Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции - Уравнения движения вязкой жидкости; основы теории пограничного слоя - файл 1.doc


Лекции - Уравнения движения вязкой жидкости; основы теории пограничного слоя
скачать (1017 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc1017kb.18.11.2011 17:50скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Г л а в а 13
Уравнения движения вязкой жидкости; основы теории

пограничного слоя
13.1 Уравнение движения вязкой жидкости
При обтекании тела реальной жидкостью на его поверхности появляются касательные напряжения, обусловленные внутренним трением - вязкости. Эти напряжения возникают при относительном движении (скольжении) слоев жидкостью и всегда приводят к диссипации энергии потока, термодинамической необратимости движения, связанной с переносом количества движения (импульса) от быстрых частиц жидкости к медленным.

Чтобы получить уравнения движения вязкой жидкости, необходимо ввести дополнительные члены в уравнения движения идеальной жидкости Л. Эйлера.*) Установить вид этих членов можно, обобщая закон вязкого трения Ньютона для простейшего случая слоистого течения (1.5), когда изменение скорости течения wx происходит только по одной координате z, рисунок 13.1.



Рисунок 13.1 - Вязкие напряжения между слоями жидкости

___________________

*) Что касается уравнения непрерывности, то, как следует из его вывода, оно относится в равной мере к движению всякой жидкости, в том числе и вязкой.

Предположим сначала, что жидкость несжимаема ( = const). В этом случае, кроме нормальных сил давления - dpdydz и объемной силы Rxdxdydz, действующих в идеальной жидкости в направлении оси х (см. рисунок 2.1), в вязкой жидкости действует еще разность сил трения, касательных к верхней и нижней граням кубического объема жидкости (верхняя грань увлекается большей скоростью, нижняя тормозится меньшей):

()верх - ()нижн.

С учетом этих сил уравнение второго закона Ньютона (4.1) для частицы жидкости в проекции на ось х запишется в виде:

dxdydz = - dpdxdy + Rxdxdydz +

+ [()верх - ()нижн]dxdy.

Разделив последнее равенство на dxdydz и принимая во внимание, что   , а отношение

[()верх - ()нижн]/dz = ,

получим:

= - + Rx + , (ср. с первым уравнением (4.81)).

Учитывая возможность изменения вектора w и давления р в направлениях х и у, обобщим полученное уравнение на общей (3 - х мерный) случай течения несжимаемой ( = const) вязкой жидкости:

= - + Rx + ( + + );

= - + Ry + ( + + );

= - + Rz + ( + + ) (13.1)

или

= -- + Ri + *). (ср. с уравнением (4.811)).(13.11)

То же в векторном виде:

= -- p + + . (ср. с уравнением (4.8)). (13.111)

Здесь

    + +

- дифференциальный оператор Лапласа.

Полученные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости носят название уравнений Навье - Стокса (1822; 1845).

____________________

*) В последнем слагаемом индекс "к" повторяется дважды (т. к. ), является немым и по нему предполагается суммирование.

В случае сжимаемой вязкой жидкости, когда

div w  0, для касательных напряжений принимается :

= ( + - ) +  , (13.3)


где


=

{


1, при i = к

0, при i  к





называется тензорной единицей, а коэффициент (-) выбран так, что выражение в скобках обращается в нуль при суммировании компонент с одинаковыми индексами (i = к). Коэффициент  называется вторым коэффициентом вязкости и играет заметную роль лишь при значительных изменениях плотности жидкости (например, при взрыве).

Уравнения движения вязкой сжимаемой жидкости получаются прибавлением производных к правой части уравнений Эйлера

= - + Ri + (13.4)

или, с учетом зависимости (13.3):

= - +Ri + + ( + /3) (13.4!)

Но  div w,  wi. Поэтому можно написать уравнение движения в векторном виде:

= - gradp + R + w+( + /3) grad div w. (13.411)

Для несжимаемой жидкости div w = 0, = 0,что приводит к уравнению (13.1).

^ 13.2 Основы теории пограничного слоя
При движении жидкости с большими значениями числа Re  wl/, действие сил вязкости проявляется в тонком пристеночном слое - пограничном слое, в поперечном направлении которого скорость изменяется весьма резко.*) В остальной области течения жидкость можно считать идеальной (невязкой), а течение потенциальным. Это значительно упрощает исследования.

Толщина пограничного (вихревого) слоя обычно мала по сравнению с размерами обтекаемых тел. Так, при продольном обтекании пластины воздухом со скоростью 100 м/с на расстоянии 1 м от передней кромки скорость на поверхности пластины равна нулю (воздух "прилипает" к обтекаемой поверхности), а на расстоянии 15 мм от нее практически равна 100 м/с. Вне пограничного слоя градиенты скорости малы и поэтому вязкость практически не проявляется.

В общем случае при обтекании тел можно выделить три области, рисунок 13.2.

Первая - область пристеночного пограничного слоя, где скорость очень резко меняется от нуля на стенке до скорости внешнего потока; влияние вязких сил велико.

Вторая - область вихревого следа содержит приторможенные частицы из зоны 1, унесенные потоком. Это свободная смытая струя, вихревой след.

_____________________

*) Кроме пристеночного слоя между твердой обтекаемой поверхностью и внешним потенциальным потоком, встречаются свободные , с двух сторон окруженные потенциальными потоками слои жидкости с большим поперечным градиентом скорости (затопленные струи, след за обтекаемым телом), где влияние вязкости учитывать необходимо.

Третья область - вне первых двух, в которой жидкость можно считать идеальной, а течение потенциальным.



Рисунок 13.2
^ 13.3 Уравнения пограничного слоя Л. Прандтля
На тот факт. что влияние вязкости должно сказываться лишь вблизи обтекаемой стенки, было указано еще Д. М. Менделеевым (1880 г.) в его исследованиях по сопротивлению жидкостей движущимся телам. Математическая теория пограничного слоя была дана Л. Прандтлем.

При выводе уравнений пограничного слоя продольную (вообще говоря, криволинейную) координату х выбирают вдоль обтекаемой поверхности, а ось у - перпендикулярно к ней. Начало координат обычно удобно выбрать в передней критической точке, где набегающий поток раздваивается. Из - за малой толщины  пограничного слоя по сравнению с размерами обтекаемого тела можно пренебречь кривизной поверхности и рассмотреть выбранную систему координат как декартовую [x; y], рисунок 13.3.



Рисунок 13.3 - Ортогональная сетка координат [x, y]

Для установившегося движения вязкой жидкости уравнения Навье - Стокса (13.1) и уравнение непрерывности в случае плоского (двухмерного) потока принимают вид:

wx + wy = - + ( + ),

wx + wy = - + ( + ),

+ = 0.

Учитывая, что внутри пограничного слоя значительные градиенты только продольной составляющей скорости wx, второе из написанных уравнений упрощается:

=0.

Из этого следует важная особенность пограничного слоя: давление внешнего потока передается через пограничны слой без изменений. Можно показать также, что в первом уравнении член весьма мал по сравнению . В итоге получим систему уравнений для пограничного слоя Л. Прандтля:

wx + wy = - +  ,

+ = 0.

}


(13.5)

Результаты интегрирования этих гораздо более простых уравнений хорошо совпадают с экспериментальными данными.

Кроме того, следуя идее Л. Прандтля, продольное изменение давления (член - ) можно найти, рассматривая потенциальное течение в области 111 (рисунок 13.2), где справедливо уравнение Бернулли для идеальной жидкости

U2 / 2 + p/ = const. (13.6)

Здесь U - скорость вне пограничного слоя в области 111 у данной точки обтекаемого тела. Дифференцируя последнее равенство по х, получим

U + = 0,

или

- = U.

Учитывая это, перепишем систему уравнений Прандтля (13.5) в виде:

wx + wy = U+  ,

+ = 0.


}


(13.7)

В этих уравнениях распределение скоростей U(x) во внешнем потенциальном потоке на границе пограничного слоя можно получить. решая задачу обтекания тела потоком идеальной жидкости. а затем осуществить "стыковку" этого решения с течением вязкой жидкости в пограничном слое.

^ Граничные условия для системы уравнений пограничного слоя предполагают, во - первых, равенство нулю вектора скорости на поверхности обтекаемого тела, т. е.

wxy=0 = wyy = 0 (13.8)

из условий непроницаемости стенки и "прилипания" к ней вязкой жидкости.

Во - вторых, "стыковка" на внешней границе пограничного слоя предполагает равенство скорости частиц вязкой жидкости и скорости U(x) внешнего (потенциального) потока идеальной жидкости. Хотя, формально влияние пристеночного торможения жидкости сказывается на любом расстоянии от стенки, так что, строго говоря, это условие записывается в виде

wxy = U(x) (13.9)

и предполагает асимптотический переход к скорости внешнего потока. Однако, с целью упрощения, более часто второе граничное условие задается для пограничного слоя "конечной толщины ", под которым подразумевают слой жидкости, в котором на расстоянии  от стенки происходит изменение скорости от нуля (на стенке) до wx = U(x) (на расстоянии  от стенки), при условии плавности такого перехода

wxy =  = U(x), y =  = 0. (13.91)

В качестве  можно, например, принять расстояние от стенки, на котором скорость отличается от скорости внешнего потока на 1%, когда wx(x) y== 0,99U(x).

Расплывчатость такой оценки очевидна. Поэтому используются интегральные, менее наглядные, но более строгие оценки.

^ Толщина вытеснени (рисунок 13.4)

 * = [(U - wx)dy]/U =  [1 - wx(y)/U]dy.



Рисунок 13.4 - Поле скоростей в пограничном слое:

 - толщина пограничного слоя; * - толщина вытеснения
Интеграл (U - wx)dy представляет собой разность между расходами жидкости в пограничном слое , если бы скорость по всему его течению не уменьшалась из - за вязкости, а оставалась бы равной U, и действительным расходом (заштрихованная часть эпюры скоростей справа), т. е. представляет собой уменьшение расхода жидкости в пограничном слое из - за вязкости. Разделив этот интеграл на величину U, получим некоторую величину *, через которую и протекал бы недостающий расход (перекрестная штриховка). На * оттесняются от поверхности тела линии тока невозмущенного течения из - за вязкого торможения.

Аналогичные характеристики можно ввести для импульса и энергии потока:



** =  [(wx(y)/U)(1-wx(y)/U)]dy-толщина потери импульса;

0



***= [(wx(y)/U)(1-w2x(y)/U2)]dy-толщина потери энергии.

0
^ 13. 4 Турбулизация пограничного слоя
Из опыта следует, что ламинарное (слоистое) течение в пограничном слое наблюдается лишь на начальном участке поверхности обтекаемого тела (зона 1 на рисунке 13.5). далее, при достаточной протяженности тела наблюдается турбулизация пограничного слоя (точки перехода Тв и Тн на верхней и нижней поверхностях тела). В зоне 2 турбулентное течение отличается пульсирующим неустановившемся характером. Если вдоль течения давление нарастает (что имеет место, например, при диффузорных течениях), возможен взрыв пограничного слоя (точка S), сопровождающийся расширением вихревой турбулентной зоны 3. В зоне 4 течение можно считать безвихревым, потенциальным.



Рисунок 13.5 - Структура пограничного слоя при его турбулизации

Непосредственно вблизи обтекаемой стенки влияние вязкости особенно сильно, что способствует затуханию турбулентных пульсаций даже вниз по течению от точек Тв и Тн. Эта часть пограничного слоя называется ламинарным подслоем; его толщина столь мала, что на рисунке 13.5 он не показан. При наличии крупной шероховатости, выступов, на отсекаемых стенках ламинарный подслой разрушается.

Положение точек перехода (Твн) зависит от величины числа Рейнольдса

Rex = wx/,

где х - расстояние от передней критической точки 0 (рисунок 13.3). Для плоской пластины. расположенной по линиям тока набегающего потока критическое значение числа Рейнольдса, при котором происходит турбулизация пограничного слоя, близко к значению

Rex кр = (w xкр)/  5 105.

Это значение уменьшается при диффузорном и увеличивается при конфузорном течениях.

Приведеные выше дифференциальные уравнения пограничного слоя (13.51) Л. Прандтля получены для ламинарного пограничного слоя. При турбулентном течении обмен количеством движения между слоями жидкости резко возрастает (вместо молекулярного. он становится молярным), и уравнения Прандтля становятся непригодными. Напряжения турбулентного трения зависят от величины числа Рейнольдса, шероховатости поверхности (как в длинных трубах), а также от характера изменения давления вдоль стенки. Для расчета турбулентного (а. иногда. и ламинарного) пограничного слоя обычно используют универсальный интегральный метод Кармана. Этот метод не позволяет определить поле скоростей в пограничном слое, но дает возможность вычислить его толщину и распределение сил трения по поверхности обтекаемого тела значительно проще, чем при использовании дифференциальных уравнений.
^ 13.5 Расчет пограничного слоя по методу Кармана
Выберем два сечения пограничного слоя, нормальные к обтекаемой стенке на расстоянии x (см. рисунок 13.6) и применим к объему жидкости, ограниченному контуром АВСD теорему об изменении количества движения (второй закон Ньютона) (ширину данного объема в направлении оси z выберем единичную z = 1):

[(mw)]/ t = F,

или в проекции на ось х:

[(mwx)]/ t = Fx. (13,10)



Рисунок 13.6 - К расчету пограничного слоя интегральным методом Кармана
Здесь F равнодействующая сил, приложенных к объему жидкости, втекающей через АВ и ВС, а вытекающей через СD.

Вычислим сначала левую часть этого уравнения. Масса жидкости, поступающая через АB на участке у за время t равна wxdyt, и несет количество движения wх2 dyt, а через все сечение АВ соответственно

mав = t wхdy и (mwx)АВ = t wх2dy.

Тогда приращение количества движения от сечения АВ до СД составит

(mwx) - (mwx)АВ =

= (t wх2dy)СD - (t wхdy)АВ = (t w2хdy).

Поскольку на границе пограничного слоя скорость потока равна U, а масса m жидкости, поступающей с этой скоростью в пограничный слой извне через сечение ВС равна разности масс, поступающей через АВ и вытекающей через СD, т. е.

m = (t wхdy)CD - (t wхdy)АВ = (t wхdy).

то количество движения, вносимое через ВС, равно
(mwx)ВС = Um = U(t wхdy).

Тогда полное изменение количества движения в направлении х - левая часть уравнения (13.10):

[(mwx)]/t = [(mwx)CD - (mwx)АВ - (mwx)ВС]/t =

= (w2хdy) - Uwхdy.

Рассмотрим силы, действующие на выделенный объем - правую часть уравнения (13.10). В направлении х действует сила давления p на грань АВ, а навстречу ей, на грань СD действует сила давления

(p +p)(  + ), где p и  - приращение давления и толщины пограничного слоя на участке х. Кроме того, на ВС действует сила давления р, а со стороны стенки АD - сила трения - х, где  - напряжение трения. Суммируя эти силы, получим:

Fx = p - (p +p)(  + ) + p - x = - p - x.

После подстановки в уравнение импульсов (13.10), деления на х и перехода к пределу х 0, получим интегральное соотношение Кармана (1921) для плоского пограничного слоя:
(d/dx) w2хdy - U (d/dx) wхdy = -  dp/dx - . (13.11)

Если продольный градиент давления dp/dx выразить через скорость внешнего потока U (по уравнению Бернулли)

- dp/dx = U dU/dx,

то уравнение Кармана (13.11) можно переписать в виде:

dy - Udy = U (dU/dx) -  /. (13.11/)

Вывод уравнения Кармана (13.11) и (13.111) не содержит каких - либо предположений о природе касательного напряжения . Поэтому уравнение (13.11) и (13.111) применимы как для ламинарного, так и для турбулентного пограничных слоев. Здесь предполагается известным распределение скоростей во внешнем потоке. т. е. величины U и dU/dx (они могут быть определены методами гидродинамики идеальной жидкости или из опыта). Неизвестными величинами здесь являются wx,  и  (а в случае сжимаеой жидкости - и плотность ). Для определения толщины  пограничного слоя и касательного напряжения  у стенки приходится задаваться распределением скоростей в слое. Поскольку скорость wx внутри слоя входит в уравнение Кармана только под интегралом, можно пользоваться приближенным значением распределения wx без заметной погрешности вычислений.

Преобразуем (13.111) следующим образом.

Имея в ввиду тождество

(Udy) = dy + U dy,

уравнение (13.111) преобразуем к виду

dy - (U dy) + dy - U =

= - (Uwx - wx2)dy - (U - wx)dy = -  /,

или, введя *, ** и меняя знаки:

(U2 **) + U * =  /,

или, выполнив дифференцирование и деля на U2):

d**/dx + (2** + *) =  /(U2). (13.1111)

В этой форме записи уравнения неизвестными являются *, ** и .


  1. Ламинарный пограничный слой на плоской пластине




Рисунок 13.7
При продольном обтекании тонкой плоской пластины скорость внешнего потока не меняется вдоль оси х, т. е. dy/dx = 0. Уравнения (13.111) и (13.1111) в данном случае примут вид

dy - w dy = -  / (13.12)

и

d **/dx =  /( w 2). (13.121)

Зададим скорость в ламинарном пограничном слое wx в виде степенного ряда по степеням у:

wx = a0 (x) + a1 (x) y + a2 (x) y2 + ...

Координаты ао(х), а1(х) ... определяются из граничных условий (13.8), (13.9). Эти условия таковы:

wxy = 0 = 0; wxy =  = w ; y =  = 0

y =  = 0 (13.13)

Для простоты ограничимся первыми двумя членами т. е. wx = ao + a1y. Такое линейное распределение скоростей - очень грубое. но (как будет видно ниже) даже в этом случае получаются предварительные результаты. Используя первые два условия (13.13), получим

ао = 0; а1 = w /,

т.е. wx= (w /)у.

Касательное напряжение  на поверхности пластины определяется законом Ньютона (1.5), т. е.

 =  y = 0

В данном случае  = ( w /).

Для определения толщины пограничного слоя  подставим полученные величины в (13.12). Для этого вычислим входящие в него интегралы:

dy = (w /)2 dy = w 2;

dy = (w /) dy = w .

Подставим эти значения в (13.12), получим

w 2 - w2 = - ( w /),

или

w = /.

Разделяя переменные, запишем последнее уравнение в виде:

d = (6/w)dx.

Интегрируя, получим:

2 = (12x)/w + C.

Из условия на передней кромке пластины при х = 0, следует

x =0 =0 откуда С = 0.

Тогда получаем:

 = = 3,46x/, (13.14)

где Rex = (wx)/ - местное число Рейнольдса. Касательное напряжение  получается равным:

 =  (w /) = (0,289/) w2 . (13.15)

Точное решение уравнений Прандтля имеют вид:

 = 4,90x/; (13.141)

 = (0,332/) w2 . (13.151)

Различие между этими результатами можно значительно уменьшить, если взять три или четыре слагаемых разложения wx(y). Однако, решения уравнений Кармана и Прандтля для ламинарного слоя (как это следует из (13.14), (13.15) и (13.141), (13.151) дают (рисунок 13.8)

  ;   1/, (13.16)

что приводит для  к бесконечному значению при х  0. В действительности для пластинки конечной толщины происходит торможение потока у передней кромки (критической точки). Поэтому действительные значения  будут такими, как это показано на рисунке 13.4 пунктиром (конкретно - в зависимости от стенки заострения передней кромки).



Рисунок 13.8 - Изменения  и  ламинарного слоя на плоской пластинке
Полная сила трения Rтр на поверхности пластинки данной L и шириной b при ламинарном обтекании получается интегрированием:

Rтр = bdx = 0,332b = 0,664

или

Rтр = Cтр(лам) f(w2/2), где Cтр(лам) = 1,328/;

ReL = w L/; f = Lb.
^ 13.7 Турбулентный пограничный слой на пластинке
В данном случае используем уравнение (13.12), а распределение скоростей поперек слоя и зависимость касательного напряжения трения соответственно примем в виде степенных зависимостей, характерных для течения в трубах

wx = w (y/)1/7 (13.17)

и  = 0,0450(w2/2) (/w )1/4. (13.18)

Подставляя (13.17) в (13.12) и вычисляя интегралы. получим:

dy = w2(y/)2/7dy = 7/9 w2;

dy = w (y/)1/7dy = 7/8 w .

Используя полученные выражения и (13.18), приведем (13.12) к виду:

(7/9) w2 d/dx - (7/8) w2 d/dx = - 0,0450w2 /2 (/w)1/4

или

d/dx = 0,2315/ Re 1/4 , где Re  (w)/.

После интегрирования:

5/4 = 0,2315 (/w)1/4 х+ C,

где константу С можно определить из условия равенства толщин ламинарного и турбулентного слоев в момент перехода (турбулизации) т.е.

x = xкр= кр

с использованием (13.141).

Если же Rel = w l)/ достаточно велико (порядка 10 и более), ламинарный участок у входной кромки пластины весьма мал. так что его влиянием можно пренебречь и считать

x = 0  0,

откуда С = 0. Тогда получим расчетную формулу в виде:

 = (0,37x)/. (13.19)

Таким образом, толщина турбулентного слоя пропорциональна   x4/5, т.е. нарастает значительно быстрее ламинарного лам  x1/2. Это обусловлено макропереносом импульса в турбулентном слое, торможение потока происходит интенсивнее.

Соответственно выражение для касательных напряжений в турбулентном слое (получается подстановкой (13.19) в (13.18):

тур = (0,1156/) w2. (13.20)

Откуда следует . что в турбулентном слое убывание тур x-1/5

менее интенсивно, чем в ламинарном лам x-1/2.

Распределение  по длине пластинки, на которой ламинарный слой переходит в турбулентный (при x = xкр)) показано на рисунке 13.9.



Рисунок 13.9 - Зависимость (x) при турбулизации (в точке xкр)

пограничного слоя
Полная сила трения для пластинки длиной l и шириной b (на одной из сторон):

Rтр = b dx = 0,1156w2 (/w)1/5l 1/5dx =

= 0,144bw2 (/w l)1/5,
Откуда:

Cтр. турб = Rтр/ bl (w2 /2) = 0,072/ =

= 0,072/, (13.21)

где Rel = (w l)/.

Турбулизация пограничного слоя приводит к значительному увеличению силы сопротивления. Увеличение ламинарного начального участка при обтекании тела (пластины, крылового профиля, корпуса яхты и т. п.) значительно снижает сопротивление. С этой точки зрения важно как можно более тщательно обрабатывать носовую часть обтекаемых тел, входных участков реактивных двигателей, гидро - и пневмомашин и т. п. В трубах, каналах, входных насадках Reкр, соответствующий, практически не зависит от начальных возмущений. Напротив, при внешнем обтекании возмущения из внешнего потока могут существенно снижать Reкр пограничного слоя.

Величина Reкр и координата xкр точки турбулизации зависит от характера изменений давления р вдоль течения: при конфузорном течении, когда dp/dx < 0, возмущения подавляются и турбулизация наступает при существенно больших Reкр и xкр. Напротив, при dp/dx > 0, в диффузорном течении эти величины уменьшаются, поток быстрее турбулизируется, теряя устойчивость.

Величина dp/dx оказывает существенное влияние на явление отрыва пограничного слоя (рисунок 13.10). За точкой минимума давления в кормовой части обтекаемого тела скорость вниз по течению падает, давление нарастает (dp/dx > 0); движение происходит против подтормаживающего действия давления. Вязкость также способствует этому у стенки. Это вызывает сначала остановку (точка S) , а затем обратное течение в пограничном слое.



Рисунок 13 10 - Течение жидкости вблизи места отрыва пограничного слоя

Отрыв потока от стенок тела приводит к вихреобразованию и образованию вихревого аэродинамического или кильватерного следа. Поскольку переход упорядоченного течения в вихревое означает диссипацию механической энергии потока, возрастает степень термодинамической небратимости течения. Отрыв наблюдается при обтекании крылового профиля ( несущих плоскостей самолета, подводных крыльев, лопаток рабочих колес и направляющих аппаратов компрессоров и турбин и т. п.), всегда возникает при увеличении угла атаки  сверх некоторого критического значения кр. Как при внутреннем течении (в диффузоре), так и при внешнем обтекании (цилиндра, профиля) отрыв может приводить к нарушению симметрии течения.


Скачать файл (1017 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru