Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Лекции - Основы теории сложных систем - файл 1.rtf


Лекции - Основы теории сложных систем
скачать (43213.4 kb.)

Доступные файлы (1):

1.rtf43214kb.17.11.2011 21:52скачать

содержание
Загрузка...

1.rtf

1   2   3   4
Реклама MarketGid:
Загрузка...


^ 5.4 Дискретная передаточная функция
5.4.1 Дискретная передаточная функция импульсного одномерного фильтра

Пусть известна импульсная переходная функция приведённой непрерывной части КП(t), то есть реакцию на единичную импульсную решетчатую функцию.

^ Определим реакцию импульсного фильтра на дискретную последовательность (решетчатую функцию):
U[mT], m=0, 1, …, i — на входе. x(t) — ?

Дискрета

Реакция







U[0T]

U[1T]



U[mT]

U[0T]КП(t)

U[T]КП(t-T)



U[mT]КП(t-mT)



элементарные реакции



^ Непрерывная часть сглаживает импульсы, но мы хотим выделить дискреты:
t=iT


^ Применим Z-преобразование:
, тогда с учётом теоремы свёртки получим: X(z)=WП(z)U(z); U(z)=Z{U[i]}.
^ ДПФ импульсного фильтра.

По аналогии с непрерывными системами: (отношение Z-преобразования сигнала на выходе фильтра к Z-преобразованию входного сигнала при нулевых обратных условиях).

Так как , то на практике очень удобна следующая формальная запись: !!!

то есть ДПФ равна Z-преобразованию такой функции оригинала, преобразование Лапласа которой равно W(s).
Пример № 1:
5.4.2 Дискретная передаточная функция импульсной системы с экстраполятором нулевого порядка

Структура системы приведена на Рисунке № !.

Можно показать, что ДПФ такой системы в разомкнутом состоянии (когда убираем главную обратную связь) определяется по следующей формуле:
!!!!
W(s) — передаточная функция непрерывной части системы.

Пример № 2.

Определить ДПФ микропроцессорной (импульсной) системы (Рисунок № !), непрерывная часть которой следующая:


Решение:
1)

2) — раскладываем на простые дроби.

3)


5.4.3 Дискретная передаточная функция многомерной системы

Задачу определения ДПФ для многомерного случая удобно решать Методом Пространств Состояний:

Рассмотрим алгоритм решения этой задачи для простейшего одномерного случая:


(смотри связь между ПФ и дифференциальным уравнением)

Известно, что решение этого дифференциального уравнения первого порядка: x(t0)=x0

При U(t)=U[iT], iT t < (i+1)T интегрируя в пределах (iT, t):


.

t=(i+1)T

.
Применяя к этому выражению Z-преобразование с начальными нулевыми условиями, с учётом теоремы сдвига и свойств линейности:

ММ многомерной системы приведена выше (смотри систему уравнений (III)). Применяя к этой системе Z-преобразование с нулевыми начальными условиями, с учётом свойств линейности получим:

  (III*)
Эта ММ позволяет определить матричную дискретную передаточную функцию , элементы которой рассчитываются по следующим формулам:
(1)

Здесь (2)
Определитель можно получить из определителя (2) путём замены q-столбца следующим столбцом:

5.4.3.1 Пример № 3

По системе линейных разностных уравнений, полученных в примере (III′), определить дискретные передаточные функции от управления y к координатам x1 и x2.



Лекция №11. 18.03.2003
Решение:

1)

2)



3)

4)



5)

5.4.3.2 Численный расчёт дискретных передаточных функций многомерных систем
Если известно уравнение состояния то можно получить уравнение состояния многомерной импульсной системы . При этом матрицы G, , H определяются численно в виде рядов с использованием матриц А и В по приведённым выше формулам.

Реализация алгоритмов определения элементов требует операции раскрытия определителей (смотри Пример № 3). Эту задачу можно решить или классически (по известным методам), или численно. При высоком порядке системы более эффективны численные методы Фадеева, Крылова, Леверрье.

Рассмотрим метод Фадеева:

Во-первых, определитель системы det(z) (2) является характеристическим многочленом матрицы G, следовательно:



^ Необходимо найти коэффициенты этого полинома: .

Алгоритм расчёта коэффициентов по Фадееву:


1 этап:

1 шаг:

2 шаг:

3 шаг:


2 этап:

1 шаг:

2 шаг:

3 шаг:


Предпоследний этап:

1 шаг:

2 шаг:

3 шаг:

Последний этап:

1 шаг:

2 шаг:

3 шаг: (Контроль)


Пример № 4.

Рассмотрим систему второго порядка:

Поиск методом Фадеева:
1) , в котором неизвестны a1 и a0.

2) а) б)

в)

3) а)

б)

в) Контроль:
Во-вторых, отличен от определителя системы (III*)

Для расчёта коэффициента этого определителя можно использовать найденные значения коэффициентов ai.

Пусть (3)


(4)
Если подать на вход исходной системы (III*) какой-либо известный входной сигнал yp[iT], i = 0, 1, 2, … при нулевых остальных входных сигналах y1[iT]= y2[iT]=…= yp-1[iT]= yp+1[iT]=…=0 и при нулевых начальных условиях x1[0]=x2[0]=…=0, то путём непосредственных расчётов по системе (III*) (смотри задачу семинара №2) можно последовательно получить значения x[T], x[2T], …, x[iT].

Если подать тот же самых сигнал Yp на вход разностного уравнения (4) при нулевых начальных условиях (x[0]=x[–T]=…=0), то дискреты xq[iT] уравнения (4) совпадут с сигналами xq[iT] вектора X[iT], расcчитанного по уравнению (III*).
Тогда можно показать, что:

при входном сигнале (*)
(5)
Пример № 5.
Рассмотрим систему второго порядка, своего рода (III*) при n=2.


Для системы второго порядка определить дискретную передаточную функцию при нулевых начальных условиях.
Решение:
1) det(z) определён в примере № 4.
2) Составляем разностное уравнение p=2, n=2, q=1:
(4΄)
3) Рассчитываем переходный процесс по исходной системе (III*) при n=2:

i=0


(смотри условие (*)).



i=1




4) Определяем коэффициенты:





.
Лекция №12. 25.03.2003
5.5 Частотные характеристики
5.5.1 Непрерывные системы

Рассмотрим ММ стационарной непрерывной системы:
(1)

Пусть
На основе формулы Эйлера ():

, начальные условия нулевые.
При нулевых начальных условиях решение уравнения (1) можно получить в виде двух слагаемых x(t)=x1(t)+x2(t).

При этом с учётом принципа суперпозиции: x1(t)y1(t), x2(t)y2(t).

Найдём x1(t):

, где W — пока неизвестная и не зависящая от времени функция.

Подставляя в уравнение (1) x1, y1 и их соответствующие производные, получим:


(2)
Комплексно-частотную характеристику системы можно получить передаточной функции путём замены переменной (смотри уравнение (1) раздела 5.1.1.).

Комментарий:
, … (3)


вещественная частотная характеристика;

мнимая частотная характеристика






Здесь:






Смотри методические указания, страница 18.

, … (4)
где — Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ).

Фазово-частотная характеристика (ФЧХ).
Пример смотри в методических указаниях, рисунки 11 и 12.

При изменении конец вектора описывает кривую, называемую АФХ — амплитудно-фазовая характеристика или Катографом Найквиста (Рисунок 21 методических указаний).

^ Физический смысл частотной характеристики: частотная характеристика — результат анализа вынужденного движения линейной стационарной системы при гармоническом воздействии.

Таким образом, .

Аналогично можно определить составляющую
воздействия y2(t).

То есть .

(5)
Таким образом, если на входе рассматриваемой системы действует гармонический входной сигнал, то выходной сигнал будет также гармоническим (Формула (5)) и отличающимся от входного по амплитуде в раз, а по фазе на . Здесь — АЧХ, а — ФЧХ.

Замечание № 1:

Так как АФХ симметрична относительно вещественной оси для положительных и отрицательных значений , то обычно ограничивают диапазон изменения : .
Замечание № 2:

Иногда вместо обычной АФХ рассматривают нормированную АФХ такую, что , где , а — порядок астатизма системы, или обратную АФХ , или обратно нормированную АФХ .
Замечание № 3:

Очень часто вместо АФХ используют Логарифмическую Частотную Характеристику (ЛЧХ).

а) — ЛАЧХ.

б) — ЛФЧХ.

По оси абсцисс соответственно отмеряются либо , либо .

Примеры в методических указаниях — рисунки 12, 22, 25 а)

Примеры нормированных ЛЧХ — рисунки 23 и 25 б).
5.5.2 Дискретные системы

Анализ вынужденного движения импульсной системы на воздействие y[iT]=YcosiT0], значение которого в дискретные моменты времени образуют гармоническую решетчатую последовательность, определяет частотные характеристики системы:

^ Частотная характеристика —

АФХ дискретной системы может быть получена из ДПФ путём замены переменной , т.е.



Особенности АФХ:

периодическая функция с периодом , поэтому её можно определить для любого интервала частот указанного периода ( )

^ ЛЧХ дискретных систем, в отличие от ЛЧХ непрерывных систем, не обладают асимптотическими свойствами.

Для восстановления указанного свойства используют билинейное W-преобразование , а также относительные () и абсолютные () псевдочастоты.


, т.е.

и
Таким образом, при имеем: !

И при имеем: !!
5.6 Основные правила преобразования структур линейных стационарных детерминированных систем
5.6.1 Непрерывные системы










Лекция №13. 26.03.2003
Правило исключения отрицательной обратной связи.






Узлы

а)










б)







Элементы суммирования

а)










б)








5.6.2 Дискретные системы































1   2   3   4



Скачать файл (43213.4 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru