змінюється -з часом t за законом , де m- маса речовини через t років після початку розпаду, то - початкова маса речовини, а - стала для даної речовини.

Приклад 2. Кількість мешканців міста з мільйонним населенням через х років обчислюється за умови, що кожного року спостерігається приріст населення на 2 % за формулою у = 1 000000 0,02х.

Приклад 3. При витіканні рідини з циліндричної посудини через тонку трубку, що розміщена в основі циліндра, висота h рівня рідини з часом t змінюється за формулою , де - початковий рівень води, а - стала, що залежить від діаметра трубки.

У кожному з наведених прикладів формула задає функцію, для обчислення якої сталий множник доводиться множити на степінь сталої зі змінним показником, яка має цілком певне додатне значення. Найпростішим випадком таких залежностей є функція вигляду , яку називають показниковою.

Означення. Показниковою функцією називається функція , де а - задане додатне число, не рівне одиниці, х і у- змінні.

Зауважимо, що в підручнику (А.М. Колмагорова) умова а1 не накладається, хоча в багатьох підручниках ця умова вводиться, оскільки при а = 1 показникова функція вироджується в лінійну функцію у = 1 і нецікава щодо вивчення її властивостей.

Існують й інші методичні варіанти введення показникової функції. Зокрема, В. В. Затакавай пропонує аксіоматичне задання показникової функції за допомогою диференціального рівняння. Ця функція вводиться як розв'язок рівняння у'=ку Інший методичний підхід передбачає мотивацію введення показникової функції на основі ідеї пониження порядку арифметичних дій. Суть такого підходу полягає ось у чому. Якщо розглянути арифметичну професію

1,2,3,4,5,6,... і відповідну геометричну прогресію

21 = 2; 22 = 4; 23 = 8; 24 = 16; 25 = 32; 26 = 64; ... ,

яка утворюється зі степенів числа 2 з показниками, що є членами першої (арифметичної) прогресії, то щоб знайти добуток чисел 16 ∙ 32, досить додати відповідні показники числа 2. Дістанемо 24 ∙ 25 = 29 = 512. Число 512 знаходиться як 9-й член геометричної прогресії. Щоб заміняти множення додаванням, треба вміти зображати будь-яке число у вигляді степеня того самого числа, наприклад числа 2. Виявилось, що найбільш зручною основою степенів є число 10. Якщо кожному дійсному показнику х відповідає певне дійсне число, що є степенем числа 10 з показником х, то дістаємо показникову функцію у = 10х. Якщо, навпаки, для кожного дійсного числа треба знайти відповідний показник х степеня числа 10, то дістаємо логарифмічну функцію з основою 10, яка має спеціальний символ .

  1. Логарифмічні функції і їх графіки. Методика вивчення логарифмічної функції в курсі алгебри і початків аналізу.

Функцію називають логарифмічною функцією з основою a. Логарифмічна та показникова функції є взаємно оберненими. Властивості логарифмічної функції : , Графіки показникової і логарифмічної функцій з однаковою основою симетр. відносно прямої y=x.

Логарифмічна функція.

Перш ніж вводити логарифмічну функцію як функцію, обернену до показникової, доцільно ввести означення логарифма числа b за основою а (а > 0, а 1) як показника степеня, до якого треба піднести число а, щоб дістати число b, і запровадити символ . Треба звернути увагу учнів на те, що логарифмічна рівність =х і показникова ax = b виражають те саме співвідношення між числами a, b і х. За цими рівностями можна знайти одне з трьох чисел, яке до них входить. Варто розв'язати кілька вправ на перехід від показникових до логарифмічних рівностей, обчислення значень виразів на зразок 51og327 + 21og2, log2log264, а відтак ввести основну логарифмічну тотожність і розв'язати кілька усних вправ на її застосування до обчислення значень виразів.

Основою для розв'язування логарифмічних рівнянь і нерівностей, тотожних перетворень логарифмічних виразів є чотири теореми про основні властивості логарифмів і наслідки з них, а також деякі важливі логарифмічні тотожності. Маються на увазі тотожності , , , /

Можна запропонувати учням самостійно знайти функцію, обернену до показникової функції у = аx, скориставшись відомим їм алгоритмом відшукання формули функції, оберненої до даної, з яким вони могли ознайомитися раніше під час вивчення обернених тригонометричних функцій. Учні самі доходять означення логарифмічної функції як оберненої до показникової, виконуючи три кроки: 1. Функція зростаюча за а > 1, спадна - за 0 < а <1, тому вона є оборотною на всій області визначення. Враховуємо, що ; 2. Розв'яжемо рівняння з двома невідомими стосовно невідомої х. Оскільки х - показник степеня, то, за означенням логарифма ; 3. Поміняємо позначення незалежної і залежної змінних. Дістанемо , де

Означення. Функція, обернена до показникової функції , називається логарифмічною і позначається .

Побудувавши графік логарифмічної функції як кривої, симетричної графіку функції стосовно прямої y = х , учні «прочитають» спочатку властивості цієї функції за графіком, а потім доведуть їх аналітично, послуговуючись теоремою про властивості взаємно обернених функцій. У зв'язку з вивченням логарифмічної функції достатню увагу треба приділити засвоєнню логарифмічних тотожностей і їх застосуванню до обчислення значень виразів, тотожних перетворень логарифмічних виразів, розв'язування логарифмічних рівнянь, нерівностей та їх систем.

6. Методика вивчення тотожних перетворень математичних виразів.

Тотожні перетворення являють собою одну із головних ліній шкільного курсу математики. На їх основі в учнів формується уява про аналітичні методи математики.

До математичних основ тотожних перетворень відносяться:

означення тотожності і тотожного перетворення;

розгляд різних наукових підходів до тлумачення тотожних перетворень;

виділення основних тверджень.

В алгебрі дії над буквеними виразами лише позначаються і можуть бути виконані тільки при виборі чи завданні конкретних числових значень її змінних. При цій умові основою тотожних перетворень є закони арифметичних дій, властивості операцій з 0 і 1 і властивості тотожностей.:

а) А = А; б) А = В <=> В = А; в) (А = В і В = С) => А = С

Тому на основі систематизації відомостей про згадані твердження, нові твердження доводяться.

По строгості доведення тотожності діляться на три типи:

неповністю строгі міркування, які вимагають використання методу математичної індукції для наданню їм повної строгості;

повністю строгі міркування, які спираються на основні властивості арифметичних дій і не використовують інших властивостей числової системи;

повністю строгі міркування, які використовують умовне розв’язання рівнянь виду ?(х) = а, де ?(х) елементарна функція, що вивчається.

Тотожні перетворення виразів в курсі математики середньої школи.

Базисна програма з математики не виділяє тотожні перетворення в одну окрему тему курсу математики середньої школи; матеріал, пов’язаний з тотожними перетвореннями, розосереджений по всім класам, по всьому курсу математики, а саме:

5-6 класи – закони арифметичних дій; застосування законів арифметичних дій для раціональних виразів, розкриття дужок, зведення подібних членів;

7-9 класи – додавання, віднімання і множення многочленів; розкладання многочлена на множники;

10-11 класи (курс В) тригонометричні формули додавання, наслідки із них. Тотожні перетворення тригонометричних виразів. Тотожні перетворення виразів, а яких є степені і корні. Логарифмічні тотожності:

alogax = x; loga(xy) = logax + logay;

loga(x / y) = logax - logay;

logaxp = plogax

Тотожні перетворення виразів, в яких є логарифми.

Мета вивчення тотожних перетворень в середній школі така:

спрощення виразів;

доведення тотожностей;

зведення рівнянь і нерівностей до простої форми;

використання при розв’язуванні задач (і геометричних також) аналітичним методом.

7. Похідна і її властивості. Методика вивчення похідної в шкільному курсі математики.

3 історії розвитку математичного аналізу відомо, що до відкриття похідної прийшли незалежно один від одного Г. Лейбніц і І. Ньютон (1643-1727), перший - розв'язуючи геометричну задачу про знаходження положення дотичної до кривої у певній точці, а другий - розв'язуючи задачу механіки про визначення миттєвої швидкості.

У вузівських курсах математичного аналізу для підведення студентів до означення похідної здебільшого розв'язують обидві задачі. У шкільному курсі через обмеженість часу найчастіше докладно розглядають одну з цих задач. Перевагу слід віддати задачі про миттєву швидкість, оскільки з нею учні вже ознайомились в курсі фізики, а на цьому етапі навчання доцільно оформити її розв'язання в термінах і символах математичного аналізу (приріст аргументу, приріст функції, границя функції). При цьому варто в процесі розв'язування чітко виділити чотири кроки, які розкривають зміст похідної і які доцільно виконувати надалі при виведенні формул і доведенні основних теорем про похідні.

Розглядаючи задачу про миттєву швидкість, треба звернути увагу учнів на те, що середня швидкість нерівномірного прямолінійного руху певною мірою характеризує його, проте вона часто не задовольняє потреб практики. Наприклад, диспетчерові автобусної станції досить знати середню швидкість, з якою автобус рухається від станції відправлення до кінцевого пункту, а автоінспекторові, який стежить за безпекою руху, важливо знати, з якою швидкістю рухався автобус у момент перетину залізничного переїзду, де не можна перевищувати швидкість.

Отже, виникає потреба вміти визначати швидкість у певний момент часу t0.

Щоб учні неформально сприйняли означення миттєвої швидкості, варто на прикладі конкретної задачі з числовими даними показати, що значення середньої швидкості прямує до певної границі, яку природно вважати числовим значенням швидкості в даний момент часу t0, тобто значенням миттєвої швидкості.

Означення. Похідною функції в точці х0 називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує, тобто



Зауважимо, що перш ніж вводити поняття похідної, варто привчити учнів до трьох різних символів, що стосуються приросту функції і відношень її до приросту аргументу. Кроки 1) -4) фактично задають правило відшукання похідної.

Після введення означення доцільно знайти за його допомогою, виконуючи чотири кроки, похідні функцій ,,, де с - стала. Однак перед цим важливо наголосити, що коли похідну шукають у певній точці х0, то вона як границя є певним числом. Коли ж функція має похідну в кожній точці х інтервалу (а;b), то кожному значенню х відповідає певне значення похідної.

Отже, в такому разі похідна функції на інтервалі (а;b) є теж функцією, яку позначають символом або Коли функцію задано формулою, наприклад, , то похідну позначають і символом .

Для більш глибокого усвідомлення учнями означення похідної доцільно зразу ж з'ясувати її механічний і геометричний зміст. Механічний зміст похідної випливає з розглянутої задачі Про миттєву швидкість. Учні самі здатні зробити висновок, що похідна дорівнює миттєвій швидкості нерівномірного руху. Цим самим з'ясовується механічний зміст похідної.

Геометричний зміст похідної випливає із задачі про дотичну до кривої у певній точці: похідна в точці х0 дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до кривої з додатним напрямком осі х у точці з абсцисою х0.

З метою закріплення означення і алгоритму відшукання похідної за означенням (послідовним виконанням чотирьох кроків) корисно запропонувати учням у класі і як домашнє завдання обчислити похідні функцій у = 5х2 -2х, у = х, у = сх у загальному вигляді і за певних значень аргументу х.
Основні правила диференціювання функції:

1) якщо , тобто похідна від сталої функції дорівнює нулю ();

2) похідна незалежної змінної х дорівнює 1: ;

3) якщо функція f(x) диференційована в т. х, то і функція , де С – стале число, також диференційовна в т. х, причому , тобто сталий множник можна виносити за знак похідної;

4) якщо функції f(x) і (x) диференційовні в точці х, то і їх сума, різниця, добуток і частка також будуть диференційовні в точці х, причому



Основні теореми про похідні.

До таких слід віднести теореми: 1) про неперервність диференційованої в точці функції2) про похідну суми функцій; 3) про похідну добутку функцій; 4) про похідну частки двох функцій; 5) про похідну степеневої функції; 6) про похідну складної функції.

Остання теорема дає можливість розширити системи вправ на обчислення похідних і застосування похідної до різноманітних задач.

Перша із зазначених теорем стверджує достатню умову неперервності функції в точці і використовується при доведенні теорем про похідну добутку і частки двох функцій.

8. Методика вивчення застосувань похідної в шкільному курсі математики.

Відомі різноманітні застосування похідної.

1. В алгебрі - застосування до дослідження функцій і побудови їх графіків,

2. В геометрії - для знаходження рівняння дотичної.

3. Похідна використовується в наближених обчисленнях, для наближеного розв'язування рівнянь, дослідження і відокремлення коренів рівнянь, спрощення виразів, доведення тотожностей і нерівностей, знаходження біноміальних коефіцієнтів і доведення формули бінома Ньютона.

4. У фізиці похідною послуговуються, обчислюючи швидкість і прискорення, досліджуючи різні фізичні явища, наприклад явища резонансу.

Застосування похідної для знаходження найбільших і найменших значень функцій на певному відрізку [а; b] дає змогу розв'язати широкий клас прикладних задач. У таких задачах функція не задається в готовому вигляді, а за умовою задачі треба скласти співвідношення, яке зв'язує функцію з тими змінними, від яких залежить її найбільше чи найменше значення.

Застосування похідної до дослідження функції.

Дослідження функцій на монотонність. Шкільна практика показує, що при введенні ознак зростання (спадання) функцій доцільно почати з графічних ілюстрацій відомих учням найпростіших функцій у = х2 і у = х3. Справді, з графіка параболи у = х2 бачимо, що на проміжку (0; + ?), де функція зростає, дотична до графіка в будь-якій точці утворює гострий кут з додатним напрямом осі х. Це означає, що похідна у цих точках додатна. На проміжку ж (–?; 0), де функція спадає, дотична до параболи утворює тупий кут з додатним напрямом осі х, тобто похідна на цьому проміжку від'ємна.

Функція у = х3 зростає на всій області визначення, тобто на проміжку (–?; + ?). Дотичні до графіка цієї функції у всіх точках, крім однієї (початок координат), утворюють гострі кути з додатним напрямом осі х. Це означає, що похідна даної функції в усіх точках, крім х = 0, додатна. Лише при х = 0 вона дорівнює нулю.

На основі розглянутих прикладів учні самостійно сформулюють зазначені достатні умови. Треба звернути їхню увагу на те, що достатні умови є оберненими твердженнями щодо помічених на графіках у =х2 і у =х3 властивостей функцій та їх похідних.

На прикладі дослідження однієї-двох функцій можна сформулювати відповідний алгоритм: для того щоб знайти проміжки зростання (спадання) функції, треба:

  1. знайти область визначення функції і точки розриву;

  2. знайти похідну;

  3. записати і розв'язати нерівність і вибрати з множини її розв'язків проміжки, де функція визначена. Знайдені проміжки є проміжками зростання функції;

  4. записати нерівність і вибрати з множини її розв'язків проміжки, де функція визначена. Знайдені проміжки є проміжками спадання функції.

Дослідження функцій на максимуми, мінімуми, найбільші та найменші значення. Спочатку треба ввести ряд нових для учнів понять: точка максимуму функції, точка мінімуму функції, точка екстремуму, максимум функції, мінімум функції, екстремуми функції. Досвід показує, що деякі учні плутають поняття «точка максимуму функції» і «максимум функції», «точки екстремуму функції» і «екстремум функції». Слід спеціально підкреслити, що коли йдеться про точки максимуму (мінімуму), точки екстремуму функції, то мається на увазі значення аргументу, а в разі вживання понять максимум (мінімум), екстремум йдеться про значення функції. Важливо також наголосити на тому, що максимум і мінімум (екстремуми) характеризують поведінку функції в як завгодно малому околі точки х0, а не на всій області визначення чи на відрізку області, де визначений максимум функції в певній точці може виявитись меншим від мінімуму в іншій точці. При введенні понять найбільшого і найменшого значень функції треба ще раз підкреслити, що останні два поняття характеризують поведінку функції на певному відрізку [а; b]. При введенні поняття «критичні точки функції» особливу увагу треба звернути на ті критичні точки, де похідна не існує, проілюструвавши їх відповідним графіком.

Доцільно після вивчення достатніх ознак сформулювати алгоритм дослідження функцій на екстремум. Щоб дослідити функцію на екстремум, треба:

  1. знайти критичні точки: прирівняти до нуля похідну , розв'язати одержане рівняння і приєднати до коренів рівняння = 0 точки, при яких похідна не існує;

  2. розмістити критичні точки на координатній прямій в порядку їх зростання;

  3. дослідити знак похідної спочатку ліворуч, а потім праворуч від кожної критичної точки. Якщо при переході х через критичну точку похідна змінює знак з плюса на мінус, то в цій критичній точці функція y=f(x) має максимум; якщо знак змінюється з мінуса на плюс, то в цій точці функція має мінімум. Якщо при переході х через критичну точку похіднане змінює знака, то в цій критичній точці функція не має ні максимуму, ні мінімуму;

  4. обчислити максимуми і мінімуми функції, підставивши в формулу значення точок максимуму і точок мінімуму.

Оскільки задачі на знаходження проміжків зростання , спадання і екстремумів функцій пов’язані між собою, то можна сформулювати алгоритм одночасного розв’язання цих обох задач, який зручно використовувати при загальному дослідженні функцій і побудові їх графіків: щоб знайти проміжки зростання, спадання і екстремуми функції, треба:

  1. Знайти область визначення функції;

  2. Знайти критичні (стаціонарні) точки функції, розмістити їх в порядку зростання і занести до таблиці разом з проміжками, де функція визначена;

  3. по контрольних точках знайти знак похідної на кожному з одержаних проміжків;

  4. визначити за знаком похідної характер зміни (зростання чи спадання) на кожному з проміжків;

  5. виявити наявність екстремуму в кожній критичній )стаціонарній) точці і обчислити його.

Розв’язуючи вправи на відшукання найбільшого і найменшого значень функції на відрізку також доцільно виділити алгоритм, який складається з трьох кроків:

  1. знайти всі стаціонарні (критичні) точки функції на відрізку ;

  2. обчислити значення функції в усіх стаціонарних точках і на кінцях a і b відрізка;

  3. з одержаних чисел вибрати найбільше і найменше.

Розв’язання текстових задач на знаходження найбільших і найменших значень

При обчисленні найбільших і найменших значень в задачах з конкретним практичним змістом корисно дати учням правило-орієнтир розв’язання таких задач:

    1. проаналізувати формулювання задачі, з’ясувавши, найбільше (найменше) значення якої величини треба знайти; вибрати незалежну змінну (аргумент) х і записати цю величину у вигляді формули, що задає відповідну функцію;

    2. знайти найбільше і найменше значення цієї функції.

9. Методика вивчення первісної та інтегралу в шкільному курсі математики.

Темі "Первісна та інтеграл" передує тема "Похідна та її застосування". Така послідовність вивчення матеріалу створює передумови для: 1)розуміння учнями взаємозв'язку між операціями диференціювання та інтегрування функцій, а також основної ідеї методу диференціального й інтегрального числень; 2) усвідомлення учнями того факту, що апарат похідної та інтеграла - основа методу математичного аналізу. З одного боку, він виступає як мова, що описує багато явищ, процеси світу. З іншого - як інструмент, за допомогою якого з урахуванням особливостей мови досліджуються ці явища і процеси. 

Основу змісту теми складають два типи питань, кожен з яких групується біля двох понять: "Первісна", "Інтеграл". Основна увага при вивченні приділяється: 1) знаходження первісних та обчислення інтегралів на базі таблиць первісних та правил знаходження первісних, 2) обчислення площ криволінійної трапеції. 

В якості основних завдань, вирішених у процесі вивчення теми, можна виділити наступні: ·– Введення понять первісної та інтеграла; ·– Ознайомлення учнів з основними властивостями первісних і правилами знаходження первісних; ·– Розкриття змісту операції інтегрування як операції, зворотної по відношенню до операції диференціювання заданої функції:  ·– Провести класифікацію типів завдань (знаходження площі криволінійної трапеції, знаходження об'єму тіла, завдання з фізичним змістом), показати, яким чином реалізується метод інтегрального числення. При цьому звернути увагу на виділення в процесі їх вирішення етапів, що характеризують процес математичного моделювання. 

Теоретичний матеріал включає в себе поняття первісної та її основна властивість поняття інтеграла функції; зв'язок між поняттями "інтеграл" і "первообразная", яка встановлюється за допомогою формули Ньютона-Лейбніца; формула Ньютона-Лейбніца як апарат обчислення інтеграла даної функції. 

Перераховані поняття вводяться на дедуктивної основі, дається ілюстрація використання визначення основного поняття, його властивостей за допомогою конкретних прикладів. 

Завдання, крім використання їх як засобу ілюстрації вводиться в розгляд теоретичного матеріалу, служать засобом його закріплення, про що свідчать і їхні формулювання, наприклад: "Знайти таку первісну функцію, графік якої проходить через дану точку". 

Функція   зветься первісною функції  на деякому інтервалі дійсних чисел, якщо  — похідна функції  на цьому інтервалі, тобто в усіх внутрішніх точках інтервалу виконується рівність

Можна довести, що у будь-якої неперервної на інтервалі функції  існує первісна, яка також є неперервною функцією на цьому інтервалі.

Якщо  — будь-яка первісна функція  то , де C - довільна стала, — також первісна цієї функції і "невизначений інтеграл функції " посилається до множини  яка складається з усіх первісних функції  де  — довільна константа.

Якщо у функції    існує первісна , то

Ця формула називається формулою Ньютона-Лейбніца, або основною формулою інтегрального числення.

10 Методика вивчення векторів на площині і у просторі.
  1   2   3



Скачать файл (1041 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru