Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции по числовым рядам - файл лекция_1_ряды.doc


Лекции по числовым рядам
скачать (391.7 kb.)

Доступные файлы (4):

лекция_1_ряды.doc423kb.06.06.2008 23:32скачать
лекция_2_ряды.doc362kb.06.06.2008 23:32скачать
лекция_3_ряды.doc739kb.06.06.2008 23:33скачать
лекция_4_ряд.doc313kb.06.06.2008 23:33скачать

содержание
Загрузка...

лекция_1_ряды.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Лекция №1

Числовые ряды.



Определение 1. Выражение

,

где - заданная бесконечная числовая последовательность, называется числовым рядом.

Определение 2. Конечные суммы , , …, называются частичными суммами ряда.

Определение 3. Если существует предел последовательности частичных сумм , то ряд называется сходящимся, и число называется суммой этого ряда.


Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Частичная сумма этого ряда .

Для того, чтобы вычислить предел последовательности частичных сумм, разложим общий член данного ряда на простейшие дроби

.

.

. По определению данный ряд сходится и его сумма равна единице.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Частичная сумма этого ряда

.

, такой ряд является расходящимся.


Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Последовательность частичных сумм: , , , , …

Предел последовательности таких частичных сумм не существует, то есть, данный ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Такой ряд является геометрической прогрессией, сумма которой определяется по формуле

, для .

.

Если , то .


Теорема 1. Отбрасывание конечного числа начальных членов ряда не влияет на его сходимость, но изменяет сумму ряда.


Доказательство.

Рассмотрим ряды (1)

и

(2).

Обозначим сумму отброшенных членов ряда через , отбрасывает членов, тогда частичная сумма для ряда (1) будет иметь вид , где - частичная сумма ряда (2).

При величина , тогда .

Это означает, что если существует предел , то будет существовать предел . Значит, ряды (1) и (2) сходятся и расходятся одновременно.


Теорема 2. Если члены сходящегося ряда умножить на одно и тоже постоянное число , то его сходимость не нарушится, а сумма изменится в раз, .

Доказательство.

.


Теорема 3. Два сходящихся ряда и можно почленно складывать или вычитать, при этом сходимость вновь полученного ряда сохранится и его сумма будет равна сумме или разности данных рядов, то есть .

Доказательство.



.


Теорема 4. (критерий Коши).

Для того чтобы числовой ряд был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для , такое, что и выполнялось неравенство

.


Теорема 5. Необходимый признак сходимости числового ряда.


Если ряд сходится, то общий член сходящегося ряда стремится к нулю при значениях , то есть

Доказательство:

Так как, по условию теоремы 1, то значение:

В противном случае ряд расходится.

Это условие не является достаточным.

Покажем, что гармонический ряд расходится, несмотря на то, что

Рассмотрим



Таким образом, критерий Коши не выполняется и гармонический ряд расходится.


Примеры:

  1. Исследуйте на сходимость ряд

Ряд расходится, так как для него не выполняется необходимый признак сходимости:

2. Исследуйте на сходимость ряд

Проверим выполнение необходимости признака сравнения:

ряд расходится.

^

Ряды с положительными членами.


Рассмотрим числовой ряд ,

где для такого ряда . Значит, последовательность частичных сумм возрастает.

Из теоремы о пределе монотонной последовательности можно сформулировать условие сходимости ряда с положительными членами.

Ряд с положительными членами всегда имеет сумму и эта сумма конечна, а ряд будет сходящимся, если частичные суммы ряда ограничены сверху, и бесконечна, а ряд расходящимся в противном случае.
^

Теоремы сравнения положительных рядов.



Пусть даны два положительных ряда:

и .


Теорема 1. Если выполняется неравенство: , начиная с некоторого n, то из сходимости ряда второго (большего) ряда - следует сходимость первого (меньшего) ряда. А из расходимости ряда меньшего ряда следует расходимость ряда большего.

Доказательство:

Так как отбрасывание конечного числа начальных членов ряда не влияет на сходимость, можно считать, что

Для частичных сумм этих рядов выполняется

Пусть ряд сходится, тогда и тем более значит ряд - сходится.

Пусть расходится, тогда , значит и ряд расходится.


Теорема 2. Если существует конечный предел отношения общих членов двух рядов , , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.


Примеры. Исследуйте на сходимость следующие ряды

1) сравним члены этого ряда с членами расходящегося гармонического ряда , так как , исследуемый ряд расходится.

2) Ряд сходится по теореме сравнения, так как предел отношения общего члена данного ряда к общему члену сходящегося (доказанный ранее) ряда есть , постоянное число.

3) Сравним этот ряд с рядом , который представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем , следовательно, сходится.

Так как исследуемый ряд сходится.

4) Ряд сравним с рядом , который является расходящимся рядом. с учетом того, что .

Приведем полученные о сходимости некоторых рядов, которые могут быть использованы для сравнения:












^

Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами.

Признак Даламбера.



Теорема. Рассмотрим ряд с положительными членами и предел отношения последующего члена ряда к предыдущему.

1) Если 2) существует , тогда

Доказательство:



то есть .

Рассмотрим 3 случая:

  1. Выберем столь малым, чтобы значение тогда, полагая , при значении имеем для .

и так далее.

Члены ряда меньше членов геометрической прогрессии: Так как , то ряд (2) сходится, значит, по теореме сравнения сходится и ряд (1).

  1. Возьмем столь малым, что тогда при члены ряда не не выполняется необходимый признак сходимости ряд расходится.

  1. Покажем, что в этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться.

  1. гармонический ряд расходится, для него

  2. Рассмотрим ряд

Для него Сравним члены исследуемого ряда со сходящимся рядом (доказано ранее).

Значит, сходится.








Скачать файл (391.7 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru