Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Вычисление интегралов - файл 1.doc


Вычисление интегралов
скачать (1304.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc1305kb.15.11.2011 23:53скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

  1   2   3   4   5
Реклама MarketGid:
Загрузка...

вычисление интегралов


Рассмотрены методы вычисления определенных интегралов с помощью ЭВМ (прямоугольников, трапеций, Симпсона и Гаусса). Представлены примеры, которые демонстрируют их возможности и технологию работы с ними.

Метод прямоугольников


Многие прикладные научные и технические задачи сводятся к интегрированию некоторых функций. Вычисление площадей, объемов, центра масс, работы, производимой распределенными силами, и многих других физических величин приводят к интегрированию функций. Геометрический смысл простейшего определенного интеграла




(2.3.1)


от неотрицательной функции , как известно, состоит в том, что значение интеграла (2.3.1) является площадью фигуры, ограниченной кривой , осью абсцисс и прямыми , (рис. 2.3.1).





Рис. 2.3.1. Геометрическая интерпретация значения определенного интеграла


Заметим, что в большинстве случаев первообразная функция для неизвестна и поэтому при вычислении значения интеграла (2.3.1) применяются приближенные методы.

Предположим, что вещественная функция определена и ограничена на интервале . Разобьем данный интервал на подинтервалов , , , . В каждом подинтервале выберем произвольную точку , и составим интегральную сумму


.

(2.3.2)


Если существует предел при стремлении длины наибольшего подинтервала к нулю и при произвольном выборе , то этот предел называется интегралом Римана от


.

(2.3.3)


Вычисление суммы (2.3.2), если не переходить к пределу (2.3.3), является простейшим примером численного интегрирования. Верхняя и нижняя суммы Дарбу определяют величину погрешности , а именно


,







, ,

(2.3.4)




, .





Различные формулы численного интегрирования отличаются от (2.3.2) разными способами определения:

  1. выбора точек и ;

  2. ускорения сходимости в (2.3.3);

  3. оценки погрешности, которая, как правило, использует дополнительную информацию о поведении подынтегральной функции.

Если же о функции ничего не известно, кроме того, что она непрерывна, то вычисление суммы (2.3.2) и оценка погрешности (2.3.4) являются наиболее естественной формулой численного интегрирования.

Дадим общее понятие интегральной суммы (2.3.2). Точки , в которых вычисляются значения , назовем узлами, а коэффициенты в (2.3.2) заменим некоторыми числами , не зависящими от и будем называть весами. Тогда формула (2.3.2) запишется в виде


,

(2.3.5)


где . Интеграл (2.3.1) запишем в виде


.

(2.3.6)


Формула (2.3.6) называется квадратурной формулой, в (2.3.6) описывает погрешность квадратурной формулы. Квадратурная формула считается заданной, если определено, как выбирать узлы , соответствующие им веса и проводить оценку погрешности .

Для некоторых видов функций можно построить квадратурные формулы с погрешностью . Такие квадратурные формулы называются точными.

Точные квадратурные формулы можно записать для полиномов степени , имеющих вид




(2.3.7)


на интервале . Определим на нем произвольные узлы , . Найдем веса такие, что


.

(2.3.8)


Многочлен перепишем в виде интерполяционного полинома Лагранжа:


.

(2.3.9)


Условие (2.3.8) дает возможность найти явный вид весовых коэффициентов ,


.

(2.3.10)


Таким образом, если выбрать произвольные узлы на интервале и вычислить значения весовых коэффициентов по формулам (2.3.10), то для любого полинома степени квадратурная формула




(2.3.11)


является точной, так как справедливо соотношение (2.3.8).

Значение точных квадратурных формул (2.3.11) с практической точки зрения проявляется при интегрировании таких функций , которые хорошо могут быть аппроксимированы полиномами на интервале определения . Поэтому, применяя такую формулу к , есть уверенность получить малую погрешность в (2.3.6) для рассматриваемой функции.





Рис. 2.3.2. Геометрическая интерпретация метода прямоугольников


Исследователями разработаны различные квадратурные формулы, которые отличаются способом выбора узлов , значениями весовых коэффициентов и величиной погрешности . Рассмотрим те из них, которые получили широкое применение при вычислении интегралов (2.3.1).

Для начала приведем квадратурные формулы для одного интервала , которые в дальнейшем обобщим на весь интервал в виде составных квадратурных формул. Опишем простейшую квадратурную формулу прямоугольников. Будем рассматривать отдельный интервал (), к которому можно свести любой интервал с помощью соответствующего выбора системы координат (рис. 2.3.2). Будем предполагать, что подынтегральная функция дважды непрерывно дифференцируема на . Запишем соотношение (2.3.6) в виде


,

(2.3.12)


в котором в качестве узла взята точка , а соответствующий вес . Полученная квадратурная формула




(2.3.13)


называется формулой прямоугольников для одного подынтервала. Такое название оправдано тем, что (2.3.12) является формулой прямоугольника с высотой и основанием , если на интервале функция принимает неотрицательные значения.

Было показано, что если функция - гладкая, то погрешность будет стремиться к нулю при . Данное утверждение означает, что чем меньше величина шага , тем меньше погрешность вычисления . Покажем справедливость такого утверждения.

Перепишем левую часть выражения (2.3.12) в следующем виде


.

(2.3.14)


В полученном выражении (2.3.14) функция определяется формулой


.





Для нее выполняются соотношения


, , , ,





которые легко проверяются прямыми вычислениями.

Используя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, можно записать


,

(2.3.15)




,

(2.3.16)


где , . Подставляя (2.3.15) и (2.3.16) в (2.3.14) имеем


.

(2.3.17)


Так как непрерывна на интервале , то существует некоторая точка такая, что


.





Теперь (2.3.17) можем переписать в виде


.

(2.3.18)


Сравнивая (2.3.12) и (2.3.18), приходим к выводу, что сформулированное выше утверждение доказано.

Квадратурная формула прямоугольников (2.3.13) является точной для полиномов первой степени


.





Для этого необходимо вычислить интеграл


.

(2.3.19)


Имеются и другие варианты квадратурной формулы прямоугольников. Все зависит от того, в какой точке интервала берется значение подынтегральной функции. Итак, обобщенную квадратурную формулу прямоугольников можем записать


.

(2.3.20)


Не сложно показать, что квадратурные формулы левых и правых прямоугольников являются точными только для полиномов нулевой степени, т.е. констант.
  1   2   3   4   5



Скачать файл (1304.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru