Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Семинар 2 - Неопределенный интеграл. Определенный интеграл - файл 1.docx


Семинар 2 - Неопределенный интеграл. Определенный интеграл
скачать (93.6 kb.)

Доступные файлы (1):

1.docx94kb.15.11.2011 23:30скачать

содержание
Загрузка...

1.docx

Реклама MarketGid:
Загрузка...
«Математическое описание медико-биологических процессов и обработка медицинских данных».

Актуальность темы.

Сегодняшний уровень развития медицинской и биологической физики, таких специальных дисциплин как ортопедическая стоматология и ортодонтия требует получения определенных математических знаний, имеющих, в первую очередь, прикладное значение. В данной теме излагается необходимый теоретический материал из разделов высшей математики, который сопровождается большим числом рассмотренных примеров и задач. По существу, каждый пример – это «математическая модель» изучаемого процесса или объекта.

Математическая модель, основанная на некотором упрощении, идеализации, никогда не бывает тождественна рассматриваемым процессам или объектам, не передает всех их свойств и особенностей, а является их приближенным отражением. Однако, благодаря замене, например, реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность математически сформулировать задачу его изучения и воспользоваться для анализа его свойств математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы данного объекта. Этот аппарат позволяет единообразно описать широкий круг фактов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как поведет себя объект в различных условиях, то есть прогнозировать результаты будущих наблюдений.

Простые примеры таких моделей, рассмотренные в нижеследующих семинарах, будут продолжены более сложными при изложении основного курса.

Не вызывает также сомнения, что современный врач должен понимать методы обработки медико-биологических данных и владеть ими. Начальные знания здесь могут быть получены при знакомстве с теорией ошибок (погрешностей) измерений.




Семинар 2

Неопределенный интеграл. Определенный интеграл.

Основные вопросы:

  1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл.

  2. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.

  1. Методы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование и метод замены переменных.

  1. Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла.

  2. Задания для самостоятельной работы.

  1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл.

Предыдущий семинар был посвящен основам дифференциального исчисления. Основная задача, которая там решалась, состояла в вычислении производной или дифференциала заданной функции.

Часто возникает обратная задача: по известной производной функции необходимо найти саму функцию. Например, производная f(x) некоторой неизвестной функции F(х) задана и равна соs х, т.е. F' (х) = f (x) = соs х. На вопрос, чему равна сама функция F(х), легко ответить, посмотрев таблицу производных (см. табл.1 семинара 1): (sin х) ' = cos x, значит, F(х) = sin х.

Функция F(х), которая удовлетворяет условию F'(х) = f(x), называется первообразной для заданной функции f(х).

Производная от постоянной величины С равна нулю, С' = 0. Поэтому, если добавить к первообразной функции F(х) постоянную С, то снова будет выполняться условие [F(х) + C]' = f(x), в частности, в рассмотренном примере (sin х + С)' = соs х. Значит для функции f(x) существует бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга на постоянную величину С, С обычно называют произвольной постоянной.

Совокупность всех первообразных F(х) + С для данной функции f (х) называется ее неопределенным интегралом и обозначается символом:

f (x)dx, т.е. f (x)dx = F(х) + C; (1)



где f (x) - подинтегральная функция, f (x)dx – подинтегральное выражение, которое представляет собой дифференциал F(х). В нашем примере: cos x dx = sin x+ C

В конкретных задачах многозначность ответа устраняется каким-либо дополни

тельным условием.

Например, надо найти функцию, производная которой есть х2 и значение которой равно 7 при х = 3. Обратившись к таблице производных, находим, что . Подставив в вместо х число 3, получим: и С = – 2, а .

2.Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

[∫f (x)dx]' = [F(x) + C] ' = f(х); (2)

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

d ∫ f (x)dx = f(х) dx; (3)

3. Неопределенный интеграл дифференциала некоторой функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной

d F (x) = F(х) + C, (4)

например: d x = х + С или d ( sin x) = sin x + C.

4. Неопределенный интеграл алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов слагаемых

(z(x) – u (x) + v(x)) dx = z(x) dx u (x) dx + v(x) dx; (5)

5.Постоянный множитель в подинтегральной функции можно вынести за знак неопределенного интеграла:

(6)

Приведем таблицу значений неопределенных интегралов, которую 

легко получить, используя табл. 1 семинара 1. Таблица 1.

1)

6)

2)

7)

3)

8)

4)

9)

5)




  1. ^ Методы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование и метод замены переменных.

Часто подинтегральные функции бывают намного сложнее приведенных в табл. 1. В этом случае, чтобы найти неопределенный интеграл, нужно с помощью определенных приемов свести его к табличному виду и дальше воспользоваться таблицей интегралов. Рассмотрим два из возможных методов вычисления неопределенных интегралов.

I. Непосредственное интегрирование.

Здесь достаточно элементарных алгебраических преобразований подинтегральной функции для того, чтобы получить табличный интеграл.

Проиллюстрируем этот метод решением конкретных примеров:

1)

Для вычисления этого интеграла воспользуемся формулами (4), (5), (6) и формулой № 2 таблицы 1, тогда

== =

2) , т.к. известно, что sin 2x = 2 sin x cos x, то

(см. формулу (6) и № 6 табл.1)



II. Метод замены переменной (метод подстановки).

В этом методе определенную часть подинтегрального выражения обозначают новой переменной. Всю последовательность действий, приводящих к решению, рассмотрим на примерах.

1. Надо вычислить интеграл .

Для того, чтобы получить ответ:

а) введем новую переменную z = 3x;

б) найдем ее дифференциал: dz = 3dx;

в) выразим dx через dz: dx = dz/3;

г) подставим новые значения в исходный интеграл: , используя формулу (6) получим: , это табличный интеграл;

д) по формуле №7 табл.1 или, возвращаясь к старой переменной, .

Правильность ответа легко проверить, вычислив от него производную, при правильном решении она должна быть равна подинтегральной функции:


Приведенный порядок действий соблюдается при решении любого интеграла данным методом

2.

При вычислении интеграла использовалась формула №4 табл.1.




При вычислении этого интеграла использовалась формула №2 табл.1.


^ 4.Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла.

К понятию определенного интеграла приводят ряд прикладных задач. Рассмотрим одну из них. Пусть требуется найти площадь S плоской фигуры аАBb (рис.1), ограниченной графиком функции y = f(x) и отрезками прямых y = 0, x = a, x = b. Эта фигура называется криволинейной трапецией.

Не проводя промежуточных вычислений, приведем окончательный результат:

(7)

Стоящее справа в данной формуле выражение называется определенным интегралом функции y = f(x) на участке [a, b], здесь а – нижний предел интегрирования (наименьшее значение x), b - верхний предел интегрирования (наибольшее значение x).

Вычисление определенного интеграла проводится с помощью формулы Ньютона - Лейбница:

(8)

Из нее следует, что для получения значения определенного интеграла необходимо:

а) пользуясь теми же правилами и формулами, которые применимы для 

нахождения неопределенного интеграла, найти первообразную функцию для заданной подинтегральной функции; рядом с ней обычно проводится вертикальная линия и записываются пределы интегрирования – ставится знак двойной подстановки;

б) вычислить значение первообразной при верхнем пре

деле интегрирования и от полученного результата отнять ее значение при нижнем пределе интегрирования;

в) полученная разность и будет значе

нием интеграла – значением искомой площади в соответствующих единицах при решении задач о вычислении этой величины.

В отличие от неопределенного интеграла, определенный интеграл всегда есть конкретное число, значение которого зависит от вида функции f(x) и значений верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Примеры:

  1. Вычислить площадь между участком синусоиды и осью x для интервала (0, π):


2)

Уже говорилось, что определенный интеграл применяется не только для вычисления площадей.

Рассмотрим один из возможных примеров:

Скорость выброса крови из сердца за время систолы описывается некоторой функцией v = v(t). Период сердечного сокращения T0 = 1c, время систолы Т = 0,4с. Определим минутный объем выбрасываемой крови Vмин для двух случаев:

а) скорость выброса постоянна и составляет v0 = 200мл /с (например, при работе искусственного клапана);

б) скорость выброса изменяется во времени по следующему закону: , что в определенном приближении соответствует реальной ситуации.

Решение:

а) Поскольку v = v0 = const, то объем крови , выбрасываемый за 1 систолу, равен v0 ·^ Т. За минуту происходит 60 систол (Т0 = 1с), следовательно, Vмин. =

= 60 ·v0 ·Т = 4800 мл;

б) Выброс крови за одну систолу определяется интегралом:


Выброс крови за минуту:

^ 5. Задания для самостоятельной работы.

  1. Докажите формулы, входящие в таблицу неопределенных интегралов (табл.1 семинара 2), используя свойства интеграла и таблицу производных (табл.1 семинара 1).

  2. Найдите интегралы:

1)

3)

5)

10)

2)

4)

6)

7)

8)

9)


Литература.

  1. Гроссман С., Тернер Дж. Математика для биологов,М: Высшая школа, 1983, 383стр.

  2. Баврин И.И. Краткий курс высшей математики для химико-биологических и медицинских специальностей, М., Физматлит, 2003г., 326 стр.




Скачать файл (93.6 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru