Logo GenDocs.ru


Поиск по сайту:  


Примеры решения задач по Теории вероятностей - файл 1.doc


Примеры решения задач по Теории вероятностей
скачать (1334 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc1334kb.17.11.2011 20:45скачать

содержание

1.doc

Реклама MarketGid:

Примеры решения задач по ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Модель Лапласа

Задача 1.




Игральная кость подбрасывается два раза. Какова вероятность того, что хотябы один раз появляется шестерка?


РЕШЕНИЕ


 Результат двукратного подбрасывания кости можно описать множеством U строк u = u1u2 длины 2, составленных из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Число таких строк равно 62 = 36.Симметричность кости позволяет использовать модель Лапласа для n = 36 равновероятных исходов. Задача сводится к вычислению вероятности Р(С) события С, составленного из строк u = u1u2 для которых u1 = 6 или u2 = 6:

С = {61, 62, 63, 64, 65, 66,16, 26, 36, 46, 56}.

1. Имеем:

P(C) = n(C)/n(U) = 11/36.

2. Дополнение А = С` события С состоит из строк u = u1u2 для которых u1 ≠ 6 или u2 ≠ 6. Число таких строк равно 52 = 25. Поэтому

Р(С`) = Р(А) = 52/62 = (5/6)2.

По правилу дополнения

Р(С) = Р(А’) = 1 - (5/6)2 = 11/36.

3. Событие С можно представить в виде объединения событий А = {61,62,63,64,65,66} и В = {16,26,36,46,56,66}, описывающих появление шестерки соответственно при первом и втором подбрасываниях.
Имеем:

P(А) = 6/36, Р(B) = 6/36, Р(АВ) = Р ({66}) = 1/36.

По правилу объединения,

P(С) = Р(A U В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 6/36 + 6/36 - 1/36 = 11/36.

Задача 2.


В урне находятся 5 шаров, отличающихся только номерами 1, 2, 3, 4, 5. Вынимается на угад выбранный шар и отмечается его номер. Вынутый шар возвращается в урну. После тщательного перемешивания из нее выниматся наугад выбранный шар. Какова вероятность того, что вынимается не один и тот же шар?


РЕШЕНИЕ


 Результаты рассматриваемого опыта молено описать множеством U строк u = u1u2 длины 2, составленных из номеров 1, 2, 3, 4, 5. Число таких строк 52 = 25. Условие о выборе наугад позволяет использовать модель Лапласа для n = 25 равновероятных исходов. Задача сводится к вычислению вероятности Р(А) события А, составленного из всех строк u = u1u2 с различными номерами u1 ≠ u2. Дополнение А` события А состоит из строк u = u1u2 с одинаковыми номерами (u1 = u2).

А` = {11,22,33,44,55}.

По правилу дополнения,

Р(А) = 1 - Р(A`) = 1 - n(A`) /n(U) = 1 - 5/25 = 4/5.

Задача 3.




В урне находятся 5 шаров, отличающихся только номерами 1, 2, 3, 4, 5. Вынимается на угад выбранный шар. Вынутый шар не возвращается в урну. Вновь вынимается наугад выбранный шар. Какова вероятность того, что номера вынимаемых шаров нечетные или в сумме меньше пяти?


РЕШЕНИЕ


 Результаты рассматриваемого опыта молено описать множеством U строк u = u1u2 длины 2, составленных из неравных номеров u1 и u2 из множества {1, 2, 3, 4, 5}. Число таких строк равно 20. Условие о выборе наугад позволяет использовать модель Лапласа для n = 20 равновероятных исходов. Задача сводится к вычислению вероятности Р(А U В) объединения A U В событий А и В, составленных из строк u = u1u2 (u1 ≠ u2), для которых соответственно u1 и u2 нечетные или u1 + u2 ≤ 5:

А = {13,15, 31, 35, 51, 53}, В = {12,13,14, 21, 23, 31, 32, 41},

АВ = {13,31}.

Имеем:

Р(А) = 6/20, Р(В) = 8/20, Р(АВ) = 2/20.

По правилу объединения,

Р(A U В) = Р (А) + Р (В) - Р (АВ) = 6/20 + 8/20 - 2/20 = 3/5.

Задача 4.




Подбрасывается красная и белая игральная кости. Какова наиболее вероятная сумма очков?


РЕШЕНИЕ


 По аналогии с задачей 1 результаты рассматриваемого опыта можно описать множеством U строк u = u1u2 длины 2, составленных из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, и использовать модель Лапласа для n = 36 равновероятных исходов. Задача сводится к вычислению вероятностей Р(As) событий As, составленных из строк u = u1u2 для которых u1 + u2 = s (s = 2, 3,…, 12) :
А2={11}, А6={15,24,33,42,51}, А10={46,55,64},
А3={12,21}, А7={16,25,34,43,52,61} , А11={56,65},
А4={13,22,31}, А8={26,35,44,53,62}, А12={66}.
А5 ={14,23,32,41}, А9={36,45,54,63},
Искомые вероятности содержит следующая таблица:

s

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Р(As)

1/36

2/36

3/36

4/36

5/36

6/36

5/36

4/36

3/36

2/36

1/36

Наиболее вероятно, что сумма числа очков окажется равной 7.

Задача 5. Игра Крэпс




Подбрасывается красная и белая игральная кости. Какова вероятность того, что сумма очков равна:
1) 7 или 11;
2) 2 или 3 или 12;
3) любому другому возможному числу?



РЕШЕНИЕ


 Используем модель задачи 4. Дело сводится в вычислению вероятности событий
В = А7 + А11
П = А2 + А3 + А12
H = А4 + А5 + А6 + А8 + А9 + А10

Применяя правило сложения и таблицу задачи 4, получаем
Р(В) = Р (А7 + А11) = Р (А7) + Р (Ац) = 6/36 + 2/36 = 8/36,
Р(П) = Р ((А2 + А3) + А12) = Р(А2 + А3) + Р (А12) = Р (А2) + Р (А3) + Р (А12) = 1/36 + 2/36 + 1/36 = 4/36,
Р (H) = 3/36 + 4/36 + 5/36 + 5/36 + 4/36 + 3/36 = 6/9.

Замечание. Эта задача имеет отношение к игре крэпс. Событие В описывает выигрыш в этой игре, П — проигрыш, Н — ничью. В случае ничьей кости подбрасываются снова, и игра продолжается до тех пор, пока не повторится сумма очков, полученная при первом подбрасывании, либо не получится сумма 7. В первом случае игрок выигрывает, во втором — проигрывает.

Модель Бернулли

Пример 1.




При рождении n = 2 неидентичных близнецов каждый из них с вероятностью 0.52 оказывается мальчиком и с вероятностью 1 — а = 0.48 — девочкой. Какова вероятность того, что близнецы оказываются одного пола?


РЕШЕНИЕ


 Предположим, что для описания неидентичных близнецов можно использовать модель Бернулли для n = 2 испытаний с вероятностью успеха а = 0.52. В этой модели задача сводится к вычислению вероятности Р(А) события А = У1У2 + Н1Н2, описывающего появление двух мальчиков или двух девочек. Используя правило сложения и формулу успехов и неудач, получаем:

Р(А) = Р(У1У2) + Р (H1H2) = а2 + (1 - а)2= (0.52)2 + (0.48)2 ≈ 0.50.

Пример 2.






Нажимая кнопку К, можно привести в действие устройство Р, если и только если замкнуты одинаковые и независимые блокировки 1 и 2, или 3, или 4. Каждая из этих блокировок с вероятностью а = 10-7 замыкается случайно. Какова вероятность случайной разблокировки системы?


РЕШЕНИЕ


 Используем модель Бернулли для n = 4 испытаний с вероятностью а = 10-7. Задача сводится к вычислению вероятности объединения A U В U С событий А = У1У2, В = У3, С = У4, описывающих замыкание блокировок 1 и 2, 3, 4 соответственно. Используя правило объединения и формулу успехов и неудач, получаем:

Р(В U С) = Р(В) + Р(С) - Р(ВС) = 2а - а2.

Заметим, что

А(В U С) = {1111,1110,1101}, Р (А (B U С)) = а4 + 2а3(1 - а).

Еще раз используя правило объединения, находим

Р (A U В U С) = Р (А) + Р (В U С) - Р (А (В U С)) = а2 + 2а - а2 - а4 - 2а3(1 - а) =

= 2а - 2а3 + а4 < 10-6.

Можно считать, что случайная разблокировка системы практически невозможна.

Пример 3.




На реактивном двигателе вместо одного установлено два воспламенителя 1 и 2. На воспламенителе 1 вместо одного установлено два электрозапала 3 и 4, на воспламенителе 2 — электрозапалы 5 и 6. Каждый из этих элементов системы запуска двигателя независимо от других с вероятностью а = 103 выходит из строя. Какова вероятность запуска двигателя?


РЕШЕНИЕ


 Используем модель Бернулли для n = 6 испытаний с вероятностью успеха а = 10-3. Задача сводится к вычислению вероятности объединения A U В U С U D событий: А = Н1Н3, В = Н1Н4, С = Н2Н5 D = Н2Н6, описывающих рабочее состояние воспламенителей и соответствующих электрозапалов. Последовательно применяя правило объединения, убеждаемся в том, что

Р (A U В U С U D) = S1 - S2 + S3 - S4,

где
S1 = P (A) + P (В) + P (C) + P (D),
S2 = P (AB) + P (AC) + P (AD) + P (ВС) + P (BD) + P (CD),
S3 = P (ABC) + P (ABD) + P (ACD) + P (BCD),
S4 = P (ABCD).

Используя формулу успехов и неудач, получаем:

Р (A U В U С U D) = 4 (1- а)2 - (2(1 - а)3 + 4(1 - а)4) +
+ 4(1 - а)5 - (1 - а)6 = 1 - а2 - 2а3 + а4 + 2а5 - а6 ≈ 1 - 10-6.

Можно считать, что запуск двигателя практически достоверен.

Пример 4.




^ Какова вероятность того, что при 100 подбрасываниях симметричной монеты ровно 50 раз появится герб?


РЕШЕНИЕ


 В модели Бернулли n = 100 испытаний с вероятностью успеха а = 1/2 задача сводится к вычислению вероятности Р(А50) события А50:



Заметим, что при n = 100 и а = 1/2 наиболее вероятным числом успехов будет m = [(n + 1) а] = [101 • 1/2] = [50 + 1/2] = 50.

А. Задача о первом успехе.




^ Какова вероятность того, что в последовательности n одинаковых и независимых испытаний, каждое из которых с вероятностью а оканчивается успехом и с вероятностью 1 — а — неудачей, первый успех появляется при k-м испытании?


РЕШЕНИЕ


 В модели Бернулли для n испытаний с вероятностью успеха а задача сводится к вычислению вероятности события



описывающего успех при k-м и неудачи при всех предыдущих испытаниях (1 ≤ k n). По формуле успехов и неудач





Пример 1.
Симметричная монета подбрасывается n = 10 раз. Какова вероятность того, что первый герб появится при k = 10-м подбрасывании?

Ответ: (1 - 1/2)10-1 • 1/2 ≈ 0.001.



Пример 2.
В одинаковых и независимых условиях производятся п = 3 выстрела, при каждом из которых с вероятностью а = 0.8 поражается цель, а с вероятностью 1 — а = 0.2 — нет. Какова вероятность того, что цель поражается впервые при к = 3-м выстреле?

Ответ: 0.22 • 0.8 = 0.032.



Пример 3.
Из 10000 изделий, среди которых 10 негодных, n = 100 раз наугад выбирается одно (и каждый раз возвращается на место). Какова вероятность того, что первое негодное
изделие появится при к = 10-м выборе?

Ответ: (1 - 0.001)9 • 0.001 < 0.001.

В. Задача о хотя бы одном успехе.




Какова вероятность того, что оканчивается успехом хотя бы одно из п одинаковых и независимых испытаний, каждое из которых с вероятностью а оканчивается успехом, а с вероятностью 1 — а неудачей?


РЕШЕНИЕ


 В модели Бернулли для n испытаний с вероятностью успеха а задача сводится к вычислению вероятности Р(А) события A, составленного из всех строк u, в которых есть хотя бы одна единица. Дополнение A` события А состоит из единственной строки u = 0…0. Поэтому

Р(А`) =р(0…0) = а0(1-а)n-0 = аn.

По правилу дополнения получаем

P(A) = 1 - (1 - a)n.



Пример 1.
Симметричная монета подбрасывается n = 10 раз. Какова вероятность того, что хотя бы один раз она падает гербом вверх?

Ответ: 1 - (1/2)10 ≈ 0.999.



Пример 2.
В одинаковых и независимых условиях производятся п = 3 выстрела, при каждом из которых с вероятностью а = 0.8 поражается цель, а с вероятностью 1 — а = 0.2 — нет. Какова вероятность того, что цель поражается хотя бы один
раз?

Ответ: 1 - (0.2)3 ≈ 0.992.



Пример 3.
Из 10000 изделий, среди которых 10 негодных, n = 100 раз наугад выбирается одно (и каждый раз возвращается на место). Какова вероятность того, что среди выбираемых изделий хотя бы один раз оказывается негодное?

Ответ: 1 - (1 - 0.001)100 ≈ 0.1.

С. Задача о числе испытаний.




Каким должно быть число п одинаковых и независимых испытаний, каждое из которых с вероятностью а оканчивается успехом, а с вероятностью 1 — а — неудачей, чтобы вероятность хотя бы одному испытанию окончиться успехом была бы больше 1 — а?


РЕШЕНИЕ


 Используя решение задачи о хотя бы одном успехе, находим, что требуемое в условии задачи неравенство Р(А) ≥ 1 - α эквивалентно неравенству (1—а)n ≤ α. Если 0 < а < 1 и 0 < α < 1, то это неравенство эквивалентно неравенству





Пример 1.
Какое число п раз нужно подбросить cимметричную монету, чтобы вероятность хотя бы одного появления герба была больше 1 — а = 0.99?

^ Ответ:



Замечание. Этот результат молено истолковать так: если подбрасывать симметричную монету 7 раз, то практически достоверно, что хотя бы один раз она упадет гербом вверх.



Пример 2.
При каждом выстреле с вероятностью а = 0.7 поражается цель, а с вероятностью 1 — а = 0.3 — нет. Какое число п выстрелов нужно произвести, чтобы вероятность хотя бы одного поражения цели была больше 1 — а = 0.99?

Ответ:





Пример 3.
Какое число п раз наугад выбрать одно из 10000 изделий, среди которых 10 негодных (каждый раз возвращая его на место), чтобы вероятность хотя бы один раз выбрать негодное изделие было больше 1 — а = 0.999 ?
Ответ:



Замечание. Этот результат объясняется чрезвычайной строгостью 1 - α = 0.999 контроля, а также малостью доли а = 0.001 негодных изделий. Для того, чтобы обеспечить такой строгий контроль, нужно проверить примерно 3/4 всех изделий.

D. Задача о данном числе успехов.




Какова вероятность того, что оканчиваются успехом ровно m из n одинаковых и независимых испытаний, каждое из которых с вероятностью а оказывается успехом, а с вероятностью 1 — а — неудачей?


РЕШЕНИЕ


 В модели Бернулли для n испытаний с вероятностью успеха а задача сводится к вычислению вероятности Р(Аm) события Аm = {u : s(u) = m}, составленного из всех строк u = u1 … un, в которых ровно m единиц. Число таких строк равно . Элементарная вероятность р(u) каждой такой строки одна и та же:

р(u) =аm(1-а)m-n.

Поэтому



.

Пример 1.
Вычислительная машина производит п = 106 одинаковых и независимых операций, в каждой из которых с вероятностью а = 0.001 происходит ошибка, а с вероятностью 1 — а= 0.999 — нет. Какова вероятность того, что все n = 106 операций производятся машиной без ошибок?

Ответ: P(A0) = (1 - a)n = (1 - 0.001)1000000.
Замечание. Неравенство Бернулли позволяет оценить степень малости этой вероятности. Если 0 < а < 1, то



В частности, если а = 10-3 и n = 106, то



Пример 2.
Елочная гирлянда состоит из п = 10 последовательно соединенных лампочек, каждая из которых с вероятностью а = 0.01 перегорает, а с вероятностью 1 — а = 0.99 — нет. Какова вероятность того, что ни одна лампочка в гирлянде не перегорает?

Ответ: P(A0) = (1-a)n = (1-10-2)10 ≈ 1-10*10-2 = 0.9.

Замечание. Это число оценивает надежность гирлянды лампочек.



Пример 3.
Имеются две розовые урны, в каждой из которых находятся красный и белый шары. Из каждой урны вынимается наугад выбранный шар. Какова вероятность того, что среди них
к = 0,1,2 красных?

РЕШЕНИЕ

Условие о выборе наугад позволяет использовать модель Бернулли для n = 2 испытаний с вероятностью успеха а = 1/2. Задача сводится к вычислению вероятностей событий А0, А1, А2.



Замечание. Задача о розовых урнах имеет отношение к генетике.



Пример 4.
Каково наиболее вероятное число успехов для одинаковых и независимых испытаний, каждое из которых оканчивается с вероятностью а успехом, а с вероятностью 1 — а — неудачей?

РЕШЕНИЕ

В модели Бернулли для n испытаний с вероятностью успеха а задача сводится к выяснению того, какое из чисел Р (Аm) наибольшее (m = 0,1,…, n). Будем предполагать, что 0 < а < 1. Как нетрудно проверить, использовав решение о данном числе успехов и свойства биномиальных коэффициентов,



Поэтому

Р(Am-1) > Р(Аm), если m > (n + 1) а,
Р(Am-1) = Р(Аm), если m = (n + 1) а,
Р(Am-1) < Р(Аm), если m < (n + 1) а.

Следовательно, наиболее вероятное число успехов m равно целой части числа (n + 1) а: m = [(n + 1) а].
Замечание. Если число (n + 1)а целое, то наиболее вероятные числа успехов m = (n + 1) а и m - 1 = (n + 1)а - 1. Например, если n = 3 и а = 1/2, то

P(A0) = 1/8, P(A1) = 3/8, P(A2) = 3/8, P(A3) = 1/8.

E. Задача о большом числе успехов.




Какова вероятность того, что оканчиваются успехом больше, чем m из n независимых одинаковых испытаний, каждое из которых оканчивается с вероятностью а успехом, а с вероятностью 1 — а — неудачей?


РЕШЕНИЕ


 В модели Бернулли для n испытаний с вероятностью успеха a задача сводится к вычислению вероятности Р(А) суммы А = Аm + … + Аn (0 ≤ m ≤ n) попарно непересекающихся событий Аm,…,Аn. Используя правило сложения и решение о данном числе успехов, получаем



Замечание. При большом числе слагаемых использовать полученное равенство трудно. Если m ≥ nа, то можно оценить найденную сумму следующим образом. Будем предполагать, что 0 < а < 1.
Как уже отмечалось,



Если (n+1)а ≤ m + 1 ≤ l, то q(l — 1) ≥ q(l) и поэтому q = q (m + 1) ≥ q(l). Следовательно,



Таким образом,

Р (Al) ≤ Р(Аm)ql-m (m ≤ l ≤ n).

Суммируя эти равенства, получаем:



Заметим, что



Используя известное равенство для суммы геометрической прогрессии, находим:



Следовательно,





Пример 1.
Производится залп n = 12 одинаковых и независимых ракет, каждая из которых с вероятностью a = 1/3 поражает цель, a с вероятностью 1 – a = 2/3 – нет. Цель уничтожается, если ее поражает больше m = 8 ракет. Какова вероятность уничтожения цели?

РЕШЕНИЕ
Используя решение задачи о большом числе успехов и полученную оценку, находим, что искомая вероятность



Из-за малой вероятности поражения и большого количества ракет, необходимых для ее уничтожения, цель практически не уничтожается.



Пример 2.
Космическая частица, попадая в данную область пространства, порождает лавину n = 600 одинаковых и независимых частиц, каждая из которых с вероятностью a = 1/2 регистрируется одним из счетчиков, а с вероятностью 1- a = 1/2 – нет. Какова вероятность того, что регистрируется больше, чем 500 частиц?

РЕШЕНИЕ
Используя решение задачи о большом числе успехов и полученную оценку, находим, что искомая вероятность



Регистрация счетчиками такого большого числа частиц в данных условиях практически невозможна.



Пример 3.
Что более вероятно получить:
1) хотя бы 1 раз 6 очков, подбрасывая кость 6 раз;
2) хотя бы 2 раза 6 очков, подбрасывая кость 12 раз;
3) хотя бы 3 раза 6 очков, подбрасывая кость 18 раз?

РЕШЕНИЕ
Используем формулу Бернулли для n = 6, 12, 18 испытаний с вероятностью успеха a = 1/6. Задача сводится к вычислению вероятностей событий Bmn = Am+…+An, описывающих появление больше m = 1, 2, 3 успехов соответственно:



Произведя вычисления, получаем:
1) P(B1,6) = 1 – (5/6)6 ≈ 0.665
2) P(B2,12) = (1 – 5/6)12 - 12*1/6 (5/6)11 ≈ 0.619
3) P(B3,18) = (1 – 5/6)18 - 18*1/6 (5/6)17 - 153*(1/6)2(5/6)16 ≈ 0.597

Простые задачи на условную вероятность

Задача 1




Игральная кость подбрасывается два раза. Известно, что сумма очков равна 10. Какова вероятность при этом условии того, что один раз появляется 6 очков ?


РЕШЕНИЕ


Используем модель задачи 1. Тогда данная задача сводится к вычислению условной вероятности PB(A) события A = {46, 64} при условии B = {46, 55, 64}. По правилу деления

PB(A) = P(AB) / P(B) = P({46,64})/P({46,55,64}) = (2/36) / (3/36) = 2/3.

Задача 2.




В урне находятся 5 шаров, отличающихся только номерами 1, 2, 3, 4, 5. вынимается наугад выбранный шар и отмечается его номер. Вынутый шар возвращается в урну. Известно, что первый раз выбирается шар 1. Какова вероятность при этом условии того, что второй раз выбирается шар 2?


РЕШЕНИЕ


Все дело сводится к вычислению условной вероятности PB(A) события A = {12, 22, 32, 42, 52} при условии B = {11, 12, 13, 14, 15}. По правилу деления,

PB(A) = P(AB) / P(B) = P({12})/P({11,12,13,14,15}) = (1/5 * 1/5) / 1/5 = 1/5.

Задача 3




В урне находятся 5 шаров, отличающихся только номерами 1, 2, 3, 4, 5. вынимается наугад выбранный шар и отмечается его номер. Вынутый шар не возвращается в урну. Известно, что первый раз выбирается шар 1. Какова вероятность при этом условии того, что второй раз выбирается шар 2?


РЕШЕНИЕ


Все дело сводится к вычислению условной вероятности PB(A) события A = {22, 32, 42, 52} при условии B = {11, 12, 13, 14, 15}. По правилу деления,

PB(A) = P(AB) / P(B) = P({12})/P({11,12,13,14,15}) = (1/5*1/4) / 1/5 = 1/4

Задача 4




Симметричная монета подбрасывается n = 10 раз. Известно, что при к = 3-м подбрасывании появляется герб. Какова вероятность при этом условии того, что этот герб первый?


РЕШЕНИЕ


В модели Бернулли для n = 10 испытаний с вероятностью успеха а = 1/2 задача сводится к вычислению условной вероятности PB(A) события А = Н1Н2У3 при условии В = У3. Тогда

РB(А) = Р (АВ) /Р (В) = Р(Н1Н2У3)/Р(У3)= (1/2*1/2*1/2) / 1/2 = 1/4

^ Формула полной вероятности

Задача о полной вероятности





Известны:
1) вероятности Р (Bi) = βi нескольких исключающих друг друга условий Вi, одно из которых с достоверностью выполняется;
2) условные вероятности РBi (А) = αi события А при условии, что выполняется Вi.
Какова вероятность Р (А) события А ?



РЕШЕНИЕ


Рассмотрим конечную вероятностную модель с множеством исходов U = {11,…,i1,…, n1, 10,…, i0,…, n0}, составленном из n строк 11,…, i1,…, n1, n строк 10,…, i0,…, n0, и элементарной вероятностью р со значениями:

p(i1) = βiαi p(i0) = βi(1-αi) (i = 1,…,n)

В этой модели каждое условие Вi = {i1, i0} (i = 1,…, n) составлено из двух строк i1 и i0, а событие А = {11,…, i1,…, n1} — из строк 11,…, i1,…, n1. Используя свойства вероятностей βi и αi, нетрудно проверить, что в этой модели

P(Bi) = βi PBi(A) = αi (i = 1,…,n)

Решение задачи дает
^ Формула полной вероятности:


Пример 1.





Имеются красная, черная и белая урны с черными и белыми шарами. В красной урне a1 = 1 черный и а2 = 2 белых шара, в черной — b1 = 2 черных и b2 = 3 белых, в белой — c1 = 3 черных и с2 = 4 белых. Из красной урны наугад выбирается шар. Если этот шар черный, то следующий шар также наугад выбирается из черной урны. Если шар, выбранный из красной урны, белый, то следующий шар наугад выбирается из белой урны. Какова вероятность того, что оба выбирающиеся шара имеют одинаковый цвет?



РЕШЕНИЕ


Условимся описывать:
строкой 11: выбор черного шара из красной урны и черного шара из черной урны;
строкой 12: выбор черного шара из красной урны и белого шара из черной урны;
строкой 21: выбор белого шара из красной урны и черного шара из белой урны;
строкой 22: выбор белого шара из красной урны и белого шара из белой урны.

Множество строк U = {11,12,21,22} описывает возможные результаты рассматриваемого опыта.
Условия В1 = {11,12}, B2 = {21, 22} описывают соответственно выбор черного и белого шаров из красной урны. Так как выбор производится наугад, то



Аналогично, вследствие выбора наугад шаров из черной и белой урн, условные вероятности события А = {11,22}, описывающего выбор двух черных или двух белых шаров, равны соответственно:



Из правила умножения вытекает, что элементарная вероятность р, описывающая реализуемость возможных результатов рассматриваемого опыта, имеет значения:



В вероятностной модели, определяемой такими множеством исходов U и элементарной вероятностью р, задача сводится к вычислению вероятности Р(А) события А = {11,21}. По формуле полной вероятности:



^ Краткое решение. Задача сводится к задаче о полной вероятности с вероятностями условий β1 = 1/3, β2 = 2/3 и условными вероятностями α1 = 2/5, α2 = 4/7. По формуле полной вероятности:


Пример 2





По данным переписи 1951 года, в Англии и Уэльсе среди отцов, имеющих сыновей, оказалось 13% темноглазых и 87% светлоглазых. У темноглазых отцов оказалось 39% темноглазых и 61% светлоглазых сыновей. У светлоглазых отцов оказалось 10% темноглазых и 90% светлоглазых сыновей. Какова вероятность того, что наугад выбранные среди этого населения отец и сын имеют глаза одинакового цвета?



РЕШЕНИЕ


Задача сводится к задаче о полной вероятности с вероятностями условий β1 = 0,13, β2 = 0,87 и условными вероятностями α1 = 0,39, α2 = 0,90. Искомая вероятность равна β1α1 + β2 α2 ≈ 0.78.

Пример 3





Статистика показывает, что среди двоен оказывается 28% идентичных и 72% неидентичных близнецов. Среди идентичных близнецов 100% одного пола, 0% разного пола. Среди неидентичных близнецов 50% одного пола, 50% разного пола. Какова вероятность того, что наугад выбранные среди двоен близнецы имеют одинаковый пол?



РЕШЕНИЕ


Задача сводится к задаче о полной вероятности с вероятностями условий β1 = 0,28, β2 = 0,72 и условными вероятностями α1 = 1, α2 = 0,50. Искомая вероятность равна β1α1 + β2 α2 ≈ 0.64.

Пример 4





Имеются красная, черная и белая урны с черными и белыми шарами. В красной урне a1 = 1 черный и а2 = 2 белых шара, в черной — b1 = 2 черных и b2 = 3 белых, в белой — c1 = 3 черных и с2 = 4 белых. Из красной урны наугад выбирается шар. Если этот шар черный, то следующий шар также наугад выбирается из черной урны. Если шар, выбранный из красной урны, белый, то следующий шар наугад выбирается из белой урны. Какова вероятность того, что второй из выбирающихся шаров черный?



РЕШЕНИЕ


Задача сводится к задаче о полной вероятности с вероятностями условий β1 = 1/3, β2 = 2/3 и условными вероятностями α1 = 2/5, α2 = 3/7. Искомая вероятность равна β1α1 + β2 α2 ≈ 0.42.

Пример 5





Среди помещенных в Т-образный лабиринта голодных крыс 50% бегут в левый конец и 50% в правый. Среди крыс, побывавших в левом конце с пищей и вновь помещенных в лабиринт, (50 + 100 *ε)% бегут в левый конец и (50 - 100 *ε)% в правый. Среди крыс, побывавших в правом конце без пищи и вновь помещенных в лабиринт, 50% бегут в левый конец и 50% в правый. Какова вероятность того, что вновь помещенная крыса побежит в левый конец?



РЕШЕНИЕ


Задача сводится к задаче о полной вероятности с вероятностями условий β1 = 0,5, β2 = 0,5 и условными вероятностями α1 = 0,5+ε, α2 = 0,5 (0≤ε≤0,5). Искомая вероятность равна β1α1 + β2 α2 = 0.5(1+ε).

Замечание. Число е выражает эффективность рассматриваемого процесса обучения крысы и определяется экспериментально. Например, если ε = 0.05, то вероятность того, что повторно помещенная в лабиринт крыса побежит к пище, равна 0.525.

Пример 6





В самоанском письменном тексте 67% гласных и 33% согласных букв. Среди букв, следующих непосредственно за гласной, 49% гласных и 51% согласных. Среди букв, следующих непосредственно за согласной, 100% гласных и 0% согласных. Какова вероятность того, что за наугад выбранной буквой самоанского текста непосредственно следует гласная буква?



РЕШЕНИЕ


Задача сводится к задаче о полной вероятности с вероятностями условий β1 = 0,67, β2 = 0,33 и условными вероятностями α1 = 0,49, α2 = 1. Искомая вероятность равна β1α1 + β2 α2 ≈ 0.66.

Пример 7




По линии связи посылаются сигналы 1,0 с вероятностями р1 = 0.6, р0 — 0.4. Если посылается сигнал 1, то с вероятностями r11 = 0.9, r10 = 0.1 принимаются сигналы 1, 0. Если посылается сигнал 0, то с вероятностями r01 = 0.3, r00 = 0.7 принимаются сигналы 1, 0. Какова вероятность того, что принимается сигнал 1?


РЕШЕНИЕ


Задача сводится к задаче о полной вероятности с вероятностями условий β1 = р1, β2 = р0 и условными вероятностями α1 = r11, α2 = r01. Искомая вероятность равна β1α1 + β2 α2 = 0.66.

Пример 8




По линии связи посылаются сигналы 1,0 с вероятностями р1 = 0.6, р0 — 0.4. Если посылается сигнал 1, то с вероятностями r11 = 0.9, r10 = 0.1 принимаются сигналы 1, 0. Если посылается сигнал 0, то с вероятностями r01 = 0.3, r00 = 0.7 принимаются сигналы 1, 0. Какова вероятность того, что принимается сигнал 1?


РЕШЕНИЕ


Задача сводится к задаче о полной вероятности с вероятностями условий β1 = р1, β2 = р0 и условными вероятностями α1 = r10, α2 = r00. Искомая вероятность равна β1α1 + β2 α2 = 0.34.

Пример 9




По линии связи с вероятностью pi посылается сигнал i (i = 0, 1,…, n — 1). Если посылается сигнал i, то с вероятностью rij принимается сигнал j (j = 0, 1,…, n — 1). Какова вероятность того, что принимается сигнал j?


РЕШЕНИЕ


Задача сводится к задаче о полной вероятности с вероятностями условий βi = pi и условными вероятностями αi = rij. Искомая вероятность равна


^ Формула Байеса

Задача о вероятностях гипотез




Известны:
1) вероятности Р (Bi) = βi возможных исключающих друг друга предположений Вi;
2) условные вероятности РBi (A) = αi события А при условии, что верно предположение Вi.
Какова условная вероятность РA ( Bi ) того, что верно предположение Bi при условии, что реализуется событие А?



РЕШЕНИЕ


Пусть события B1, B2,… Bn образуют полную группу событий. Тогда условная вероятность события Bk (k=1,…,n) при условии, что событие A произошло, задается формулой Байеса:

^ Формула полной вероятности:


Пример 1.




Имеются красная, черная и белая урны с черными и белыми шарами. В красной урне a1 = 1 черный и а0 = 2 белых шара, в черной — b1 = 2 черных и b0 = 3 белых, в белой — c1 = 3 черных и с0 = 4 белых. Из красной урны наугад выбирается шар. Если этот шар черный, то следующий шар также наугад выбирается из черной урны. Если шар, выбранный из красной урны, белый, то следующий шар наугад выбирается из белой урны. Какова условная вероятность того, что первый шар черный при условии, что последний шар черный?


РЕШЕНИЕ


Задача сводится к вычислению условной вероятности РB1 (А) события В1 = {11,10} при условии А = {11,01}. По формуле Байеса

^ Формула полной вероятности:


Пример 2.




Среди помещенных в Т-образный лабиринта голодных крыс 50% бегут в левый конец и 50% в правый. Среди крыс, побывавших в левом конце с пищей и вновь помещенных в лабиринт, (50 + 100 - ε)% бегут в левый конец и (50 - 100 • ε)% в правый. Среди крыс, побывавших в правом конце без пищи и вновь помещенных в лабиринт, 50% бегут в левый конец и 50% в правый. Какова условная вероятность того, что крыса бегала к пище в первый раз при условии, что она побежала к пище во второй раз?


РЕШЕНИЕ


По формуле Байеса



Например, если ε = 0.05, то искомая вероятность приблизительно 0.524.

Пример 3




В самоанском письменном тексте 67% гласных и 33% согласных букв. Среди букв, следующих непосредственно за гласной, 49% гласных и 51% согласных. Среди букв, следующих непосредственно за согласной, 100% гласных и 0% согласных. Какова условная вероятность того, что выбираемая буква оказалась согласной при условии, что непосредственно следующая за ней буква гласная?


РЕШЕНИЕ


По формуле Байеса


Пример 4




По линии связи посылаются сигналы 1,0 с вероятностями р1 = 0.6, р0 — 0.4. Если посылается сигнал 1, то с вероятностями r11 = 0.9, r10 = 0.1 принимаются сигналы 1, 0. Если посылается сигнал 0, то с вероятностями r01 = 0.3, r00 = 0.7 принимаются сигналы 1, 0. Какова условная вероятность того, что посылается сигнал 1 при условии, что принимается сигнал 1?


РЕШЕНИЕ


По формуле Байеса


Пример 5




Имеются пять урн следующего состава:
2 урны (состава B1) по 2 белых и 3 черных шара,
2 урны (состава B2) по 1 белому и 4 черных шара,
1 урна (состава B3 ) — 4 белых и 1 черный шар.
Из одной наудачу выбранной урны взят шар. Он оказался белым (событие A). Чему равна после опыта вероятность (апостериорная вероятность) того, что шар вынут из урны третьего состава?



РЕШЕНИЕ


Согласно предположению

P(B1)=2/5, P(B2)=2/5, P(B3)=1/5;

РB1(А)=2/5, РB2(А)=1/5, РB3(А)=4/5.

Согласно формуле Байеса имеем:


Независимость и зависимость

Пример 1.




По данным переписи 1951 года, в Англии и Уэльсе среди отцов, имеющих сыновей, оказалось 13% темноглазых и 87% светлоглазых. У темноглазых отцов оказалось 39% темноглазых и 61% светлоглазых сыновей. У светлоглазых отцов оказалось 10% темноглазых и 90% светлоглазых сыновей. Какова зависимость между цветом глаз отца и сына?


РЕШЕНИЕ


Рассмотрим события A1 и B1, A2 и B2, описывающие соответственно темный цвет глаз у сыновей и отцов.
Из условий задачи следует, что

Р(B1) = 0.13, Р(B2) = 0.87, РB1(A1) = 0.39,РB1(A2) = 0.61, РB2(A1) = 0.1, РB2(A2)= 0.9.

По правилу умножения и формуле полной вероятности получаем:

Р(A1B1) = 0.13*0.39≈0.05, Р(A1) = 0.13*0.39+0.87*0.10≈0.14,

Следовательно,



Так как A2 и B2 дополнительны событиям A1 и B1, то

-K (A1, B2 ) = -K (A2, B1 ) = K (A2, B2 ) = K (A1, B1 ).

Таким образом, в рассматриваемой модели между цветом глаз отца и сына существует зависимость, оцениваемая коэффициентом корреляции с абсолютной величиной примерно 0.30. Для одинакового цвета этот коэффициент положителен, а для разного — отрицателен.

Пример 2




Среди помещенных в Т-образный лабиринта голодных крыс 50% бегут в левый конец и 50% в правый. Среди крыс, побывавших в левом конце с пищей и вновь помещенных в лабиринт, (50 + 100 - ε)% бегут в левый конец и (50 - 100 • ε)% в правый. Среди крыс, побывавших в правом конце без пищи и вновь помещенных в лабиринт, 50% бегут в левый конец и 50% в правый. Какова зависимость между получением крысой пищи и ее поведением при повторном помещении в лабиринт?


РЕШЕНИЕ


Cобытия А и В, описывающие соответственно то, что крыса побывала в левом конце лабиринта при первом ее помещении туда и при втором.
Из условий задачи следует, что

Р(B) = 1/2, Р(B`) = 1/2, РB(A) = 1/2=+ε, РB`(A) = 1/2.

По правилу умножения и формуле полной вероятности получаем:

Р(AB) = 1/2 (1/2 + ε), Р(A) = 1/2 (1/2 + ε).

Следовательно,



Если ε = 0, то К (А, В) = 0 и события А и В независимы. Если ε ≠ 0, то К (А, В) ≠ 0 и события А и В зависимы. В частности, если ε = 1/2, то


Пример 3.




По линии связи посылаются сигналы 1,0 с вероятностями р1 = 0.6, р0 — 0.4. Если посылается сигнал 1, то с вероятностями r11 = 0.9, r10 = 0.1 принимаются сигналы 1, 0. Если посылается сигнал 0, то с вероятностями r01 = 0.3, r00 = 0.7 принимаются сигналы 1, 0. Какова корреляция между посланным и принятым сигналами?


РЕШЕНИЕ


Рассмотрим события А1 и В1, А0 и B0, описывающие соответственно принятый и посланный сигнал 1 и принятый и посланный сигнал 0. Из условия задачи следует, что

Р(B1) = p1= 0.6, Р(B0) = p0=0.4

РB1(A1) = r11= 0.9, РB0(A1) = r01=0.3

По правилу умножения и формуле полной вероятности получаем:

Р(A1B1) = p1r11=0.6 * 0.9=0.54

Р(A1) = p1r11+p0r01= q1=0.66

Следовательно,



Так как события A0 и B0 дополнительны событиям А1 и B1, то

-K (A0, B0 ) = -K (A1, B0 ) = K (A0, B0 ) = K (A1, B1 ).

Замечание. Если r11 = r01 = 1/2, то q1 = q0 = 1/2, K(A1, В1) = 0 и события A1 и B1, А0 и B1, A1 и B0, А0 и B0 независимы. В этом случае можно считать, что посылаемый и принимаемый сигналы независимы. Если r11 = 1, r01 = 0, то q1 = p1, q0 = p0, K (A1, B1 ) = 1 и в этом случае корреляция наибольшая.

Пример 4




Проверяется эффективность нового медицинского препарата. Из имеющихся 60 зараженных животных 30 вводится и 30 не вводится этот препарат. Среди животных, которым был введен препарат, 29 выздоравливают и 1 нет. Среди животных, которым не был введен препарат, 26 выздоравливают и 4 нет. Какова корреляция между введением препарата и выздоровлением ?


РЕШЕНИЕ


В данной модели, аналогичной рассматривавшимся в предыдущих примерах, дело сводится к вычислению коэффициента корреляции между событиями А и В, описывающими соответственно выздоровление и применение препарата. Из условий задачи следует, что

Р(B) = 1/2, Р(B`) = 1/2, РB(A) = 29/30, РB`(A) = 26/30.

По правилу умножения и формуле полной вероятности получаем:

Р(AB) = 1/2 (29/30)=29.60, Р(A) = 55/60.

Следовательно,


Пример 5




В продукции завода брак вследствие дефекта А составляет 6.1%, а вследствие дефекта В составляет 2.8%. Общий брак по одному из этих дефектов — 5.8% всей продукции завода. Какова корреляция между дефектами А и В?


РЕШЕНИЕ


Решение сводится к вычислению коэффициента корреляции между событиями А и В, описывающими соответствующие дефекты. Из условий задачи следует, что

Р(A) = 0.061, Р(B) = 0.028, Р(B ∪ A) = 0.058.

Используя правило объединения, находим:

Р(AB) = P(A) + Р(B) - Р(B ∪A) = 0.030.

Следовательно,


Пример 6




Статистика показывает, что среди двоен 32% оба близнеца мальчики и 28% — девочки. Какова корреляция пола близнецов?


РЕШЕНИЕ


Решение сводится к вычислению коэффициента корреляции между событиями А и В, описывающими мужской пол одного и другого близнецов. Из условий задачи следует, что

Р(AB) = 0.32, Р(A’B') = 0.28.

Используя правило сложения и дополнения, находим:

Р(A’B+AB’) = P(A’B) + Р(AB’) = P(B) - P(AB) + P(B’) - P(A’B') = 1 - 0.32 - 0.28 = 0.4.

Естественно считать, что P(A’B) = P(AB’) = 0.20. Тогда

Р(A) = P(AB) + Р(AB’) = 0.52,

Р(B) = P(AB) + Р(A’B) = 0.52.

Следовательно,



Кроме того,

-K (A’, B ) = -K (A, B’ ) = K (A’, B’ ) = K (A, B ).

Задача де Мере




^ Сколько раз нужно подбрасывать 2 игральные кости, чтобы вероятность хотя бы один раз получить 2 шестерки была больше половины?


РЕШЕНИЕ


Предположим, что кости разноцветные: красная и белая.

Результаты одного из подбрасывания такой пары костей можно описать множеством всех пар u1u2, составленных из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Первое число u1 описывает число очков на красной кости, а второе число u2 — на белой. Результаты m последовательных подбрасываний можно описать множеством U всех строк U = {u11u21,u12u22,…,u1mu2m} длины m, составленных из пар чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Первое число i-й пары ui1 описывает число очков на красной кости при i-м подбрасывании, а второе число ui2 — на белой (i = 1,…, m). По правилу умножения таких строк 36m.

Симметричность игральных костей позволяет считать все  результаты равновозможными. Поэтому для описания  рассматриваемого опыта молено использовать модель Лапласа для 36m  равновероятных исходов.

Задача сводится к вычислению вероятности Р (А) события А, составленного из всех строк и, в которых есть хотя бы одна пара 66. Это событие описывает появление хотя бы при одном  подбрасывании двойной шестерки: 6 очков на красной кости и 6 — на белой.

Проще вычислить сначала вероятность дополнительного  события А’, составленного из всех строк u, в которых нет ни одной
пары 66. По правилу умножения таких строк 35m. Следовательно,

P(A’)=n(A’)/n(U) = 35m/36m=(35/36)m.

По правилу дополнения отсюда вытекает, что

Р(А)= 1 - P(A’) = 1 - (35/36)m.

Неравенство Р (А) ≥ 1/2 поэтому будет эквивалентно неравенству (35/36)m ≤ 1/2. В свою очередь это неравенство эквивалентно неравенству

m ≥ log(1/2)/log(35/36) ≈ 24.6.

Таким образом, для того, чтобы вероятность появления  двойной шестерки была больше половины, нужно подбрасывать кости самое меньшее 25 раз.

Замечание. Задача де Мере является одной из первых задач, с которыми связано зарождение современной теории  вероятностей. В середине XVII века любивший азартные игры  французский дворянин де Мере предложил эту задачу одному из  выдающихся ученых того времени Паскалю.

Задача де Мере возникла в связи со следующей игрой. Две кости подбрасываются 24 раза. Можно ставить либо на появление хотя бы раз двойной шестерки, либо против этого  результата. Приведенные рассуждения показывают, что в такой игре на двойную шестерку ставить невыгодно: вероятность выигрыша в этом случае равна 1 - (35/36)24= 0.491404 < 1/2.

Сначала де Мере ставил на появление хотя бы одной  шестерки при подбрасывании одной кости 4 раза и, как правило,  выигрывал чаще, чем проигрывал. (Вероятность появления хотя бы одной шестерки при четырех подбрасываниях одной кости равна 1 — (5/6)4 = 671/1296 > 1/2.) Когда это было замечено, де Мере начал ставить на появление хотя бы одной пары шестерок при подбрасывании двух костей 24 раза и, как правило, чаще  проигрывал, чем выигрывал (1- (35/36)24 < 1/2).

Сам де Мере правильно подсчитал, что вероятность появления двойной шестерки при подбрасывании пары костей в 6 раз меньше вероятности появления шестерки при подбрасывании одной кости. Отсюда он сделал неправильный вывод о том, что вероятность q появления шестерки при четырех подбрасываниях одной кости в 6 раз меньше вероятности р появления шестерки при  четырех подбрасываниях одной кости: q = 1/6 - р, а вероятность  двойной шестерки при 6 • 4 = 24 подбрасываниях пары костей равна 6•q = p> 1/2.

Задача о красных шарах




Имеются n шаров, l из которых красные, а nl — белые. Из этих n шаров наугад выбираются m. Какова вероятность того, что среди выбранных m шаров ровно k оказываются красными?


РЕШЕНИЕ


Предположим, что шары занумерованы, причем красные имеют номера 1,…, l, а белые — l + 1,…,n (1 l < n).  Результаты выбора m шаров из этих n шаров можно описать множеством U всех выборок u= {u1,…, um}  (1 ≤ m n) m номеров из n номеров 1,… , n (l ≤ mn). Число таких выборок равно



Условие о выборе шаров наугад позволяет считать все результаты равновозможными. Поэтому для описания рассматриваемого опыта можно использовать модель Лапласа для



равновеоятных исходов.
Задача сводится к вычислению вероятности Р (А) события A, составленного из всех выборок, содержащих ровно k из номеров 1,…, l (0 ≤ k ≤ l). Существуют ровно



выборок k из номеров 1,…, l и ровно



выборок m — k из номеров l + 1,…, n.

По правилу умножения отсюда вытекает, что существует ровно



выборок m из номеров 1,…, n, содержащих ровно k из номеров 1,… ,l.

Следовательно,


Метод меченных частиц




Имеются n частиц, l из которых отмечены, а n — l — не отмечены. Из этих n частиц наугад выбираются m. Среди них оказывается ровно k отмеченных. При каком числе n частиц это наиболее вероятно?


РЕШЕНИЕ


Решение сводится к решению задачи о красных шарах, играющих роль отмеченных частиц. Нужно найти п = п, при котором вероятность



наибольшая. Для каждого n > m + 1 — k отношение



больше 1, если nk < lm, и меньше 1, если nk > lm. Следовательно, если k > 0, то целая часть n’ = [ml/k] числа ml/k является наиболее правдоподобной оценкой для числа частиц: при n’ = n и данных m, l, k вероятность Р (А) наибольшая.

Статистический контроль




Имеются n = 100 изделий, l = 2 из которых негодные, a n — l = 98 — годные. Из этих n = 100 изделий наугад выбираются m = 10. Какова вероятность того, что среди выбранных m = 10 ровно k = 1 оказываются негодными?


РЕШЕНИЕ


Дело сводится к задаче о красных шарах, которые играют роль негодных изделий. Искомая вероятность равна


Реклама:





Скачать файл (1334 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru