Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  


Загрузка...

Конспект для сдачи экзамена по Матанализу - файл 1.doc


Конспект для сдачи экзамена по Матанализу
скачать (20779.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc20780kb.18.11.2011 00:36скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

1   2   3   4   5   6   7
Реклама MarketGid:
Загрузка...
^

Монотонные последовательности


  1. возрастающая an<an+1,  nN

  2. убывающая an>an+1,  nN

  3. не возрастающая anan+1,  nN

  4. не убывающая anan+1,  nN


Пределы последовательности.

Определение: числа а , называется пределом числовой последовательности аn, если для любого сколь угодно малого числа ε>0, найдётся натуральный номер N такой, что для всех чисел nN выполняется модуль разности an-a<ε   ε>0  N :  nN an-a<ε.

Начиная с этого номера N все числа этой последовательности попадают в ε окрестность числа а. Другими словами начиная с номера N вне интервала а-ε;а+ε может находиться не более конечного числа членов последовательности.
Lim an=0

n
Примеры: Доказать, что ln(-1)2/n=0

Зададим любое ε>0, хотим чтобы (-1)n-0<ε, начиная с некоторого номера N, 1/n<ε  n>1/ε

N=[1/ε]+1

ε=0.01

N=[1/0.01]+1=101

|an|<0.01, если n101

* * *

an=1-1/n2

lim(1-1/n2)=1

n+

Для любого ε>0 (1-1/n2)-1<ε

-1/n2<ε  1/n2<ε  n2>1/ε  n>1/ε

N=[1/ε]+1

Лекция №3

Тема: Последовательности

^

Бесконечно малые последовательности



Последовательность аn называется бесконечно малой , это означает, что предел этой последовательности после равен 0.

an – бесконечно малая  lim an=0 то есть для любого ε>0 существует N, такое что для любого n>N выполняется

n+

an<ε

Важные примеры бесконечно малой последовательности:

1)n=1/n Докажем, что для любого ε>0 1/n<ε  1/n<ε n>1/ε N[1/ε]+1

Докажем, что lim1/n=0

n+

2) n= sin(1/n). Докажем, что для любого ε>0 sin(1/n)<ε, заметим, что 1/n принадлежит первой четверти, следовательно 1sin(1/n)>0, следовательно sin(1/n)<ε



Следовательно 1/n<arcsinε  n>1/arcsinε N=[1/arcsinε]+1. Докажем, что lim sin1/n=0

n+

3) n=ln(1+1/n)

n0; 1/n; 1+1/n1

lim ln(1+1/n)=0

n+

Докажем ln(1+1/n)<ε ln(1+1/n)<ε  1+1/n<eε

1/n<eε-1

n>1/eε-1 N=[1/eε-1]+1


  1. n=1-cos(1/n)

lim(1-cos(1/n))=0

n+

Докажем ε>0 1-cos(1/n)<ε

1/n первой четверти cos первой четверти положительный 0<cos(1/n)<1 1-cos(1/n)<ε

cos(1/n)>1-ε (считаем, что 0<ε<1)



1/n<arcos(1-ε) n>1/arcos(1-ε)

N=[1/arcos(1-ε)]+1

^ Свойства бесконечно малой последовательности.
Теорема. Сумма бесконечно малой есть бесконечно малое.

nnбесконечно малое  n+n – бесконечно малое.

Доказательство.

Дано:

n- бесконечно малое  ε>0  N1:n>N1  n<ε

n- бесконечно малое  ε>0  N2:n>N2  n<ε

Положим N=max{N1,N2}, тогда для любого n>N  одновременно выполняется оба неравенства:




n<ε n+nn+n<ε+ε=2ε=ε1n>N

n<ε
Зададим ε1>0, положим ε=ε1/2. Тогда для любого ε1>0 N=maxN1N2 :  n>N  n+n<ε1  lim(n+n)=0, то

n

есть n+n – бесконечно малое.
Теорема Произведение бесконечно малого есть бесконечно малое.

n,n – бесконечно малое  nn – бесконечно малое.

Докозательство:

Зададим ε1>0, положим ε=ε1, так как n и n – бесконечно малое для этого ε>0, то найдётся N1:  n>N  n<ε

N2:  n>N2  n<ε

Возьмем N=max {N1;N2}, тогда n>N = n<ε

n<ε

nn=nn<ε21

 ε1>0 N:n>N nn<ε21

lim nn=0  nn – бесконечно малое, что и требовалось доказать.

n

Теорема Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность

аn – ограниченная последовательность

n –бесконечно малая последовательность  ann – бесконечно малая последовательность.

Доказательство: Так как аn – ограниченная  С>0: nN  anC

Зададим ε1>0; положим ε=ε1/C; так как n – бесконечно малая, то ε>0 N:n>N n<ε ann=ann<Cε=Cε1/C=ε1

ε1>0 N: n>N  ann=Cε=ε1  lim ann=0 ann – бесконечно малое

n
Замечание: в качестве ограниченной последовательности можно рассматривать const  произведение постоянно.

Теорема о представление последовательности имеющий конечный предел.
lim an=a  an=a+n

n+

Последовательность an имеет конечный предел а тогда и только тогда, когда она представлена в виде an=a+n

где n – бесконечно малая.

Доказательство:

lim an   ε>0 N:n>N  an-a<ε. Положим an-a=n  n<ε, n>N, то есть n - бесконечно малая

n+

an=a+n что и требовалось доказать

Доказательство (обратное): пусть an=a+n, n – бесконечно малая, то есть n=an-a  ε>0 N: n>N 

n=an-a<ε, то есть lim an

n+

Теоремы о пределах числовых последовательностей.

  1. Теорема о пределе суммы:

Пусть lim an=a lim bn=b  lim an+n=a+b

n+ n+ n+

Докозательство: an=a+n bn=b+n Сложим an+bn=a+b+n+n=a+b+n lim an+bn=a+b

n+

2) ^ Теорема о произведение пределов:

Пусть lim an=a lim bn=b  lim anbn=ab

n+ n+ n+

Доказательство: an=a+n bn=b+n  anbn=(a+n)(b+n) anbn=ab+an+bn+nn=ab+n lim anbn=ab что и

n+

требовалось доказать.

  1. ^ Теорема о пределе частного

Пусть lim an=a lim bn=b b0 lim an/bn=a/b

n+ n+ n+

Доказательство: an=a+n bn=b+n так как b0, то N1: n>N1bn0

bn

0 (////////b/////////) x

an/bn=an/bn-a/b+a/b=a/b+(ban-abn)/bbn=a/b+[b(a+n)-a(b+n)]/b(b+n)=a/b+n/b(1+bn/b)

lim an/bn=a/b

n+
Лекция №4

Тема: Бесконечно большие последовательности .
аn=(-1)n – не имеет предел.

{bn}={1,1…}

{an}={-1;1;-1;1…} – предел не существует.
Бесконечно большие последовательности.

an=2n



N:n>N  an

bn=(-1)n2n



N:n>N  bn>ε

cn=-2n



N:n>N cn<-ε

Определение (бесконечно большие последовательности)

1) lim an=+, если ε>0N:n>N  an>ε где ε- сколь угодно малое.

n

2)lim an=-, если ε>0 N:n>N  an<-ε

n+

3) lim an=  ε>0 N:n>N  an>ε

n+

^ Последовательностью имеющий конечный предел называют сходящимися. В противном случае последовательность называют расходящимися. Среди них есть последовательности, которые расходятся в бесконечность. О них мы говорим, что они имеют бесконечный предел.

Доказательство:

an=2n

Берём ε>0; хотим 2n

n>log2ε

N=[log2ε]+1

Правило формирования обратного утверждения: нужно поменять местами значки  и , а знак неравенства на дополнительный.

Пример:

Утверждение lim an=a< aR ε>0 NN:n>N  an-a<ε

n

Обратное утверждение aR ε>0 NN: n>N  an-a<ε
Всякая бесконечно большая не ограниченная. Обратное утверждение неверно.

bn{2;0;2n;0;23;0….}



Теорема (об ограниченной сходящейся последовательности)

Пусть lim an=a<  an - ограниченная

n+

Доказательство:

Дано:

ε>0N:n>N  an-a<ε

Раз ε>0 возьмем ε=1  N:n>N  an-a<1

a-1<an<1+a, n>N

Этому неравенству может быть не удовлетворять только первые N члены последовательности.

N1=max{a1;a2;…an;1+a;a-1}

anc, n>N
Теорема (о единстве предела сходящейся последовательности).

Если lim an=a <, то а- единственное.

n+

Доказательство:(от противного)

Предположим, что  b: lim an=b и ba ε=b-a/2>0 для определенности пусть b>a N1:n>N1 an-a<ε

n+

N2:n>N2  an-b<ε N=max{N1;N2}, тогда оба неравенства выполняются одновременно 

 -(b-a)/2<an-a<(b-a)/2

-(b-a)/2<an-b<(b-a)/2

an-a<(b-a)/2

-

an-b>-(b-a)/2

b-a<b-a

0<0 – противоречие  предположение, что b>a неверно. Аналогично доказывается, что b<a, то же неверно ε=(a-b)/2

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами.

Теорема:

1)an- бесконечно большая  1/an – бесконечно малая

2)т – бесконечно малая, n0 (n>N0) 1/n – бесконечно большая

Доказательство:

1)an- бесконечно большая  lim an=  для достаточно больших номеров n an0. Зададим любое сколько

n+

угодно малое ε>0, положим ε=1/ε>0

Для ε N1:n>N1 an>ε, то есть an>1/ε N=max{N1;N0}

Тогда n>N  1/an<ε, то есть lim 1/an=0, то есть 1/an – бесконечно малое

n+

2)n – бесконечно малое lim n=0

n+

Дано: n0, n>N0 зададим ε>0 положим ε=1/ε>0

N1:n>N1 n<ε=1/ε

N=max{N0;N1}: n>N  1/n=, то есть 1/n – бесконечно большая.

Основные теоремы о существование предела последовательности.

Теорема Вейрштрасса:

Пусть an- ограниченная и моннатонна. Тогда  lim an=а<

n+

Лемма. Среднее арифметическое чисел больше среднего геометрического. Равенство достигается только если все числа равны.

Лекция №5

Тема: Бесконечно большие последовательности
Теорема:

lim(1-1/n)n=1/e e=2,7183

n+

0an=1-1/n1 nN, то есть an=(1-1/n)n- ограниченна.

n+1an=n+1(1-1/n)n1=n+1(1-1/n)(1-1/n)…(1-1/n)1<[1+(1-1/n)+…+(1-1/n)]/n+1=(n+1-n1/n)/n+1=n/n+1=1-1/n+1

n+1(1-1/n)n<1-1/n+1

(1-1/n)n<(1-1/n+1)n+1

an<an+1 nN  последовательность возрастает и ограниченная.

(1-1/n)n – имеет конечный предел

lim(1-1/n)n=1/e

n+
1   2   3   4   5   6   7



Скачать файл (20779.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации
Рейтинг@Mail.ru