Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции - Основы теории сложных систем - файл 1.rtf


Лекции - Основы теории сложных систем
скачать (43213.4 kb.)

Доступные файлы (1):

1.rtf43214kb.17.11.2011 21:52скачать

содержание
Загрузка...

1.rtf

1   2   3   4
Реклама MarketGid:
Загрузка...
Раздел 4. Математические модели систем управления
4.1. Основные виды математических моделей
Математические модели могут быть:

  1. Линейными;

  2. Нелинейными


В свою очередь каждая из них может быть:

  1. Непрерывной (система дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений);

  2. Дискретной (система разностных уравнений);

  3. Дискретно-непрерывной (сочетание непрерывной и дискретной систем).

В свою очередь каждая из них может быть:

  1. Стационарной;

  2. Нестационарной.

Математическая модель нестационарна, если хотя бы один из параметров системы изменяется с течением времени.

В свою очередь каждая из них может быть:

  1. С сосредоточенными параметрами;

  2. С сосредоточенными и распределёнными параметрами.

1.) Физические параметры системы (например, масса, скорость, потенциал и др.) обычно сосредоточены в точке (так можно считать), коэффициенты дифференциальных уравнений зависят от этих параметров. В результате, математическая модель будет, например, системой дифференциальных уравнений в полных производных ().

2.) Если система содержит одну из подсистем (например, канал связи, трубопровод), параметры которой распределены в пространстве, то математическая модель такой системы будет содержать, например, систему дифференциальных уравнений в частных производных ().

В свою очередь каждая из них может быть:

  1. Детерминированной;

  2. Стохастической или со случайными параметрами (если хотя бы один из параметров или воздействий является случайной функцией или величиной).

и др.
4.1.1 Математические модели в области вещественной переменной (временной области)
4.1.1.1 Дискретные математические модели
4.1.1.1.1 Решетчатые функции

Решетчатая функция (РФ) — функция, существующая в дискретны равноотстоящие друг от друга значения независимой переменной и равная нулю между этими значениями аргумента.
Пример такой функции:

смотри рисунок б) лекции №3.
— РФ,


Функции f(t) соответствует функция , ()

Одной и той же РФ соответствует множество огибающих непрерывных функций (смотри рисунок выше):

— огибающие функции.

Если ввести безразмерное время , то будет соответствовать РФ .
Решетчатую функцию характеризуют её разности и суммы

Разность может быть прямой () и обратной ().







.
Аналогом интеграла непрерывной функции для РФ являются её суммы:

    1. Полная ;

    2. Неполная.


4.1.1.1.2 Разностные уравнения.

Связь между решетчатой функцией и её разностями устанавливают разностные уравнения, например:

Линейное разностное уравнение
(I΄)

Или через дискреты РФ:





(I)
Уравнение (I) — это алгоритм решения разностного уравнения при известных начальных условиях, воздействиях y и f и дискретах искомой РФ x в предшествующие моменты времени.

Коэффициенты уравнения (I) однозначно вычисляются из уравнения (I’).
4.1.1.2 Непрерывные математические модели

Математическая модель системы может быть получена на основе математических моделей подсистем, образующих данную систему.
4.1.1.2.1 Математическая модель системы

Рассмотрим в качестве примера непрерывную стационарную одномерную детерминированную систему с сосредоточенными параметрами

Всего три подсистемы: объект , регулятор и элемент сравнения .

Объект — динамическая система, дифференциальные уравнения которой могут быть записаны следующим образом:

Х — любая линейная или нелинейная функция.

Составим уравнение регулятора:

Регулятор — также динамическая система, при этом с учётом направленности действия уравнение регулятора не будет содержать х:


Примечание. Направленность действия означает то, что объект не оказывает обратного влияния на регулятор, а только через элемент сравнения и главную обратную связь

Составим уравнение элемента сравнения:

Система уравнений , , — это математическая модель рассматриваемой системы.

В общем случае это система нелинейных дифференциальных уравнений.
4.1.1.2.2 Линеаризация математической модели

Если нелинейности системы несущественны, то ими пренебрегают, и считают модель линейной с какой-то степенью приближения.

Линейные модели используют обычно на этапе предварительного проектирования, они удобны для исследования.

Применяя соответствующий метод линеаризации, можно перейти от линейной модели к линеаризованной.

Рассмотрим один из этих методов:

он опирается на гипотезу малости отклонений “Δ”-вариаций переменных х(t), y(t), r(t), f(t), от их значений, от их заданных или фиксированных значений “0” х0(t), y0(t), r0(t), f0(t), , например, в установившемся состоянии.

Рассмотрим уравнение объекта :

Полагая и , решения уравнения можно найти в виде , а уравнения в виде , тогда:





Лекция №6. 26.02.2003
Если X непрерывная и однозначная функция, то её можно разложить в ряд Тейлора в окрестности некоторых точек х0 , r0 , f0 :








.
Пренебрегая членами ряда порядка выше первого (из-за их малости), с учётом частного случая (в установившемся состоянии после переходного режима при , ) после преобразований в операторной форме это уравнение () можно записать в следующем виде:



Здесь , а DO, MO, NO —полиномы от оператора р такие, что:
;

;

, где:

;

;

.
Аналогично могут быть получены линеаризованные уравнения регулятора и устройства сравнения:



Исключая из системы уравнений , , переменные , и опуская индекс вариации Δ, линеаризованная математическая модель системы примет вид:
(II΄)
где:
;

;

,

где a0an, b0bn, c0cn однозначно определяются коэффициентами α, β и γ системы.

Тот же вид, но в развёрнутой форме:



(II)
4.1.2 Математические модели систем управления в комплексной области
4.1.2.1 Преобразование Фурье

Абсолютно интегрируемые непрерывные функции f(t), т.е. функции, удовлетворяющие условию (1), можно представить в виде интеграла Фурье:
(2)

(3)
Это преобразование Фурье или комплексный спектр функции оригинала f(t).

Существуют функции, для которых не выполняется неравенство (1), например: [1(t)], et, eαt, sinαt при α>0, tn при n=1, 2, 3, … и др. Для них используют преобразование Лапласа, являющееся обобщением преобразования Фурье.

4.1.2.2 Преобразование Лапласа непрерывных функций

Рассмотрим f1(t)=f(t)e-ct, c=const такая, что:
(4)
При этом для существования этого интеграла от функции f(t) пришлось потребовать выполнения условия f(t)=0 t<0.

c>c0 (c0 — абсцисса абсолютной сходимости).

Для [1(t)] с0=0

Для et с0

Для eαt с0=-α

Для sinαt с0=0

Тогда получим (5)

Это интеграл Лапласа или формула обращения в преобразовании Лапласа.
(6)

f(t)F(s)
4.1.2.3 Нули и полюсы изображения F(s)

F(s) — дробно рациональная функция.

Корни полиномов R(s) и Q(s) определяют свойства изображения или свойства этой функции.
4.1.2.3.1 Нули изображения F(s)

Представим F(s) в следующем виде:



, а , значит F(s) имеет ноль кратности m в точке .
4.1.2.3.2 Полюса изображения F(s)

Полюса изображения F(s) — это корни полинома знаменателя Q(s).
, где ,
а , т.е. изображение F(s) содержит полюс кратности n при .

На комплексной плоскости s нули обозначают “0”, а полюса “Х”.
4.1.2.4 Дискретное преобразование Лапласа

Данное преобразование применяется для решетчатых функций.
(7)

(7΄)
4.1.2.5 Z-преобразование

Введём новую комплексную переменную z=est, тогда (7) можно представить в следующем виде:

(8)!!!!

s=c+j
Выбрав c>c0 ряд (8) будет сходиться, и решетчатой функции будет соответствовать Z-преобразование. f[i]F(z).

Z-преобразование применяют и к непрерывным функциям. При этом, если для РФ f[i] прямая и обратная задачи однозначны, то для непрерывной функции задача определения оригинала f[i] по его изображению не однозначна.
4.1.2.6 Основные свойства преобразования Лапласа и Z-преобразования


Свойства преобразования Лапласа

Свойства Z-преобразования

1. Свойство линейности:



1. Свойство линейности:



2. Теорема о конечном значении:

Если функция sF(s) является аналитической в правой полуплоскости и на мнимой оси, то



2. ^ Теорема о конечном значении:



3. Теорема о начальном значении:

Если , то

3. Теорема о начальном значении:



4. Теорема сдвига в области вещественной переменной:



t-τ — запаздывание (по оси вправо). t+τ — упреждение (по оси влево).

4. Теорема сдвига в области вещественной переменной:

, где k — целое число, кратное периоду дискретности.

5. Свойство дифференцирования:

Если начальные условия нулевые, то




6. Свойство интегрирования:

при нулевых начальных условиях









7. Теорема свёртки:






Лекция №7. 04.03.2003
8. Задача определения оригинала функции по её изображению:

а) Непрерывные функции

Смотри формулу (5) из пункта № 4.1.2.2.

б) Дискретные математические модели (для решетчатых функций)



Так как F(z) дробно рациональная функция, то проще эту задачу решать так: разделив числитель на знаменатель, F(z) можно разложить в ряд Лорана по убывающим степеням, т.е.



Известно, что

f0, f1, f2, … — дискреты искомой решетчатой функции f[iT].
4.1.2.7 Математические модели в комплексной области
4.1.2.7.1 Дискретные математические модели

Применяя к уравнению (Ⅰ) пункта № 4.1.1.1.2 Z-преобразование, с учётом свойств линейности и теоремы сдвига при нулевых начальных условиях получим:
(I*)
4.1.2.7.2 Непрерывные математические модели

Применяя к уравнению (Ⅱ) пункта № 4.1.1.2.2 преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, с учётом свойств линейности и дифференцирования получим:

(II*)
4.1.3 Математические модели систем управления в пространстве состояний

МПС (Метод Пространств Состояний) применяется для исследования многомерных систем и ориентирован на использование компьютера.

В основу МПС положено понятие многомерного фазового пространства (или пространства состояний), по осям которого откладываются обобщённые фазовые координаты системы (или переменные состояния).

Состояние системы — совокупность минимального количества параметров, полностью определяющих поведение динамической системы.
4.1.3.1 Непрерывные математические модели

Математическая модель системы при этом приводится к стандартному виду (или форме Коши):
(1)
Система уравнений (1) — это уравнение состояния в развёрнутой форме.

Соответствующая системе уравнений (1) структура системы:

В матричной форме систему уравнений (1) можно записать в следующем виде:

(2)

Здесь X, Y — вектора соответственно состояния и управления (смотри выше):

^ A — матрица системы; B — матрица управления.

Уравнению состояния (2) соответствует следующая структура системы:



Система уравнений (1) и уравнение (2) соответствуют случаю, когда в качестве выходных переменных рассматриваются все переменные состояния.

В общем же случае количество выходных переменных зависит от рассматриваемой задачи и определяется линейной комбинацией переменных состояний и входных переменных (управляющих воздействий) .

Поэтому уравнение состояния системы в развёрнутой форме примет следующий вид:
(3)
Количество выходных переменных зависит от решаемой задачи.

Системе уравнений (3) будет соответствовать следующая структура системы:

В матричной форме уравнение состояния системы выглядит так:
(4)

Уравнению состояния (4) соответствует следующая структура системы:


Z(t) — вектор выхода
С — матрица системы; D — матрица управления.

Пример 1.

Записать уравнения состояния в развёрнутой и матричной формах, составить схему (структуру) системы в переменных состояния непрерывной системы, математическая модель которой следующая:
.
Решение.

1. Вводим переменные состояния:
, , …, .
2. Запишем уравнение состояния системы в развёрнутой форме Коши:

3. Запишем уравнение состояния в матричной форме:



4. Составляем структуру системы в переменных состояния:


Пример 2.
Смотри условие примера 1, но .

Решение.

1. Вводим переменные состояния:
, .
2. Запишем уравнение состояния системы в развёрнутой форме Коши:

3. Запишем уравнение состояния в матричной форме:



4. Составляем структуру системы в переменных состояния:


Пример 3.

По структуре системы в переменных состояния записать уравнения состояния в развёрнутой и матричной формах.

1.)



2.)



3.)



4.)



Лекция №8. 05.03.2003
4.1.3.1.1 Решение уравнения состояния
(5)
Пусть при t=t0 X(t0)=X0 (начальные условия). Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение уравнения (5) при известных начальных условиях может быть получено в следующем виде:
(6)
где M(t) — фундаментальная или переходная матрица.

Решение уравнения (5) можно записать и в виде ряда Тейлора:
(7)
Производные в формуле (7) можно определить из уравнения (5):






т.е. (8)

Здесь (9)

еAt — МАТРИЦИАНТ.
Можно сказать, что решение неоднородного уравнения состояния имеет вид:
(10)
4.1.3.2 Дискретные математические модели многомерной системы

Рассмотрим многомерный импульсный фильтр:


1 — непрерывная часть системы;

4 — формирователи.

В случае экстраполятора нулевого порядка (Э0П) управляющие сигналы yp(t), действующие на непрерывную часть системы, будут кусочно-постоянными, т.е. yp(t)= yp[iT], iTt ≤ (i+1)T в скалярной форме или Y(t)=Y[iT] при iTt ≤ (i+1)T в векторной.

Рассмотрим уравнение (10) при следующих условиях:

1) t0=iT — начальные условия.

2) (iT, t) — интервал интегрирования.





^ В частности, при t=(i+1)T:

Таким образом:
(11)
Это уравнение состояния многомерной дискретной системы.

Здесь:
(12)

еAT — МАТРИЦИАНТ.

(13) (14)
В развёрнутой форме уравнение состояния примет вид:
 (III)
Пример 4.

Определить уравнение состояния многомерной импульсной системы с Э0П. Математическая модель непрерывной части известна:

1. Составим уравнение состояния непрерывной части системы:

, , тогда




2.



3.

















4.





5.



^ 6. Запишем уравнение состояния:




(III΄)
Лекция №9. 11.03.2003
Раздел 5. Основные характеристики систем
5.1. Передаточная функция
5.1.1 Непрерывные системы

Из выражения (II*) при f(t)=0 следует
(1)
Передаточная функция W(s) — отношение преобразования Лапласа величины на выходе системы X(s) к величине на входе системы Y(s) при нулевых начальных условиях.

Основные свойства передаточной функции:

1) Это дробно-рациональная функция.

2) Коэффициенты полиномов числителя и знаменателя — вещественные числа.

^ 3) Невещественные нули и полюса передаточной функции являются комплексно сопряжёнными.

4) Все полюса передаточной функции устойчивой системы располагаются в левой полуплоскости плоскости S.

Различают несколько видов ПФ:

Рассмотрим непрерывную линейную стационарную систему, математическая модель которой следующая:


















Применяя к этой системе преобразование Лапласа, при нулевых начальных условиях получим:

















ПФ системы в разомкнутом состоянии.

Отключим от элемента сравнения главную обратную единичную связь уравнение вырождается, а уравнение принимает вид:



^ Подставляя в уравнение , получим:



а) — ПФ разомкнутой системы по управляющему воздействию.

б) — ПФ разомкнутой системы по возмущающему воздействию.

ПФ системы в замкнутом состоянии.

Подключим главную обратную единичную связь к элементу сравнения. Рассмотрим систему уравнений . Исключая из этой системы переменные E(s) и R(s), получим:



а) возмущение отсутствует f(t)=0:

ПФ замкнутой системы по управляющему воздействию.

б) управление отсутствует y(t)=0:

ПФ замкнутой системы по возмущающему воздействию.

Исключая из системы уравнений R(s) и X(s), получим:



Если f(t)=0, то — ПФ по ошибке относительно управляющего воздействия.

Если не единственная обратная связь, то смотри методические указания.

^ ПФ астатических систем.

Известно, что



(*)

Условие (*) выполняется, когда , где Y0(0)=const≠0.

Пример.




система будет астатичной, если её ПФ имеет простой/однократный нуль при s=0

т.к. и если , а



Если W(s) (ПФ разомкнутой системы) имеет хотя бы один простой полюс при s=0.
5.2 Переходная функция
Переходная функция h(t) — реакция системы на единичное ступенчатое воздействие.

Эта функция определяет качество регулирования системы.

Основными оценками качества регулирования являются следующие параметры:



^ Пример на странице 29 методических указаний.
h(t) можно определить следующим образом:

1) по ММ системы в области вещественной переменной t (численно /стр. 28/).

2) по ММ в области комплексной переменной



Рисунок







, т.к.



5.3 Импульсная переходная функция (функция веса)
Так же, как и h(t), ИПФ k(t) является основной характеристикой системы во временной области. Это реакция системы на δ-функцию.
, !!!

так как .
Лекция №10. 12.03.2003
Основные свойства импульсной переходной функции:
1) ИПФ и ПФ являются преобразованием Лапласа друг от друга. Задание одной из них достаточно для задания другой.

2) — условие устойчивости.

^ 3) k(t)=0 для любого t<0 — условие физической реализуемости.

4) .

5) Если y(t) непрерывная и ограниченная функция и элементарное управляющее воздействие yi(t) вызывает реакцию , то с учётом суперпозиции:






интеграл Дюамеля.

определяет реакцию системы по элементарному воздействию (известной импульсной функции.)
1   2   3   4



Скачать файл (43213.4 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru