Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Семинар 3 - Элементы теории ошибок (погрешностей) - файл 1.docx


Семинар 3 - Элементы теории ошибок (погрешностей)
скачать (111.4 kb.)

Доступные файлы (1):

1.docx112kb.15.11.2011 23:30скачать

содержание
Загрузка...

1.docx

Реклама MarketGid:
Загрузка...
«Математическое описание медико-биологических процессов и обработка медицинских данных».

Актуальность темы.

Сегодняшний уровень развития медицинской и биологической физики, таких специальных дисциплин как ортопедическая стоматология и ортодонтия требует получения определенных математических знаний, имеющих, в первую очередь, прикладное значение. В данной теме излагается необходимый теоретический материал из разделов высшей математики, который сопровождается большим числом рассмотренных примеров и задач. По существу, каждый пример – это «математическая модель» изучаемого процесса или объекта.

Математическая модель, основанная на некотором упрощении, идеализации, никогда не бывает тождественна рассматриваемым процессам или объектам, не передает всех их свойств и особенностей, а является их приближенным отражением. Однако, благодаря замене, например, реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность математически сформулировать задачу его изучения и воспользоваться для анализа его свойств математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы данного объекта. Этот аппарат позволяет единообразно описать широкий круг фактов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как поведет себя объект в различных условиях, то есть прогнозировать результаты будущих наблюдений.

Простые примеры таких моделей, рассмотренные в нижеследующих семинарах, будут продолжены более сложными при изложении основного курса.

Не вызывает также сомнения, что современный врач должен понимать методы обработки медико-биологических данных и владеть ими. Начальные знания здесь могут быть получены при знакомстве с теорией ошибок (погрешностей) измерений.
^



Семинар 3

Элементы теории ошибок (погрешностей).


Основные вопросы:

  1. Виды измерений физических величин и классификация возникающих при этом ошибок (погрешностей).

  2. Порядок обработки результатов прямых измерений.

  3. Порядок обработки результатов косвенных измерений.

  4. Пример расчета случайной ошибки при косвенном измерении вязкости жидкости.

  5. Задания для самостоятельной работы.




  1. Виды измерений физических величин и классификация возникающих при этом ошибок (погрешностей).



Целью любого измерения некоторой физической величины является получение её истинного значения. Однако это весьма непростая задача из-за различных ошибок (погрешностей), неизбежно возникающих при измерениях.

Все измерения делятся на прямые и косвенные. Прямые измерения производятся с помощью приборов, которые непосредственно измеряют исследуемую величину. При косвенных измерениях определяемую величину вычисляют по некоторой формуле, а параметры, входящие в эту формулу, находят путем прямых измерений. Погрешность, возникающая в прямых измерениях, естественно, ведет к появлению ошибки косвенно определяемой величины.


^ Ошибки (погрешности) измерений принято делить на систематические и случайные.

Систематические ошибки вносятся самим измерительным прибором. Их можно учесть, если известен класс точности данного прибора.

Появление случайных ошибок обусловлено влиянием многочисленных случайных причин на результаты измерений. Эти погрешности 

обнаруживаются лишь при повторении процедуры измерений и приводят к получению ряда близких, но все-таки различающихся между собой значений измеряемой величины.

Теория ошибок позволяет оценить величину именно случайной ошибки. Последовательно рассмотрим порядок обработки результатов прямых и косвенных измерений.


^ 2.Порядок обработки результатов прямых измерений.

Допустим, измеряется величина Х и мы хотим найти её истинное значение – хист. Результатом n измерений, проведенных соответствующим прибором, является ряд её значений: х1, х2, х3 ,…, хn.

Из теории ошибок следует, что при очень большом количестве измерений n (n∞) истинное значение измеряемой величины практически совпадает со средним арифметическим всех полученных значений:

xист ==

(Σ – «сигма» - заглавная буква греческого алфавита, которая используется в математике как символ суммы одинаковых по структуре слагаемых, - стандартное обозначение среднего арифметического).

Однако при любом ограниченном количестве проведенных измерений n истинное значение хист будет отличаться от найденного среднего арифметического значения – х хист.. Необходимо оценить величину этого различия.

К решению данного вопроса подходят следующим образом.

По полученным результатам n измерений рассчитывают среднее арифметическое значение определяемой величины и ее среднюю квадратичную ошибку S:

= (1)

(2)


По этим данным рассчитывают величину Δx – абсолютную ошибку измеряемой величины x. Теория ошибок дает ее следующее значение:

х = tp, n (3)

Здесь tp,n – коэффициент Стьюдента, значение которого определяется из соответствующих таблиц. Оно зависит от числа измерений n и доверительной вероятности (надежности) p – величины, которая, в соответствии с теорией ошибок, позволяет утверждать, что xист. лежит в определенном интервале, построенном около , а полуширина этого интервала, по крайней мере, при n < 30 определяется по формуле (3). Заметим, что значение р выбирается до проведения расчетов и при оценке случайных ошибок, возникающих в медико-биологических исследованиях, обычно равно 0,95 (95% ), иногда – 0,99 (99%). Чем ближе p к единице, тем большего доверия заслуживает определяемый интервал.

Окончательный результат записывают в виде: - х < хист. < + х или хист. = х с указанием выбранного значения p.

Интервал значений x, содержащий xист., называют доверительным интервалом (см. рис.1).



Далее, в соответствие с теорией ошибок, определяют величину = 100%, которую называют относительной ошибкой, оценивающей точность измерений.



^ 3.Порядок обработки результатов косвенных измерений.

При косвенных измерениях искомую величину Z вычисляют по некоторой формуле:

Z = f(x, y) (4)

где x и y – прямо измеряемые величины.

Число значений x и y, полученных при измерении каждого из них, равно n:

x1, х2, х3, …., хn ;

у1, у2, у3, … , уn.

Далее находят их средние арифметические значения:

=, = (5)

и средние квадратичные ошибки:

Sx = ; Sу = , (6)

Затем вычисляют среднее арифметическое значение косвенно измеряемой величины Z по формуле:

= f(). (7)

Истинное значение ZZист. лежит в доверительном интервале:

– Z < Zист. < + Z или Zист.= ± Z. (8)

Полуширина данного интервала для величины Z рассчитывается по формуле:

Z = tр, n. (9)

В формуле (9) средняя квадратичная ошибка Sz косвенно измеряемой величины, равна:

= , (10)

где =Zx´ и =Zy´ – частные производные величины Z=f(x, y), соответственно, по x и по у, вычисляемые при их средних значениях, Sx и Sу – средние квадртичные ошибки величин х и у, значения которых получаются по формулам (6), tр, n - уже знакомый нам коэффициент Стьюдента, p – доверительная вероятность (надежность).

Окончательный результат обычно записывается в виде: Zист. =  Z, с указанием выбранного значения р. Приводится так же относительная ошибка косвенно измеряемой величины:

= 100 % (11)


^ 4.Пример расчета случайной ошибки при косвенном измерении вязкости жидкости.

Рассчитаем случайную ошибку при косвенном измерении важнейшей характеристики текущей жидкости – вязкости жидкости [см. лекцию №]:

= 0 ,

где 1, , t – вязкость, плотность и время истечения исследуемой жидкости из капилляра вискозиметра; 0, 0, t0 – соответственно вязкость, плотность и время истечения эталонной жидкости (воды).

Величины 0, 0 и считаем точно известными, t и t0 измеряем секундомером, вязкость исследуемой жидкости – косвенно измеряемая величина.

1. Пять измерений времени истечения исследуемой жидкости и воды дали следующие результаты:

для исследуемой жидкости t= 79, 2с;80,4с;78,0с; 83,6с; 80,2 с;



для воды t0 = 51,0с; 48,4с; 50,6с; 47,4с; 44,2с.

2. Найдем по (5) средние арифметические значения t и t0:

= = 80,28 с,

= = 48,32 с.


Определим по (7) среднее арифметическое значение вязкости исследуемой жидкости при: = 790 , 0 = 998,2 , 0 = 1,0 10-3 Па с:

= 0; = 1,0 10-3 = 1,31 10-3 Па с = 1,31 мПа с.

3.Рассчитаем среднюю квадратичную ошибку вязкости по (10):

S = .

Для этого по (6) определим средние квадратичные ошибки времени истечения исследуемой жидкости St и воды :

St = =2,09 с

= = 2,75 с.

Найдем частные производные при t = и t0 = 0:

= = = 16,38  10-6 Па ,

= - = – = -27,21  10-6 Па.

Тогда S = = 82,2  10-6 Па  

с.

4. Определим полуширину доверительного интервала или абсолютную ошибку вязкости  по (9). Для этого, приняв доверительную вероятность р = 0,95, и, зная число измерений непосредственно определяемых величин (n = 5), найдем коэффициент Стьюдента, [cм. табл., напр. в (2, 3)], tр, n = 2,78, тогда:

 = 2,78  = 0,1 10-3 Па  с = 0,1 мПа с.

Следовательно, с доверительной вероятностью р = 0,95 = 95% истинное значение вязкости исследуемой жидкости лежит в интервале

η =  = (1,31 0,1) 10-3 Па с = (1,31 0,1) мПа с.

Относительная ошибка равна

= 100 % = 7,6 %



^ 5.Задания для самостоятельной работы.

1. Произведено 5 независимых измерений толщины пластины h (мм). Получены следующие результаты: 2,15; 2,18; 2,14; 2,16; 2,17. Оцените истинное значение толщины пластины с помощью доверительного интервала, принимая доверительную вероятность (надежность) 1) р = 0,95; 2) р = 0,99. Сравните полученные результаты.

2. У больного А на протяжении месяца исследовалось содержание гемоглобина в крови (мкмоль). Получены следующие значения 75,7; 70,1; 70,7; 71,4; 78,8. Оцените истинное значение данного показателя, принимая доверительную вероятность р = 0,95.

Литература.

  1. Баврин И.И. Краткий курс высшей математики для химико-биологических и медицинских специальностей, М., Физматлит, 2003г., 326 стр.

  2. Горский Ф.К., Сакевич Н.М. Физический практикум с элементами электроники (для медицинских институтов), Мн.: Вышэйшая школа, 1980, 272 стр.

  3. Инсарова Н.И., Лещенко В.Г. Элементы теории вероятностей и математической статистики, Мн.: БГМУ, 2003, 65 стр.




1 η – греческая буква «эта», которая используется для обозначения вязкости.




Скачать файл (111.4 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации