Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции - Надежность информационных систем - файл 1.doc


Лекции - Надежность информационных систем
скачать (925 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc925kb.17.11.2011 17:20скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

1   2   3   4   5   6
Реклама MarketGid:
Загрузка...
Расчет надежности по статистическим данным
Для оценки надежности по статистическим данным необходима большая работа по правильному и объективному сбору этих данных.

Расчет надежности может проводиться либо в процессе испытаний на надежность, либо на основе опыта эксплуатации.

Особенностью оценки надежности по статистическим данным является ограниченность статистического материала, которого недостаточно для точного определения показателей надежности. Приближенное случайное значение показателя называется оценкой показателя.

К оценке ā показателя а предъявляется ряд требований, которым она должна удовлетворять.

Оценка ā должна при увеличении числа опытов приближаться к показателю а. Оценка, обладающая таким свойством, называется состоятельной.

Оценка ā не должна иметь систематической ошибки. (Систематической ошибкой называют неслучайную ошибку, искажающую результаты измерений в одну определенную сторону).

Например, часы спешат на несколько минут. Измерение времени этими часами систематически (постоянно) дает завышенные результаты.

Математическое ожидание оценки должно быть равно истинному значению параметра а. М[ā] = a. Оценка, удовлетворяющая этому свойству, называется несмещенной.

Выбранная несмещенная оценка должна, по сравнению с другими, иметь наименьшую дисперсию.



Оценка, обладающая такими свойствами, называется эффективной.

Точечной называется оценка, определяемая одним числом. Точечные оценки вычисляются по формулам:

    

или



где n – число опытов.

При малом числе опытов точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, приводить к грубым ошибкам.

При небольшом объеме опытов следует пользоваться интервальными оценками. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами, концами интервала.

Доверительным называют интервал , который накрывает неизвестный параметр  с заданной вероятностью ;  – ошибка при замене параметра  оценкой .

Доверительной вероятностью называют вероятность того, что некоторый интервал возможных значений  (доверительный интервал) накроет истинное значение величины  Доверительные границы – это границы интервала ,
Доверительные интервалы при нормальном распределении случайной величины
Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону (закону Гаусса) с математическим ожиданием M и среднеквадратичным отклонением . Математическое ожидание M является истинным значением случайной величины Х.

Определим вероятность неравенства.

                                            (3.62)

где  – оценка математического ожидания;

 – доверительная вероятность;

 – ошибка от замены M оценкой

Параметры распределения случайной величины  и неизвестны, поэтому решить уравнение (3.62) невозможно.

Поделим обе части неравенства  на ,

где  – исправленное среднеквадратическое отклонение, определяемое из опытных данных;

 – статистическая дисперсия;

n – число опытов.

Получим:

                                      (3.63)

или



  

Случайная величина Т подчиняется распределению Стьюдента.

Дифференциальная функция распределения имеет вид:



где  – гамма-функция



Распределение Стьюдента зависит от числа опытов или, что то же самое, от числа степеней свободы

Распределение Стьюдента позволяет найти решение уравнения (3.62).

Величина , называемая квантилем распределения Стьюдента, определится из условия



Функция  – четная, поэтому

Квантилем, отвечающим заданному уровню вероятности , называют такое значение , при котором функция принимает значение, равное , т. е.

Квантиль t находим из таблицы распределения Стьюдента, в зависимости от доверительной вероятности и числа степеней свободы .

Величина , равная половине длины доверительного интервала, определится по формуле



Доверительные интервалы для оценок параметров рассчитываются следующим образом.

1. Задаются доверительной вероятностью . Обычно  = 0,8; 0,9; 0,95; 0,99.

2. Определяется число степеней свободы , где n – число опытов или наблюдений.

3. Из таблицы распределения Стьюдента по заданным r и  находят квантиль .

4. Из опытных данных определяется исправленное среднеквадратическое отклонение:

 



где  

5. Половина длины доверительного интервала определяется по формуле:



6. Доверительный интервал будет:


^ Доверительные интервалы при экспоненциальном распределении случайной величины
Для определения доверительного интервала случайной величины, распределенной по симметричному закону, близкому к нормальному, используется распределение Стьюдента. При несимметричном законе применяют распределение Пирсона или распределение 2.

Дифференциальная функция распределения 2 имеет вид:



Распределение 2 зависит от одного параметра r, называемого числом степеней свободы.

Составлены специальные таблицы распределения 2, пользуясь которыми, можно по заданной доверительной вероятности и числу степеней свободы r найти значение квантиля распределения 2.

При экспоненциальном законе распределения отказов оценки параметров

,  ,                                       (3.64)

где n – число отказов в интервале времени

 – суммарная наработка.

Для неремонтируемых элементов (объектов)

                                        (3.65)

где  – время исправной работы i-го отказавшего элемента (объекта);

N – количество объектов;

 – время испытаний;

n – число отказавших объектов.

В случае, когда испытания проводятся до тех пор, пока не откажут все выставленные на испытания объекты, суммарная наработка

                                                    (3.66)

Для ремонтируемых объектов

                                                 (3.67)

где  – длительность испытаний.

Доверительный интервал для интенсивности отказов, в этом случае, находится с помощью таблицы c2, в которой параметрами являются доверительная вероятность и число степеней свободы r.

Нижняя  и верхняя  границы интенсивностей отказов:

, где                                  (3.68)

, где                               (3.69)

В формулах:  – квантили распределения при числе степеней свободы

,  – коэффициенты.

 

^ Определение доверительных интервалов при отсутствии отказов
Пусть производятся испытания какого-либо изделия на безотказность работы. Вероятность отказа очень мала. В результате испытаний изделие не отказало ни разу. Найти максимальную, практически возможную, вероятность отказа.

Поставим эту задачу в общем виде. Произведено n независимых опытов, ни в одном из которых событие А не произошло. Задана доверительная вероятность , требуется построить доверительный интервал для вероятности Р события А, точнее найти его верхнюю границу Р2, так как нижняя граница Р1 равна нулю.

В результате n опытов наблюдается противоположное событие В, состоящее в том, что событие А не появилось ни разу. Вероятность этого события определяется по формуле Бернулли при m = 0, где m – число появлений события В.



,

Получим уравнение для вероятности P2:



откуда .                                                                                          (3.70)

 

Обратная задача.

Событие А с малой вероятностью ни разу не наблюдалось в серии из n опытов. Задана доверительная вероятность . Каково должно быть число опытов, чтобы верхняя доверительная граница для вероятности события была равна заданному значению Р2.

Из формулы (3.70) получим

                                                   (3.71)

 

^ Критерии согласия. Критерий Пирсона
Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о том, что статистическое распределение согласуется с каким-либо известным законом (нормальным, экспоненциальным, Вейбулла и т. д.)

Имеется несколько критериев согласия: Колмогорова, Пирсона и т. д.

Критерий Пирсона не требует построения самого закона распределения. Достаточно задаться только общим видом функции F(t), а входящие в нее числовые параметры определяются по данным эксперимента.

Предположим, что произведено n независимых опытов, в каждом из которых случайная величина принимает определенное значение. Результаты опытов оформлены в виде статистического ряда с числом разрядов К.

 































 

n – общее число значений случайной величины;

ni – число значений в i-ом разряде;

 – статистическая вероятность i-ом разряде.

Требуется проверить, согласуются ли экспериментальные данные с гипотезой, что случайная величина Х имеет данный закон распределения. Этот закон распределения называется теоретическим. Из теоретического закона определяются теоретические вероятности попадания случайной величины в каждый разряд:



Сущность критерия согласия Пирсона состоит в сравнении теоретических и статистических вероятностей.

В качестве критерия проверки гипотезы принимают случайную величину

                        (3.72)

Эта величина при стремится к закону распределения с r степенями свободы. Число степеней свободы находят по равенству

,                                            (3.73)

где  k – число интервалов;

s – число параметров предполагаемого распределения, которые вычислены по экспериментальным данным.

Если предполагаемое распределение нормальное, то оценивают два параметра: математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение. Поэтому
s = 2 и число степеней свободы

Если статистические данные распределены по экспоненциальному закону, то оценивают параметр , поэтому s = 1 и

Пользуясь таблицами распределения  можно для вычисленной по формуле (3.72) меры расхождения и числа степеней свободы r найти вероятность P того, что величина, распределенная по закону  превзойдет эту меру. Если эта вероятность мала, меньше или равна 0,1, событие с такой вероятностью можно считать практически невозможным.

Гипотезу о том, что закон распределения X есть F(x) следует считать неправдоподобной. Если же вероятность Р больше 0,1, гипотезу о том, что величина X распределена по закону F(x) следует считать правдоподобной, не противоречащей опытным данным.

Последовательность операций при использовании критерия Пирсона.

1. Определяется мера расхождения опытного и теоретического закона



где ni – количество значений случайной величины в i-ом интервале;

n – общее число значений случайной величины;

 – частота повторения событий или статистическая вероятность в i-ом интервале.

 – теоретическая вероятность события в i-ом интервале (из теоретической кривой);

k – число разрядов (интервалов);

 – наблюдаемое значение критерия.

2. Определяется число степеней свободы распределения  по формуле

.

3. Пользуясь таблицами распределения , возможно для значения , вычисленного в пункте 1 и числа степеней свободы r определить вероятность Р. Если эта вероятность мала (Р  0,1), гипотеза о совпадении опытного и теоретического законов отбрасывается. Если Р > 0,1, гипотезу можно принять не противоречащей опытным данным.

 

^ Критерий Колмогорова
При применении критерия согласия Колмогорова в качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределением рассматривается максимальное значение модуля разности между теоретической и экспериментальной функциями распределения.

На основе этого критерия, экспериментальное распределение согласуется
с выбранным теоретическим, если выполняется условие



где  – наибольшее отклонение теоретической кривой распределения от экспериментальной;

n – общее количество экспериментальных данных.

 

Критерий Колмогорова прост и нагляден.

Недостатком критерия является то, что он требует предварительного знания теоретического распределения, т. е. знания не только вида функции распределения F(t), но и ее параметров.

 

^ ПОВЫШЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ
Принципы помехоустойчивого кодирования
В реальных условиях приём двоичных символов происходит с ошибками, т. е. вместо символа «1» принимается символ «0», и наоборот. Ошибки могут возникать из-за помех, действующих в канале связи (особенно помех импульсного характера), изменения за время передачи характеристик канала (например, замирания), снижения уровня передачи, нестабильности амплитудных и фазочастотных характеристик канала и т. п.

Общепринятым критерием оценки качества передачи в дискретных каналах является нормированная на знак или символ допустимая вероятность ошибки для данного вида сообщений. Так, допустимая вероятность ошибки при телеграфной связи может составлять 10-3 (на знак), а при передаче данных – не более 10-6 (на символ). Для обеспечения таких значений вероятностей одного улучшения только качественных показателей канала связи может оказаться недостаточным. Поэтому основной мерой является применение специальных методов повышения качества приёма передаваемой информации [12]. Эти методы можно разбить на две группы.

К первой группе относятся методы увеличения помехоустойчивости приёма единичных элементов (символов) дискретной информации, связанные с выбором уровня сигнала, отношения сигнал-помеха (энергетические характеристики), ширины полосы канала, методов приёма и т. д.

Ко второй группе относятся методы обнаружения и исправления ошибок, основанные на искусственном введении избыточности в передаваемое сообщение. Увеличить избыточность передаваемого сигнала можно различными способами. Так как объём сигнала

,                                                (4.1)

где ^ Р – мощность сигнала, Вт; ∆F – ширина спектра сигнала, Гц; Т – время передачи сигнала, с, то его увеличение возможно за счёт увеличения Р, ∆F и Т.

Практические возможности увеличения избыточности за счёт мощности
и ширины спектра сигнала в системах передачи дискретной информации по стандартным каналам резко ограничены. Поэтому для повышения качества приёма, как правило, идут по пути увеличения времени передачи и используют следующие основные способы:

1) многократная передача кодовых комбинаций (метод повторения);

2) одновременная передача кодовой комбинации по нескольким параллельно работающим каналам;

3) помехоустойчивое  (корректирующее) кодирование, т. е. использование кодов, исправляющих ошибки.

Иногда применяют комбинации этих способов.

Многократное повторение (e раз) кодовой комбинации является самым простым способом повышения достоверности приёма и легко реализуется, особенно в низкocкopocтных cистeмax пepeдaчи для каналов с быстроменяющимися параметрами.

Способу многократного повторения аналогичен способ передачи одной
и той же информации по нескольким параллельным каналам связи. В этом случае необходимо иметь не менее трёх каналов связи (например, с частотным разнесением), несущие частоты которых нужно выбирать таким образом, чтобы ошибки в каналах были независимы. Достоинством таких систем являются надёжность и малое время задержки в получении информации. Основным недостатком многоканальных систем так же, как и систем с повторением, является нерациональное использование избыточности.

Наиболее целесообразно избыточность используется при применении помехоустойчивых (корректирующих) кодов.

При помехоустойчивом кодировании чаще всего считают, что избыточность источника сообщений на входе кодера равна 0 (χ = 0). Это обусловлено тем, что очень многие дискретные источники (например, цифровая информация на выходе ЭВМ) обладают малой избыточностью. Если избыточность первичных источников сообщений существенна, то в этих случаях, по возможности, стремятся ее уменьшить путём эффективного кодирования, применяя, например, коды Шеннона – Фано или Хафмена. Затем, методами помёхоустойчивого кодирования можно внести такую избыточность в сигнал, которая позволит достаточно простыми средствами улучшить качество приёма. Таким образом, эффективное кодирование вполне может сочетаться с помехоустойчивым.

В обычном равномерном помехоустойчивом коде число разрядов n в кодовых комбинациях определяется числом сообщений и основанием кода.

Коды, у которых все кодовые комбинации разрешены к передаче, называются простыми или равнодоступными и являются полностью безызбыточными. Безызбыточные первичные коды обладают большой «чувствительностью» к помехам.

Внесение избыточности при использовании помехоустойчивых кодов обязательно связано с увеличением n – числа разрядов (длины) кодовой комбинации. Таким образом, всё множество N = 2∙n комбинаций можно разбить на два подмножества: подмножество разрешённых комбинаций, т. е. обладающих определёнными признаками, и подмножество запрещённых комбинаций, этими признаками не обладающих.

Помехоустойчивый код отличается от обычного тем, что в канал передаются не все кодовые комбинации ^ N, которые можно сформировать из имеющегося числа разрядов n, а только их часть Nk, которая составляет подмножество разрешённых комбинаций.

Если при приёме выясняется, что кодовая комбинация принадлежит к запрещённым, то это свидетельствует о наличии ошибок в комбинации, т. е. таким образом решается задача обнаружения ошибок. При этом принятая комбинация не декодируется (не принимается решение о переданном сообщении).
В связи с этим помехоустойчивые коды называют корректирующими кодами. Корректирующие свойства избыточных кодов зависят от правила их построения, определяющего структуру кода, и параметров кода (длительности символов, числа разрядов, избыточности и т. п.).

Первые работы по корректирующим кодам принадлежат Хеммингу, который ввёл понятие минимального кодового расстояния dmin и предложил код, позволяющий однозначно указать ту позицию в кодовой комбинации, где произошла ошибка. К k информационным элементам в коде Хемминга добавляется r проверочных элементов для автоматического определения местоположения ошибочного символа. Коды Хемминга будут рассмотрены подробнее далее.
1   2   3   4   5   6



Скачать файл (925 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru