Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции - Дифференциальные уравнения - файл ODU.doc


Лекции - Дифференциальные уравнения
скачать (114.6 kb.)

Доступные файлы (1):

ODU.doc355kb.27.02.2003 00:14скачать

содержание
Загрузка...

ODU.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...

Глава Обыкновенные Дифференциальные Уравнения (ДУ) 1

§1 Дифференциальные уравнения : основные понятия, примеры. 1

§2 ДУ 1 порядка с разделяющимися переменными 3

§3 Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка (ЛДУ); метод вариации постоянной. 8

§4 ДУ 1 порядка «в полных дифференциалах». 12

§ 5 Метод Эйлера численного решения задачи Коши 14

§ 6 Типовой расчет по теме «Численное решение задачи Коши». 16

§7 Системы ЛДУ 1 порядка с постоянными коэффициентами; операционный метод решения задачи Коши. 18



^

Глава Обыкновенные Дифференциальные Уравнения (ДУ)




§1 Дифференциальные уравнения : основные понятия, примеры.


Пусть n раз дифференцируемая функция k переменных (в Df определены n функций f(m)(x), m=0,1,..,n и (n-1) из них непрерывны).

Определение 1. Дифференциальным уравнением (ДУ) порядка “nназывается уравнение ; , связывающее аргумент х, функцию f и ее производные функции , порядок старшей из которых равен “n”, при этом ДУ относительно функции одной переменной (к=1) называют «обыкновенным ДУ», а ДУ относительно функции нескольких переменных (k>1) и ее частных производных называют «ДУ в частных производных» .

Например, (1) xy//+2y/+xy=x; (2)y”=x - обыкновенные ДУ второго порядка.

(3) - система двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка относительно дифференцируемой функции U(x,y) двух переменных.


Определение 2. Дифференцируемая функция f, подстановка которой обращает ДУ в тождество в области , называется решением ДУ. График решения ОДУ y=f(x) называется интегральной кривой ДУ. Нахождение множества решений ДУ называют интегрированием ДУ.

Например, функция y1(x)=1+sin(x)/x является решением ДУ (1), так как

.

Проверьте, что :

  • функция y2(x)=1+cos(x)/x так же является решением ДУ (1);

  • множество функций включает все решения ДУ(2);

  • функция U(x,y) = x2+xexy +1 является решением системы ДУ(3), удовлетворяющим начальному условию U(1;0)=3.

В дальнейшем будут рассматриваться только обыкновенные ДУ.

Поскольку есть Уравнение, возникают вопросы: 1)существует ли решение?; 2)единственно ли оно?; 3) как найти множество решений?

Рассмотрим несколько примеров.

1) Известно, что ДУ первого порядка y/(x)=f(x): (а) имеет решение для любой кусочно непрерывной (интегрируемой) функции f(x) и это решение y=F(x) называется первообразной для функции f; (б) существует бесчисленное множество решений и (в) это множество называется неопределенным интегралом , содержит одну аддитивную произвольную константу и соответствующие интегральные кривые представляют семейство параллельных гладких линий y=F(x)+C, причем через каждую точку проходит единственная интегральная кривая y=F(x)+(y0-F(x0).




Например,


2) Найдем множество решений ДУ 2 порядка



Это множество содержит две произвольные константы, фиксированные значения которых С10, С2=D0 определяют единственную интегральную кривую y(x,C0,D0)=x3/6+C0x+D0, проходящую через точку M0(x0,y0); y0=x02/6+C 0x0+D0 , тангенс угла наклона которой в этой точке равен tg(α0)=y’(x0,C0)=x02/6+C0.


Определение 3. Решение f(x) ДУ порядка “n”, удовлетворяющее “n” начальным условиям
, называется решением задачи Коши с начальными условиями:
Например, функция f(x)=x2/2+1 является решением задачи Коши

Найдем решение задачи Коши для ДУ 2 порядка :




ЭКЗ. Для ДУ 2 порядка найти: 1)множество решений; 2)решение задачи Коши с начальными условиями :
^

§2 ДУ 1 порядка с разделяющимися переменными


Рассмотрим ОДУ 1 порядка y’(x)=f(x,y) и точку (x0,y0) на плоскости.

Ответ на вопрос существования его решения дает следующая

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши ).

«Если в области функции двух переменных непрерывны и точка , задача Коши имеет в области D единственное решение – дифференцируемую функцию у(х,х00)».

Замечания.

1) По теореме через каждую точку области D проходит одна интегральная кривая y=y(x,x0 ,y0).

2) Если область определения функции y(x,x0 ,y0) является объединением нескольких интервалов, решением задачи Коши она является лишь в той ее части, в которой находится начальная точка (х00) и в которой эта функция непрерывна и дифференцируема.


Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными (ДУРП) называется ДУ 1 порядка

Если функция p(x) непрерывна на промежутке (a;b), а функция g(y) непрерывно дифференцируема на (c;d), через каждую точку прямоугольной области проходит единственная интегральная кривая этого ДУ.

Рассмотрим алгоритм решения ДУРП на примере: (1)



Так как условия теоремы выполнены , задача Коши с любыми начальными условиями имеет единственное решение.

2) Очевидно, что функция-константа удовлетворяет ДУ: , так что y(x)≡0частное решение ДУ. (2)

  1. Домножим ДУ на dx ), разделим его на у2 и получим ДУ с разделенными переменными:

(2)


После интегрирования получим уравнение


[Ф(x,y(x),С)=0] (3)

которое при всех допустимых значениях константы С определяет множество решений ДУ и называется “общим интегралом” ДУ.

Если из общего интеграла удается записать явное выражение функции

Ф(x,y(x),С)=0 ,

его называют «общим решением» ДУ.


Таким образом, множество решений ДУ(1)

(4)

  1. Решение задачи Коши следует искать в множестве (4). Например, для начального условия y(0)=1 найдем его из общего решения:



На рис.1 приведены графики y(x)≡0;




^ Обратите внимание :

1)ДУ определено на всей плоскости; 2) функция у(x) является решением ДУ на R/{t1,t2}, но 3) решением задачи Коши с начальным условием y(0)=1 функция у(x) (как дифференцируемая функция) является лишь на (t1;t2). 4) аналогично, функция у(x) является решением задачи Коши с начальным условием y(- 2)=1/(1-ln(5)) на (-∞;t1), а с условием y(2)= 1/(1-ln(5)) – на (t2;+ ∞); решением же задачи Коши с начальным условием y(2)=0 является функция y(x)≡0; xR.


Замечания.

1) В общем случае ДУРП имеет вид

.

^ Алгоритм его решения:

    1. Находятся корни функций и соответствующие «частные решения» ДУ - функции-константы: .

    2. Записывается ДУ с разделенными переменными:

,

после интегрирования которого находится «общий интеграл» ДУ:



2) С помощью подходящих преобразований к ДУРП приводятся некоторые типы дифференциальных уравнений. Способы таких преобразований можно найти в математических справочниках; в «Сборнике задач по математике; ч.2; А.В. Ефимов,Б.П.Демидович» эти способы иллюстрируются примерами.


Например,

1) ДУ вида y’=f(ax+by)  dy=f(ax+by)dx приводятся к ДУРП, если ввести «новую» функцию

2)C помощью подстановки y(x)=xU(x) к ДУРП сводится “Однородное ДУ” :




Например,


^

§3 Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка (ЛДУ); метод вариации постоянной.


Напомним, что уравнение называется линейным относительно переменных u,v, если сумма степеней этих переменных в каждом слагаемом равна 1 или 0: au+bv=cLY(u,v). Пусть y(x) – дифференцируемая функция и y’,dy – ее производная и дифференциал.

Определение.

ЛДУ 1 порядка с коэффициентами a(x), b(x) и правой частью f(x) называется ДУ вида





Если f(x), q(x)≡0, уравнение называется «однородным ЛДУ (ОЛДУ)», в противном случае его называют «неоднородным ЛДУ». Очевидно, что для всякого неоднородного ЛДУ можно записать соответствующее ему ОЛДУ.

Можно показать, что задача Коши для ЛДУ с непрерывными коэффициентами имеет единственное решение при любом начальном условии y(x0)=y0.

  1. Рассмотрим сначала однородное ЛДУ и найдем его общее решение :



Заметим, что общее решение ОЛДУ имеет вид Уo(x,C)=CF(x) () и при С=0 включает частное решение Уо(х)≡0.


2) Решение неоднородного ЛДУ y’(x)+p(x)=q(x) будем искать «методом вариации постоянной»-в виде y(x)=C(x)F(x), где F(x) – решение соответствующего ОЛДУ(F/+p(x)F(x)≡0), а С(х)-неизвестная дифференцируемая функция. После подстановки y(x)=C(x)F(x) в ЛДУ для С(х) получим ДУРП:




Таким образом,

  • решение неоднородного ЛДУ сводится к последовательному решению двух ДУРП, первое из которых является соответствующим однородным ЛДУ;

  • общее решение неоднородного ЛДУ равно аддитивной сумме общего решения соответствующего ОЛДУ Y0(x,C), которое не зависит от правой части q(x), и частного решения y*(x) неоднородного ЛДУ, которое определяется как решением ОЛДУ, так и правой частью ЛДУ: YН (x,C)=Y0(x,C)+y*(x)

Замечание. Структура решения ЛДУ соответствует фундаментальному свойству линейного физического объекта: его движение (состояние) складывается из «внутреннего движения» (Y0(x,C)) и движения y*(x) под действием «возмущения» q(x), при этом возмущение не влияет на внутреннее движение.

Рассмотрим пример решения ЛДУ




Найдем решение задачи Коши с начальным условием




Замечания.

[1] Если ДУ записано «в дифференциалах», его решение можно искать либо как функцию y(x), либо как функцию x(y). “Свободу выбора” удобно использовать, если относительно одной из этих функций ДУ оказывается линейным.


1) (x-2xy-y2)dy+y2dx=0  x(1-2y)dy+y2dx=y2dy --- ЛДУ(x(y),dx)

2)x2dy+(3-2xy)dx=0  x2dy-2xydx=-3dx ; --- ЛДУ(y,dy)

3) (8y+10x)dx+(5y+7x)dy=0 – не ЛДУ, но однородное:

[2] ДУ Бернулли приводится к ЛДУ(U, dU), если ввести функцию U(x)=y1-nЛДУ(U,U’)




^ ДЗ Определить тип ДУ; найти его общее решение и решение задачи Коши с начальным условием y(1)=2 .

ОЛДУ(x,dx)Xo(y,C)=Cy2e1/y;  C(y)=C+e-1/y; 



^

§4 ДУ 1 порядка «в полных дифференциалах».



Напомним, что для дважды непрерывно-дифференцируемой функции F(x,y):

1)

2)

3)


Определение. ДУ «в полных дифференциалах» называется ДУ 1 порядка

(1)

Рассмотрим дважды непрерывно дифференцируемую функцию двух переменных F(x,y):



Из (1) и (2) следует, что обыкновенное ДУ (1) равносильно ДУ в частных производных

(3)

решение которого dF(x,y)=0 F(x,y)=C является общим интегралом для исходного ОДУ.

Известно, что решение системы (3) нажодится в два этапа:

(а) После интегрирования любой из частных производных искомая функция F(x,y) находится “с точностю ” до произвольной функции C(y) одной переменной.

б)Подстановка полученного результата во второе уравнение системы дает для этой функции ОДУ 1 порядка :



Общий интеграл исходного ДУ «в полных дифференциалах» записывается в виде:



Например, ДУ (2x+3yx2)dx+(x3+3y2)dy=0 является ДУ «в полных дифференциалах», так как:


Н
айдем функцию F(x,y):




Д/З: Найти общий интеграл ДУ eydx+(xey-2y)dy=0
^

§ 5 Метод Эйлера численного решения задачи Коши


Пусть функции непрерывны в прямоугольной области

Из теоремы существования (§2) следует:

1) в некоторой окрестности существует единственное решение у(х) задачи Коши ; (1)

2) через каждую точку М(х,у) этой окрестности проходит «своя» интегральная кривая, причем ДУ определяет касательную прямую к этой интегральной кривой: tg(αkac)=f(x,y).

Постановка задачи: «найти приближенное значение y*(x*) решения y(x*) задачи Коши (1) в точке ».

Для нахождения приближенного значения у*(x*) разделим промежуток [ x0,x*] точками x0,xi= x0+ih; i=1:n на n равных частей с шагом h=(x*-x0)/n.



1)За приближенное значение решения задачи Коши в точке х1=xo+h примем ординату касательной к интегральной кривой в точке М0 : . Известно, что погрешность такой замены .

2) Повторив аналогичные построения для точки М1, примем за приближенное значение решения в точке x2=x1+h :



3) Очевидно, что общая формула подобной «по-шаговой» итерационной процедуры метода Эйлера имеет вид:
и приближенное значение


Замечания.

1) Геометрически метод Эйлера численного решения задачи Коши сводится к замене на промежутке [x0,x*] интегральной кривой y(x) «ломаной Эйлера», составленной из отрезков касательных к соответствующим интегральным кривым в точках разбиения xi=xo+ih.

2) На практике для получения приближенного значения с заданной погрешностью ε используют «алгоритм измельчения разбиений отрезка [x0;x]”:

- Вычисляют значение при разбиении с шагом h1.

- Вычисляют значение при разбиении с шагом h2=h1/2 и сравнивают модуль разности с заданной погрешностью ε.

= процедуру измельчения продолжают до тех пор, пока для двух последовательных разбиений не будет выполнено неравенство

==================================================================
^

§ 6 Типовой расчет по теме «Численное решение задачи Коши».



Задание. Исследовать существование и единственность решения задачи Коши

и методом Эйлера найти с заданной погрешностью EPS приближенное значение решения в точке xk=x0+0.25, используя равномерное разбиение интервала [X0,Xk] с начальным шагом h=0.05.



[I] Так как функции непрерывны в R2, задача Коши имеет единственное решение.

[II] Введем равномерное разбиение промежутка [0;0.25] на n частей с шагом h=0.25/n :
x0; xi=ih; i=1,2,..,n и выполним вычисления по рекуррентной формуле:

для nk =5∙k;k=1,2,.., последовательно удваивая количество интервалов разбиения до тех пор, пока не будет выполнено неравенство ∆k= |y5k-y5(k-1)|≤EPS.

Заметим, что все промежуточные вычисления следует выполнять в «полной разрядной сетке».




В таблице приведены результаты вычислений для n1=5 и n2=10, округленные до 10-5.

i

xi

yi

f(xi,yi)

h∙f(xi,yi)

n1

n2

0

0

0.00

0.90000

0.19000

0.00475




1

0.025




0.90475




0.20517




0.00475

1

2

0.050

0.90950

0.90988

0.22060

0.21987

0.01103

0.00513




3

0.075




0.91538




0.23410




0.00550

2

4

0.10

0.92053

0.92123

0.24920

0.24790

0.01246

0.00585




5

0.125




0.92743




0.26129




0.00620

3

6

0.15

0.93.298

0.93396

0.27600

0.27426

0.01380

0.00653




7

0.175




0.94082




0.28686




0.00686

4

8

0.20

0.94678

0.94799

0.3011

0.29907

0.01506

0.00717




9

0.225




0.95547




0.31091




0.00748

5

10

0.25

0.96184

0.96324










0.00777



Так как ∆y=|0.96324-0.96184|=0.00140<EPS=0.002, итерационный процесс прекращаем.


Результат: y(0.25)≈ 0.96324
^

§7 Системы ЛДУ 1 порядка с постоянными коэффициентами; операционный метод решения задачи Коши.


Пусть

Тогда уравнение определяет систему ЛДУ, а

(1)

- задачу Коши с начальными условиями для этой системы.

Например, для система (1) имеет явный вид:



Предположим, что функции являются оригиналами. Выполним для уравнения (1) преобразование Лапласа:



Таким образом, преобразование Лапласа отображает задачу Коши для системы ЛДУ во множестве оригиналов в систему линейных алгебраических уравнений во множестве изображений, причем матрица СЛАУ равна , а вектор правых частей равен .

Соответствующая СЛАУ для рассматриваемого примера имеет вид:



Решение СЛАУ будем искать по теореме Крамера












Обратное преобразование Лапласа восстанавливает оригинал - вектор-решение задачи Коши


Скачать файл (114.6 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru