Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Краткий справочник по математике для подготовки к ЕГЭ в 2011 году - файл 1.rtf


Краткий справочник по математике для подготовки к ЕГЭ в 2011 году
скачать (475.7 kb.)

Доступные файлы (1):

1.rtf476kb.17.11.2011 10:55скачать

Загрузка...

1.rtf

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Математические формулы




Алгебраические формулы




cosa=±Ö1-sin2a=(1-tg2a/2)/(1+tg2a/2)

sina=±Ö1/1+ctg2a=(2tga/2)/(1+tg2a/2)

cos(ab)=sinasinbcosacosb

sin(a±b)=sinacosb±sinbcosa

tg(a+b)=sin(a+b)/cos(a+b)=(tga+tgb)/(1-tgatgb)

tg(a-b)=(tga-tgb)/(1+tgatgb)

ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctga+ctgb)

ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga)

sin2a=2sinacosa=(2tga)/(1+tg2a)

cos2a=cos2a-sin2a=(1-tg2a)/(1+tg2a)=2cos2a-1=1-2sin2a

tg2a=2tga/(1-tg2a) ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga

ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga

cos2a/2=1+cosa/2 cos2a=(1+cos2a)/2

sin2a/2=1-cosa/2 sin2a=(1-cos2a)/2

cosa/2=±Ö1+cosa/2

sina/2=±Ö1-cosa/2

tga/2=±Ö1-cosa/1+cosa=(sina)/(1+cosa)=(1-cosa)/sina

ctga/2=±Ö1+cosa/1-cosa=sina/(1-cosa)=(1+cosa)/sina

sina+cosa=Ö2 cos(P/4-a)

sina-cosa=Ö2 sin(a-P/4)

cosa-sina=Ö2 sin(P/4-a)

cosa+cosb=2cos(a+b)/2cos(a-b)/2

cosa-cosb=-2sin(a+b)/2sin(a-b)/2

sina+sinb=2sin(a+b)/2cos(a-b)/2

sina-sinb=2sin(a-b)/2cos(a+b)/2

tga±tgb=(sin(a±b))/cosacosb

cosacosb=1/2(cos(a-b)+cos(a+b))

sinasinb=1/2(cos(a-b)-cos(a+b))

sinacosb=1/2(sin(a+b)+sin(a-b))

tga=(2tga/2)/(1-tg2a/2)




cosa=±Ö1-sin2a=(1-tg2a/2)/(1+tg2a/2)

sina=±Ö1/1+ctg2a=(2tga/2)/(1+tg2a/2)

cos(ab)=sinasinbcosacosb

sin(a±b)=sinacosb±sinbcosa

tg(a+b)=sin(a+b)/cos(a+b)=(tga+tgb)/(1-tgatgb)

tg(a-b)=(tga-tgb)/(1+tgatgb)

ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctga+ctgb)

ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga)

sin2a=2sinacosa=(2tga)/(1+tg2a)

cos2a=cos2a-sin2a=(1-tg2a)/(1+tg2a)=2cos2a-1=1-2sin2a

tg2a=2tga/(1-tg2a) ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga

ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga

cos2a/2=1+cosa/2 cos2a=(1+cos2a)/2

sin2a/2=1-cosa/2 sin2a=(1-cos2a)/2

cosa/2=±Ö1+cosa/2

sina/2=±Ö1-cosa/2

tga/2=±Ö1-cosa/1+cosa=(sina)/(1+cosa)=(1-cosa)/sina

ctga/2=±Ö1+cosa/1-cosa=sina/(1-cosa)=(1+cosa)/sina

sina+cosa=Ö2 cos(P/4-a)

sina-cosa=Ö2 sin(a-P/4)

cosa-sina=Ö2 sin(P/4-a)

cosa+cosb=2cos(a+b)/2cos(a-b)/2

cosa-cosb=-2sin(a+b)/2sin(a-b)/2

sina+sinb=2sin(a+b)/2cos(a-b)/2

sina-sinb=2sin(a-b)/2cos(a+b)/2

tga±tgb=(sin(a±b))/cosacosb

cosacosb=1/2(cos(a-b)+cos(a+b))

sinasinb=1/2(cos(a-b)-cos(a+b))

sinacosb=1/2(sin(a+b)+sin(a-b))

tga=(2tga/2)/(1-tg2a/2)


Тригонаметрические формулы


sin^2(a)+cos^2(a)=1; |Sin Cos Tg

tg(a)=sin(a)/cos(a); |++ -+ -+

tg(a)ctg(a)=1; |-- -+ +-

1+tg^2(a)=1/cos^2(a); |

1+ctg^2(a)=1/sin^2(a); |sin(p/2+-a)=cos(a);

|sin(p+-a)=-+sin(a);


sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b); |sin(3p/2+-a)=-cos(a);

sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b); |sin(2p+-a)=+-sin(a);

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b); |

cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b); |cos(p/2+-a)=+-sin(a);

tg(a+b)=tg(a)+tg(b)/1-tg(a)tg(b); |cos(p+-a)=-cos(a);

tg(a-b)=tg(a)-tg(b)/1-tg(a)tg(b); |cos(3p/2+-a)=+-sin(a);

ctg(a+b)=ctg(a)ctg(b)-1/ctg(a)+ctg(b); |cos(2p+-a)=cos(a);

ctg(a-b)=ctg(a)ctg(b)+1/ctg(b)-ctg(a); |

|tg(p/2+-a)=-+ctg(a)

sin(2a)=2sin(a)cos(a); |tg(p+-a)=+-tg(a)

cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(b)=1-2sin^2(a); |tg(3p/2+-a)=-+ctg(a)

tg(2a)=2tg(a)/1-tg^2(a); |tg(2p+-a)=+-tg(a)

ctg(2a)=ctg^2(a)-1/2ctg(a); |

sin(3a)=3sin(a)-4sin^3(a); |ctg(p/2+-a)=-+tg(a)

tg(3a)=3tg(a)-tg^3(a)/1-3tg^2(a); |ctg(p+-a)=+-ctg(a)

ctg(3a)=3ctg(a)-ctg^3(a)/1-3ctg^2(a); |ctg(3p/2+-a)=-+tg(a)

|ctg(2p+-a)=+-ctg(a)

sin^2(a/2)=1-cos(a)/2; |

cos^2(a/2)=1+cos(a)/2; |

tg^2(a/2)=1-cos(a)/1+cos(a); |

ctg^2(a/2)=1+cos(a)/1-cos(a); |

tg(a/2)=sin(a)/1+cos(a)=1-cos(a)/sin(a); |

ctg(a/2)=sin(a)/1-cos(a)=1+cos(a)/sin(a);|

|

sin(a)+sin(b)=2sin(a+b/2)cos(a-b/2); |

sin(a)-sin(b)=2sin(a-b/2)cos(a+b/2); |

cos(a)+cos(b)=2cos(a+b/2)cos(a-b/2); |

cos(a)-cos(b)=-2cos(a+b/2)cos(a-b/2)= |

=2cos(a+b/2)cos(b-a/2); |

cos(a)+sin(b)=sqrt(2)cos(45-a); |

cos(a)-sin(b)=sqrt(2)sin(45-a); |

tg(a)+tg(b)=sin(a+b)/cos(a)cos(b); |

tg(a)-tg(b)=sin(a-b)/cos(a)cos(b); |

ctg(a)+ctg(b)=sin(a+b)/sin(a)sin(b); |

ctg(a)-ctg(b)=sin(b-a)/sin(a)sin(b); |

tg(a)+ctg(b)=cos(a-b)/cos(a)sin(b); |

tg(a)-ctg(b)=-cos(a+b)/cos(a)sin(b); |

tg(a)+ctg(a)=2/sin(2a); |

tg(a)-ctg(a)=-2ctg(2a); |

|

sin(a)sin(b)=1/2(cos(a-b)-cos(a+b)); |

cos(a)cos(b)=1/2(cos(a+b)+cos(a-b)); |

sin(a)cos(b)=1/2(sin(a+b)+sin(a-b)); |

|

sin(a)=2tg(a/2)/1+tg^2(a/2); |

cos(a)=1-tg^2(a/2)/1+tg^2(a/2); |

tg(a)=2tg(a/2)/1-tg^2(a/2); |

ctg(a)=1-tg^2(a/2)/2tg(a/2);


1. Простейшие тригонометрические уравнения:


Пример 1. 2sin(3x - p/4) -1 = 0.

Решение. Решим уравнение относительно sin(3x - p/4).

sin(3x - p/4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а нахо­дим

3х - p/4 = (-1)n arcsin 1/2 + np, nÎZ.

Зх - p/4 = (-1)n p/6 + np, nÎZ; 3x = (-1)n p/6 + p/4 + np, nÎZ;

x = (-1)n p/18 + p/12 + np/3, nÎZ

Если k = 2n (четное), то х = p/18 + p/12 + 2pn/3, nÎZ.

Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = - p/18 + p/12 + ((2pn + 1)p)/3 =

= p/36 + p/3 + 2pn/3 = 13p/36 + 2pn/3, nÎz.

Ответ: х1 = 5p/6 + 2pn/3,nÎZ, x2 = 13p/36 + 2pn/3, nÎZ,

или в градусах: х, = 25° + 120 · n, nÎZ; x, = 65° + 120°· n, nÎZ.

Пример 2. sinx + Öз cosx = 1.

Решение. Подставим вместо Öз значение ctg p/6, тогда уравнение при­мет вид

sinx + ctg p/6 cosx = 1; sinx + (cosp/6)/sinp/6 · cosx = 1;

sinx sin p/6 + cos p/6 cosx = sin p/6; cos(x - p/6) = 1/2.

По формуле для уравнения cosx = а находим

х - p/6 = ± arccos 1/2 + 2pn, nÎZ; x = ± p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ;

x1 = p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ; x1 = p/2 + 2pn, nÎZ;

x2 = - p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ; x2 = -p/6 + 2pn, nÎZ;

Ответ: x1 = p/2 + 2pn, nÎZ; x2 = -p/6 + 2pn, nÎZ.


2. Двучленные уравнения:


Пример 1. sin3x = sinx.

Решение. Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность преобразуем в произведение. sin3x - sinx == 0; 2sinx · cos2x = 0.

Из условия равенства нулю произведения получим два простейших уравнения.

sinx = 0 или cos2x = 0.

x1 = pn, nÎZ, x2 = p/4 + pn/2, nÎZ.

Ответ: x1 = pn, nÎZ, x2 = p/4 + pn/2, nÎZ.


3. Разложение на множители:


Пример 1. sinx + tgx = sin2x / cosx

Решение. cosx ¹ 0; x ¹ p/2 + pn, nÎZ.

sinx + sinx/cosx = sin2x / cosx . Умножим обе части уравнения на cosx.

sinx · cosx + sinx - sin2x = 0; sinx(cosx + 1 - sinx) = 0;

sinx = 0 или cosx - sinx +1=0;

x1 = pn, nÎZ; cosx - cos(p/2 - x) = -1; 2sin p/4 · sin(p/4 - x) = -1;

Ö2 · sin(p/4 - x) = -1; sin(p/4 -x) = -1/Ö2; p/4 - x = (-1) n+1 arcsin 1/Ö2 + pn, nÎZ;

x2 = p/4 - (-1) n+1 · p/4 - pn, nÎZ; x2 = p/4 + (-1) n · p/4 + pn, nÎZ.

Если n = 2n (четное), то x = p/2 + pn, если n = 2n + l (нечетное), то x = pn.

Ответ: x1 = pn, nÎZ; x2 = p/4 + (-I)n · p/4 + pn, nÎZ.


4. Способ подстановки


Пример 1. 2 sin2x = 3cosx.

Решение. 2sin2x - 3cosx = 0; 2 (l - cos2x) - 3cosx = 0; 2cos2x + 3cosx - 2 = 0.

Пусть z = cosx, |z| £ 1. 2z2 + 32z - 2=0.

Д = 9+16 = 25; ÖД = 5; z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = -2 -

-не удовлетво­ряют условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение:

cosx = 1/2; х = ± p/3 + 2pn, nÎZ. Ответ: х = ± p/3 + 2pn, nÎZ.


5. Однородные уравнения


Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид:

a sin2x + b sinxcosx + c cos2x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или

a sin3x + b sin2x cosx + c sinx cos2x + d sin3x = 0 и т.д.

В этих уравнениях sinx ¹ 0, cosx ¹ 0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sin2x или на cos2x и приводятся к уравнениям отно­сительно tgx или ctgx.

Пример 1. Ö3sin2 2x - 2sin4x + Ö3cos22x = 0.

Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла.

Получим уравнение Ö3sin22x - 4sin2xcos2x + Ö3cos22x = 0.

Разделим на cos22x. Уравнение примет вид Ö3 tg22x – 4tg2x + Ö3 = 0.

Пусть z = tg2x, тогда Ö3z2 - 4z + Ö3 = 0; Д = 4; ÖД = 2.

z1 = (4 +2)/2Ö3 = 6/2Ö3 = Ö3; z2 = (4 – 2)/2Ö3 = 1/Ö3

tg2x = Ö3 или tg2x = 1/Ö3

2x = p/3 + pn, nÎZ; 2x = p/6 + pn, nÎZ;

x1 = p/6 + pn/2, nÎZ ; x2 = p/12 + pn/2, nÎz.

Ответ: x1 = p/6 + pn/2, nÎZ ; x2 = p/12 + pn/2, nÎz.


6. Уравнение вида a sinx + b cosx = с

Пример 1. 3sinx + 4cosx = 5.

Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда 3/5sinx + 4/5cosx = 1.

sinj = 4/5; cosj = 3/5; sin(x+j) = 1, x + j = p/2 + 2pn, nÎZ.

Ответ: x = p/2 - arcsin 4/5 + 2pn, nÎZ.


7. Дробно-рациональные тригонометрические уравнения


Уравнения, содержащие тригонометрические дроби, называются дробно-рациональными уравнениями. В этих уравнениях требуется сле­дить за областью допустимых значений.

Пример 1. 1/(Ö3-tgx) – 1/(Ö3 +tgx) = sin2x

Решение. Область допустимых значений решений этого уравнения

tgx ¹ ± Ö3, х ¹ ± p/8 + pn, nÎZ и х ¹ ± p/2 + pn, nÎZ.

Левую часть уравнения приведем к общему знаменателю, а правую преобразуем с помощью формулы выражения синуса угла через тан­генс половинного угла.

(Ö3 + tgx - Ö3 + tgx)/3 - tg2x = 2tgx/ (1 + tg2x); 2tgx / (3 - tg2x) = 2tgx/(1 + tg2x)

x1 = pn, nÎZ

Второе уравнение имеет вид

2tg2x - 2 = 0; tg2x = 1; tgx = ±1; x2 = ± p/4 + pn, nÎZ.

Ответ: x1 = pn, nÎZ; х2 = ± p/4 + pn, nÎZ.


8. Иррациональные тригонометрические уравнения


Если в уравнении тригонометрическая функция находится под зна­ком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррацио­нальным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которы­ми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учи­тывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени).


Пример 1. Ö( cos2x + Ѕ) + Ö( sin2x + Ѕ) = 2.

Решение. Уравнение имеет смысл при любом х. Возведем обе части уравнения в квадрат.

cos2x + Ѕ + 2 Ö(( cos2x + Ѕ) ( sin2x + Ѕ)) + sin2x + Ѕ = 4

Ö(( cos2x + Ѕ) ( sin2x + Ѕ)) = 1; ( cos2x + Ѕ) ( sin2x + Ѕ) = 1

( Ѕ + Ѕ cos2x + Ѕ)( Ѕ - Ѕ cos2x + Ѕ) = 1; (1 + Ѕ cos2x) (1 - Ѕ cos2x) = 1;

1 – ј cos22x = 1; cos2x=0; x = p/4 + pn/2, nÎz

Ответ: x = p/4 + pn/2, nÎz.


9. Тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции находится функция


Особого внимания заслуживают тригонометрические уравнения со сложной зависимостью, когда под знаком тригонометрической функ­ции находится какая-либо другая функция. Эти уравнения требуют до­полнительного исследования множества решений.

Пример 1. tg(x2 + 5x)ctg 6=1.

Решение. Запишем уравнение в виде tg(x2+5x)=tg 6. Учитывая, что аргументы равных тангенсов отличаются на свои периоды теп, имеем х2 + 5х = 6 + pn, nÎZ; х2 + 5х - (6+pn) = 0, nÎz;

Д = 25 + 4(6 + pn) = 49 + 4pn, nÎZ; х1,2 = (-5 ± Ö(49 + 4pn))/2, nÎz

Решение имеет смысл, если 49 + 4pn > 0, т.е. n ³ -49/4p; n ³ -3.


Скачать файл (475.7 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru