Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции - компьютерное моделированние электронных устройств - файл Вынужденные и свободные колебания.doc


Лекции - компьютерное моделированние электронных устройств
скачать (1530.8 kb.)

Доступные файлы (13):

Вынужденные и свободные колебания.doc2415kb.28.03.2011 12:15скачать
Лекция № 11-12. Основы промышленной электроники часть 1.doc1014kb.22.04.2011 02:51скачать
Лекция № 11-12. Основы промышленной электроники часть 2.doc148kb.13.04.2010 02:25скачать
Лекция № 1. Понятие модели.doc130kb.29.01.2010 02:23скачать
Лекция № 2. История развития электротехники.doc111kb.02.02.2010 03:32скачать
Лекция № 3. Основные понятия ЭМП.doc150kb.09.02.2010 02:57скачать
Лекция № 4-5. Электрические цепи постоянного тока.doc237kb.15.02.2010 21:49скачать
Лекция № 6. Установившиеся процессы в линейных цепях синусоидального тока.doc145kb.17.03.2011 23:21скачать
Лекция № 7. Мощность в цепи переменного тока.doc310kb.09.03.2010 03:46скачать
Переходные процессы в линейных электрических цепях.doc153kb.12.04.2011 02:52скачать
Преобразование энергии в электрической цепи.doc134kb.04.06.2010 11:29скачать
Электрические цепи несинусоидального тока.doc113kb.23.03.2010 02:36скачать
Электрические цепи несинусоидального тока.pdf112kb.23.03.2010 02:45скачать

содержание
Загрузка...

Вынужденные и свободные колебания.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...

Свободные и вынужденные колебания

Виды колебаний


Колебательное движение (колебание) – это изменение состояния вещества или поля, характеризуемое повторяемостью во времени определенной физической величины .

Виды колебаний:

  • Периодические (гармонические и негармонические) и непериодические.

  • собственные, затухающие, вынужденные, параметрические и автоколебания.

  • Механические, электромагнитные и др.

Линейный гармонический осциллятор


Колебательная система, совершающая собственные колебания по гармоническому закону

(2.1.1)

называется линейным гармоническим осциллятором (ЛГО).
^

Энергетика ЛГО


Движение в любой потенциальной яме есть колебательное движение (рис. 2.1.1).



Рис. 2.1.1. Колебательное движение в потенциальной яме

Если на механическую систему (например, пружинный маятник), находящуюся в состоянии устойчивого равновесия, действует внешняя сила , то возникает градиент потенциальной энергии и, как следствие, – внутренняя сила :

, (2.1.2)

которая возвращает систему в положение устойчивого равновесия. Таким образом, в системе возникают колебания.

Движение в любой потенциальной яме может быть аппроксимировано движением в параболической потенциальной яме, если рассматривать лишь малые отклонения (смещения) от положения равновесия.

движение в параболической потенциальной яме (ЕР  2) приводит к гармоническим колебаниям.
^

Векторное представление колебаний (векторная диаграмма)


Сложение нескольких гармонических функций становится наглядным, если изображать колебания графически в виде амплитудных векторов на плоскости. Проекция конца вектора на ось Оx (рис. 2.1.10)

, (2.1.56)

где - - амплитуда колебаний, будет совершать гармоническое колебание с амплитудой А, равной длине амплитудного вектора , с циклической частотой, равной угловой скорости 0 вращения вектора , и с начальной фазой , равной углу, образуемому вектором с осью ОХ в начальный момент времени.



Рис. 2.1.10. Векторная диаграмма гармонического колебания

Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой.


Сложение взаимно перпендикулярных колебаний


Допустим, что материальная точка может совершать колеба­ния как вдоль оси ^ Х, так и вдоль перпендикулярной к ней оси у. Если возбудить оба колебания, материальная точка будет дви­гаться по некоторой, вообще говоря, криволинейной траектории, форма которой зависит от разности фаз обоих колебаний.

Выберем начало отсчета времени так; чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

(2.1.59)

где α— разность фаз обоих колебаний.

Выражения (2.1.59) представляют собой заданное в параметри­ческой форме уравнение траектории, по которой движется тело, участвующее в обоих колебаниях. Чтобы получить уравнение траек­тории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (2.1.59) параметр t. Из первого уравнения следует, что

(2.1.60)

Следовательно,

(2.1.61)

Теперь развернем косинус во втором из уравнений (2.1.59) по фор­муле для косинуса суммы, подставляя при этом вместои их значения (2.1.60)и (2.1.61). В результате получим

(2.1.62)


Последнее уравнение после несложных преобразований можноv ч привести к виду

(2.1.63)

Из аналитической геометрии известно, что уравнение (2.1.63) есть уравнение эллипса, оси которого ориентированы относи­тельно координатных осей х и у произвольно. Ориентация эллипса и величина его полуосей зависят довольно сложным образом от амплитуд А и В и разности фаз α.

Исследуем форму траектории в некоторых частных случаях.

1. Разность фаз α равна нулю. В этом случае из уравнения (2.1.63) получается уравнение прямой линии

(2.1.64)

Колеблющаяся точка перемещается по этой прямой, причем рас­стояние ее от начала координат равно



Подставляя сюда выражения (2.1.59) для х и у и учитывая, что α = 0, получим закон, по которому r изменяется cо временем:

(2.1.65)

Из (2.1.65)следует, что результирующее движение является гармо­ническим колебанием вдоль прямой с частотой и амплитудой, равной (рис. 2.1.12 а ).

2. Разность фаз α равна . Уравнение (2.1.63) будет иметь вид

(2.1.66)

откуда получается, что результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой

3. Разность фаз α равна. При уравнение (2.1.63) переходит в

(2.1.67)

т. е. в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний (рис.2.1.13 слева). При равенстве амплитуд А и В эллипс вырождается в окружность.


Из сказанного следует, что равномерное движение по окруж­ности радиуса R с угловой скоростью ω может быть представлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний:

(2.1.68)

(знак «+» в выражении для «у» соответствует движению против часовой стрелки, знак «—» — движению по часовой стрелке).

В случае, когда частоты взаимно перпендикулярных колеба­ний отличаются на очень малую величину Δω, их можно рассма­тривать как колебания одинаковой частоты, но с медленно изменяющейся разностью фаз. В самом деле, уравнения колебаний можно представить следующим образом:

(2.1.69)

и выражение (Δω+α) рассматривать как разность фаз, медленно изменяющуюся со временем по линейному закону.




Рис.2.1.13. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

с разностью фаз .


Результирующее движение в этом случае происходит по мед­ленно видоизменяющейся кривой, которая будет последовательно принимать форму, отвечающую всем значениям разности фаз от –π до +л. Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу. На рис. 2.1.13 (справа) показана одна из простейших траекторий, получающаяся при отношении частот 1 : 2 и разности фаз π/2.

Затухающие колебания. Вынужденные колебания.
^

Режимы затухания


β < ω0квазипериодический колебательный режим (рис. 2.2.2).



Рис. 2.2.2. График затухающих колебаний

β = ω0критический режим: период колебаний обращается в бесконечность, то–есть движение перестает быть периодическим.

Условие критического режима:

для пружинного маятника:

;(2.2.9)

для электрического колебательного контура:

.(2.2.9)

β > ω0 апериодический режим (рис. 2.2.3): колебательная система, выведенная из положения равновесия, возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний:

а) если при t = 0 скорость колебаний υ0 = 0, то движение изображается кривой 1;

б) если при t = 0 скорость колебаний отлична от нуля, то движение изображается кривой 2.



Рис. 2.2.3. Графики апериодического режима затухающих колебаний
^

Параметры затухающих колебаний


коэффициент затухания

Если за некоторое время e амплитуда колебаний уменьшается в e раз ,

то

.

тогда , а, следовательно,

,(2.2.10)

где e – время релаксации.

Логарифмический декремент затухания

Логарифмический декремент равен натуральному логарифму отношения амплитуд соседних колебаний, то есть отличающихся на один период :


.(2.2.11)

Физический смысл логарифмического декремента  – величина, обратная числу колебаний, в течение которых амплитуда убывает в e раз:

.(2.2.12)

Добротность Q

Добротность определяется как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания:

.(2.2.13)

При слабом затухании:

а) для пружинного маятника

.(2.2.14)

б)для электрического колебательного контура

.(2.2.15)

При слабом затухании добротность можно представить как

,(2.2.16)

где Е0 – запасенная энергия;
E – потери энергии за один период.
^

Вынужденные колебания


Вынужденными колебаниями называются колебания, происходящие под действием внешней переменной (периодической) силы, работа которой компенсирует потери энергии на преодоление трения (в механических колебательных системах) и на преодоление электрического сопротивления (в электрических колебательных системах).

^ Решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний (на примере пружинного маятника)


В колебательной системе одновременно происходят два процесса:

1. Затухающие колебания x1(t);

2. Незатухающие вынужденные колебания x2(t) с частотой вынуждающей силы.

Решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний (2.2.20)

представим в виде суммы двух решений

x = x1 + x2:

1. Общее решение однородного уравнения затухающих колебаний:

,(2.2.21)

где – циклическая частота затухающих колебаний.

2. Частное решение неоднородного уравнения вынужденных колебаний:

,(2.2.22)

где () – начальная фаза вынужденных колебаний.

Подставим x2 в исходное дифференциальное уравнение и получим:

.(2.2.23)

Для использования метода векторной диаграммы представим это уравнение в виде:


.(2.2.24)

Из этого уравнения следует, что постоянные А и должны иметь такие значения, чтобы гармоническая функция f0 cos t была равна сумме трех гармонических функций, стоящих в левой части этого уравнения.

Представим (рис. 2.2.4 а, б):

– функцию вектором ;

– функцию вектором , повернутым относительно вектора на угол (–);

– функцию вектором , повернутым на угол относительно вектора ;

– функцию вектором , повернутым относительно вектора на угол .





Рис. 2.2.4. Векторные диаграммы для решения дифференциального уравнения вынужденных колебаний: а)  < 0 и б)  > 0

Чтобы рассматриваемое уравнение было удовлетворено, должно выполняться следующее векторное равенство

.(2.2.25)

Векторные диаграммы, соответствующие случаям  < 0 и  > 0, представлены на рис. 2.2.4, а, б.

Из этих диаграмм следует, что уравнение справедливо, если

и при  < 0 (2.2.26)

и

и при  > 0. (2.2.27)

Резонансом называют явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте собственных колебаний (  0).

При   0 tg   и начальная фаза  стремится к , то есть вектор внешней силы становится параллельным вектору скорости маятника.

A = A() – амплитудно-частотная характеристика (резонансная кривая) представлена на рис. 2.2.5.



Рис. 2.2.5. Амплитудно-частотная характеристика вынужденных колебаний: Aрез– резонансная амплитуда, Aстат – статическая амплитуда

Функция A() достигает экстремума при частоте вынуждающей силы , равной

, (2.2.28)

здесь резрезонансная частота.

Если   0, то

, (2.2.29)

здесь Aстатстатическая амплитуда.

при    амплитуда вынужденных колебаний A  0.

При достижении резонансной частоты

  рез

амплитуда стремится к резонансной величине

,(2.2.30)

здесь Aрезрезонансная амплитуда.

Семейство резонансных кривых при различных коэффициентах затухания представлено на рис. 2.2.6.



Рис. 2.2.6. Амплитудно-частотные характеристики при различных коэффициентах затухания

При критическом затухании

(2.2.31)

резонанс не наступает – резонансная частота рез стремится к нулю.

Добротность колебательной системы, находящейся в режиме вынужденных колебаний, можно найти как

,(2.2.32)

где 0,7 – ширина резонансной кривой (рис. 2.2.7) на уровне половинной мощности внешнего источника вынуждающей силы

 .



Рис. 2.2.7. Определение величины добротности

Добротность можно представить и как отношение резонансной амплитуды к статической, т.е. как коэффициент усиления:

.(2.2.33)

При слабом затухании добротность равна

.(2.2.34)
^

Процесс установления вынужденных незатухающих колебаний


Процесс установления вынужденных незатухающих колебаний можно представить как процесс сложения двух колебаний:

1. затухающих колебаний (рис. 2.2.8);

;



Рис. 2.2.8. Затухающие колебания

2. вынужденных колебаний (рис. 2.2.9)

,

где  = ( – ) – начальная фаза;
 – частота вынуждающей силы.



Рис. 2.2.9. Вынужденные колебания

Суммирование двух процессов



для случая A = A0 и приводит к процессу установления незатухающих вынужденных колебаний (рис. 2.2.10).



Рис. 2.2.10. Процесс установления незатухающих вынужденных колебаний

Вынужденные колебания считают установившимися, если

.(2.2.35)

Тогда время установления незатухающих вынужденных колебаний равно:

,(2.2.36)

т. е. чем больше затухание в системе, тем быстрее устанавливаются незатухающие вынужденные колебания.




Скачать файл (1530.8 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru